3.4 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ -ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.4 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ - ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Δεσμευμένη Πιθανότητα

Για το διοικητικό συμβούλιο μιαςεπιχείρησης θα εκλεγεί ένας αντιπρόσωπος. Υποψήφιοι είναι 7 άνδρεςκαι 8 γυναίκες. Από τους υποψηφίους 3 άνδρες και 6 γυναίκες είναιδιοικητικοί υπάλληλοι, ενώ 4 άνδρες και 2 γυναίκες είναι τεχνικοίυπάλληλοι. Σύμφωνα με αυτά τα δεδομένα οι υποψήφιοι μπορούν ναταξινομηθούν στον ακόλουθο πίνακα ως εξής:

Εικόνα

Θεωρούμε τα ενδεχόμενα:
Α: “Να εκλεγεί διοικητικός”
Β: “Να εκλεγεί γυναίκα”.
Με την παραδοχή ότι τα 15 στοιχεία του δειγματικού χώρου είναιισοπίθανα, έχουμε Εικόνα Ύστερα από την εκλογή και πριν από την ανακοίνωση του αποτελέσματοςέγινε γνωστό ότι εκλέγεται γυναίκα. Αυτό συνεπάγεται ότι οαντιπρόσωπος θα είναι μία από τις 8 γυναίκες και επομένως ηπιθανότητα να εκλεγεί διοικητικός γίνεται Εικόνα . Αυτή λοιπόν είναι η πιθανότητατου ενδεχομένου: “Να εκλεγεί διοικητικός με δεδομένο ότι έχει ήδηεκλεγεί γυναίκα”. Το ενδεχόμενο αυτό συμβολίζεται με A|Bκαι η πιθανότητα του P(A|B) λέγεται δεσμευμένηπιθανότητα του Α με δεδομένο το Β,δηλαδή P(A|B) = Εικόνα ≠P(A). Ομοίως βρίσκουμε ότι

Εικόνα

Γενικά, έστω Α καιΒ δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω μεP(B) > 0. Ας υποθέσουμε ότι ζητάμε την πιθανότητα τουΑ με δεδομένο ότι το Β έχει ήδηπραγματοποιηθεί.
Αφού έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Β, η απλή λογικήμας λέει ότι πρέπει να περιοριστούμε στα στοιχεία του Βκαι από αυτά να βρούμε ποια είναι τα ευνοϊκά για το Α. Μεάλλα λόγια η πληροφορία για την πραγματοποίηση του Βπεριορίζει το δειγματικό χώρο Ω στο Β και τοενδεχόμενο Α στο A ∩ B. Επομένως, ανυποθέσουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται απόισοπίθανα αποτελέσματα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

Εικόνα

Η πιθανότητα αυτή λέγεταιδεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο τοΒ. Γενικά:

Αν Α και Β είναιδύο ενδεχόμενα ενός πειράματος και P(B) > 0, τότε ολόγος Εικόνα λέγεταιδεσμευμένη πιθανότητα του Α με δεδομένο το Β καισυμβολίζεται με P(A|B). Δηλαδή:

Εικόνα

Ομοίως, αν P(A) > 0,τότε Εικόνα

Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα ηπιθανότητα να εκλεγεί διοικητικός με δεδομένο ότι έχει εκλεγείγυναίκα είναι:

Εικόνα

Άμεση συνέπεια του παραπάνω ορισμούείναι ότι

Εικόνα

Οι παραπάνω ισότητες εκφράζουν τονπολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων.

Ανεξάρτητα Ενδεχόμενα

Στο προηγούμενο παράδειγμαδιαπιστώσαμε ότι η πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου Α, μεδεδομένο ότι το ενδεχόμενο Β έχει ήδη πραγματοποιηθεί, είναι Εικόνα ενώ Δηλαδή,P(A|B)≠P(A). Με άλλα λόγια η πραγματοποίηση τουΒ επηρέασε την πιθανότητα πραγματοποίησης του Α.Υπάρχουν όμως και ενδεχόμενα στα οποία η πληροφορία για τηνπραγματοποίηση του ενός δεν επηρεάζει την πιθανότηταπραγματοποίησης του άλλου. Για παράδειγμα, αν στο πείραμα της ρίψηςδύο ζαριών θεωρήσουμε τα ενδεχόμενα Α: “Το πρώτο ζάρι ναφέρει 1” και Β: “Το δεύτερο ζάρι να φέρει άρτιο”, έχουμε:

Εικόνα

Επομένως, Εικόνα

Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι P(A|B)= P(A) και P(B|A) = P(B). Γι’αυτό λέμε ότι ταενδεχόμενα Α και Β είναιανεξάρτητα. Γενικά:

Δύο ενδεχόμενα Α καιΒ με P(A) > 0 και P(B) > 0λέγονται ανεξάρτητα, αν και μόνον αν P(A|B) = P(A) καιP(B|A) = P(B).

Λαμβάνοντες υπόψη τονπολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτων συμπεραίνουμε ότι για δύοανεξάρτητα ενδεχόμενα έχουμε P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Ηισότητα αυτή χρησιμοποιείται και ως ορισμός των ανεξάρτητωνενδεχομένων, χωρίς μάλιστα τον περιορισμό P(A) > 0 καιP(B) > 0. Δηλαδή:

Δύο ενδεχόμενα Α καιΒ λέγονται ανεξάρτητα, αν
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Δύο ενδεχόμενα που δεν είναιανεξάρτητα λέγονται εξαρτημένα.

ΣΧΟΛΙΟ

Με την ισότητα P(A ∩ B) = P(A) ·P(B) μπορούμε να διαπιστώσουμε αν δύο ενδεχόμενα Ακαι Β είναι ανεξάρτητα. Στην πράξη, όμως, η ανεξαρτησίαδύο ενδεχομένων ή ισχύει από μόνη της, λόγω της φύσης τουπειράματος ή έχει περιληφθεί στις υποθέσεις κατασκευής του μοντέλουπου περιγράφει κάποια φαινόμενα.
Για παράδειγμα, είναι εύλογο να δεχτούμε ότι είναι ανεξάρτητα ταενδεχόμενα Α: “ο συμπλέκτης του αυτοκινήτου είναι σε καλήκατάσταση” και Β: “η μπαταρία του αυτοκινήτου είναι σεκαλή κατάσταση”.
Αντιθέτως, είναι λάθος να δεχτούμε ως ανεξάρτητα τα ενδεχόμεναΑ: “Ένα άτομο είναι μανιώδης καπνιστής” και Β:“Ένα άτομο θα προσβληθεί από ασθένεια των πνευμόνων”.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Για την ασφαλήπτήση ενός αεροπλάνου με δύο κινητήρες, πρέπει να δουλεύει ο έναςτουλάχιστον κινητήρας. Οι κινητήρες δουλεύουν ανεξάρτητα ο ένας απότον άλλον. Αν υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να πάθει κάποιοςκινητήρας βλάβη είναι 0,003, να βρεθεί η πιθανότητα για μια ασφαλήπτήση.

ΛΥΣΗ

Το αεροπλάνο δεν εκτελεί ασφαλήπτήση, όταν πάθουν βλάβη και οι δύο κινητήρες. Επειδή οι κινητήρεςλειτουργούν ανεξαρτήτως ο ένας από τον άλλον, η πιθανότητα ναπάθουν βλάβη και οι δύο συγχρόνως είναι ίση με 0,003 · 0,003. Άρα,η πιθανότητα μιας ασφαλούς πτήσης είναι ίση με

1 - 0,003 · 0,003 = 0,999991 δηλαδή99,9991%.

2. Από τρεις όμοιεςμηχανές ενός εργοστασίου η πρώτη (Ι) παράγει το 20%, η δεύτερη (ΙΙ)το 30% και η τρίτη (ΙΙΙ) το 50% της συνολικής παραγωγής ενόςεξαρτήματος. Επιπλέον, το 5% της παραγωγής της μηχανής Ι, το 4% τηςΙΙ και το 2% της ΙΙΙ είναι ελαττωματικά εξαρτήματα. Δύοερωτήσειςτου λεγόμενου ποιοτικού ελέγχου είναι οι εξής:
i) Αν επιλέξουμε τυχαίως ένα εξάρτημα σε ένα κατάστημα πωλήσεωνποια είναι η πιθανότητα να είναι ελαττωματικό;
ii) Αν ένα εξάρτημα που επιλέχθηκε τυχαία είναι ελαττωματικό, ποιαείναι η πιθανότητα να προέρχεται από τη μηχανή Ι;

ΛΥΣΗ

Εικόνα

Αν A₁,A₂ και A₃ είναι ταενδεχόμενα το επιλεγμένο εξάρτημα να προέρχεται από τις μηχανές Ι,ΙΙ και ΙΙΙ αντιστοίχως, τότεP(A₁) = 0,2, P(A₂) = 0,3 καιP(A₃) = 0,5. ΤαA₁, A₂ καιA₃ είναι ανά δύο ξένα μεταξύ τους και επιπλέονA₁ ∪ A₂ ∪A₃ = Ω.

Αν Α είναι το ενδεχόμενο τοεπιλεγμένο εξάρτημα να είναι ελαττωματικό, τότε

A = (A ∩A₁) ∪ (A ∩ A₂) ∪(A ∩ A₃)

και

P(A) = P(A ∩A₁) + P(A ∩ A₂) +P(A ∩A₃). (1)

Από τα δεδομένα του προβλήματοςέχουμε P(A|A₁) = 0,05,P(A|A₂) = 0,04 καιP(A|A₃) = 0,02. Επομένως:
i) Από την (1) καιτον πολλαπλασιαστικό νόμο των πιθανοτήτωνέχουμε:

P(A) = P(A₁) ·P(A|A₁) + P(A₂) · P(A|A₂) +P(A₃) · P(A|A₃)
= 0,2 · 0,05 + 0,3 · 0,04 + 0,5 · 0,02 = 0,032.

ii) Ζητάμε την πιθανότηταP(A₁|A). Έχουμε

Εικόνα

δηλαδή, 31,25%.

Η λύση προβλημάτων όπως τοπροηγούμενο, διευκολύνεται με τη βοήθεια ενός δεντροδιαγράμματος,όπως φαίνεται στο σχήμα:

Εικόνα

Οι κλάδοιOA₁,OA₂ καιOA₃ αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα προέλευσης τουεξαρτήματος από τις μηχανές Ι, ΙΙ και ΙΙΙ αντιστοίχως, και οιαντίστοιχες πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών είναι γραμμένες πάνωστους κλάδους. Από το τέλος κάθε τέτοιου κλάδου ξεκινούν δύο άλλοικλάδοι, που αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα το εξάρτημα ναείναι ελαττωματικό ή μη ελαττωματικό με γραμμένες πάλι επάνω τουςτις αντίστοιχες πιθανότητες.
Για να απαντήσουμε στο ερώτημα (i) επισημαίνουμε πρώτα τιςδιαδρομές που οδηγούν σε ελαττωματικό εξάρτημα. Οι διαδρομές αυτέςείναι οι OA₁A,OA₂A καιOA₃A και αντιστοιχούν στα ενδεχόμεναA₁ ∩ A, A₂ ∩A και A₃ ∩ A.
Στη συνέχεια με εφαρμογή του πολλαπλασιαστικού νόμου τωνπιθανοτήτων υπολογίζουμε τις πιθανότητες των ενδεχομένων αυτών.Έχουμε
P(A₁ ∩ A) = 0,2 · 0,05,P(A₂ ∩ A) = 0,3 · 0,04 καιP(A₃ ∩ A) = 0,5 · 0,02.
Τέλος, επειδή τα ενδεχόμενα που παριστάνουν οι διαδρομές είναιασυμβίβαστα, προσθέτουμε τις παραπάνω πιθανότητες και βρίσκουμε τηνπιθανότητα του ενδεχομένου Α. Επομένως

P(A) = 0,2 · 0,05 + 0,3 ·0,04 + 0,5 · 0,02 = 0,032.

ΣΧΟΛΙΟ

Στο δεύτερο ερώτημα της παραπάνωεφαρμογής γνωρίζουμε το αποτέλεσμα του πειράματος και ζητάμε τηνπιθανότητα να προέρχεται το εξάρτημα από τη μηχανή Ι. Η πιθανότητααυτή P(A₁|A) λέγεται “εκ των υστέρων (aposteriori) πιθανότητα”, ενώ η P(A₁) λέγεται“εκ των προτέρων (a priori) πιθανότητα”.

Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Ρίχνει κάποιος ένα ζάρι και αναγγέλλει ότι έφερε ζυγό αριθμό.Ποια είναι η πιθανότητα να έχει φέρει 6;
2.	Από μια τράπουλα με 52 φύλλα παίρνει κάποιος τυχαία ένα φύλλοκαι λέει ότι είναι “σπαθί”. Ποια είναι η πιθανότητα το φύλλο ναείναι φιγούρα;
3.	Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου ισχύουν Να υπολογίσετε τιςπιθανότητες P(A ∩ B), P(B\|A) και P(A' ∪B).
4.	Αν να βρείτε τηνP(B).
5.	Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε την πιθανότητα τουενδεχομένου να φέρουμε 6 στην πρώτη ρίψη και περιττό αριθμό στηδεύτερη ρίψη.
6.	Ένα κουτί περιέχει 6 κόκκινες και 8 μαύρες μπάλες. Παίρνουμε απότο κουτί τυχαίως μια μπάλα, σημειώνουμε το χρώμα της και τηνεπανατοποθετούμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε μια δεύτερημπάλα. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου η πρώτη μπάλα ναείναι μαύρη και η δεύτερη κόκκινη.
7.	Τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα και ισχύουν και Να βρείτε τις P(B) καιP(A ∪ B).
8.	Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου ισχύουν i) Είναι τα Α και Β ανεξάρτητα; ii) Είναι τα Α και Β ξένα μεταξύ τους; iii) Να υπολογίσετε την P(B).
9.	Για δύο ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικούχώρου Ω να αποδείξετε ότι P(A\|B) + P(A'\|B) = 1
10.	Σε ένα Γυμνάσιο στις εξετάσεις του Ιουνίου το 25% έγραψε σταΜαθηματικά κάτω από τη βάση, το 15% έγραψε στη Φυσική κάτω από τηβάση και το 10% των μαθητών έγραψε και στα δύο μαθήματα κάτω από τηβάση. Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή του Γυμνασίου αυτού. i) Αν έχει αποτύχει στη Φυσική, ποια είναι η πιθανότητα να έχειαποτύχει και στα Μαθηματικά; ii) Αν έχει αποτύχει στα Μαθηματικά ποια είναι η πιθανότητα να έχειαποτύχει και στη Φυσική;

Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Στο διπλανό κύκλωμα “εν παραλλήλω” η πιθανότητα κάθε διακόπτηςνα είναι κλειστός (δηλαδή να επιτρέπει τη διέλευση ρεύματος) είναι0,8. Οι διακόπτες λειτουργούν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον. Ναβρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου να διέρχεται ρεύμα από τοΑ στο Β.
2.	Η πιθανότητα να πάθει βλάβη μέσα στον πρώτο χρόνο λειτουργίαςτης μια μηχανή ορισμένου τύπου είναι 10%. Αν μια βιομηχανία έχειδύο τέτοιες μηχανές, οι οποίες άρχισαν να λειτουργούν συγχρόνως καιανεξάρτητα η μια από την άλλη, να βρείτε την πιθανότητα η μία μόνονα πάθει βλάβη μέσα στον πρώτο χρόνο λειτουργία τους.
3.	Σε ένα νησί φτάνουν καθημερινά πλοία, που αναχωρούν από Πειραιάκαι Ραφήνα και σε ποσοστά 60% και 40% αντιστοίχως. Το 10% τωνπλοίων από Πειραιά και το 5% των πλοίων από Ραφήνα φθάνουν μεκαθυστέρηση στο νησί. Αν μια μέρα επιλέξουμε τυχαία ένα πλοίο πουφτάνει στο νησί, να βρεθούν οι πιθανότητες: i) Να φτάσει μεκαθυστέρηση ii) Αν φτάσει με καθυστέρηση, να έρχεται απόΠειραιά.
4.	Σε ένα εργοστάσιο το 60% των εργαζομένων είναι άνδρες και το 40%είναι γυναίκες. Από τους άνδρες καπνίζει το 50% και από τιςγυναίκες το 30%. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα άτομο που καπνίζει, ποιαη πιθανότητα να είναι γυναίκα;
5.	Μια κληρωτίδα περιέχει ν λαχνούς από τους οποίουςκερδίζει μόνο ένας. Δύο άτομα παίρνουν το ένα μετά το άλλο από τηνκληρωτίδα ένα ακριβώς λαχνό χωρίς επανατοποθέτηση. Κάποιοςυποστηρίζει ότι το πρώτο άτομο έχει μεγαλύτερη πιθανότητα νακερδίσει από το δεύτερο. Να εξετάσετε αν έχει δίκιο.
6.	Δύο κτήματα έχουν χωριστεί σε 9 και 12 οικόπεδα, όπως φαίνεταιπαρακάτω: Επιλέγουμε τυχαίως και ανεξάρτητα το ένα από το άλλο έναοικόπεδο από κάθε κτήμα. i) Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο οικόπεδα να είναιγωνιακά; ii) Ποια είναι η πιθανότητα κανένα από τα οικόπεδα να μην είναιγωνιακό; iii) Ποια είναι η πιθανότητα ένα τουλάχιστον από τα οικόπεδα ναείναι γωνιακό;
7.	Το 1‰ ενός πληθυσμού πάσχει από μια σοβαρή ασθένεια. Ένακαινούργιο τεστ διάγνωσης της ασθένειας έχει πιθανότητα θετικούσφάλματος (θετικό τεστ, ενώ το άτομο είναι υγιές) 1% και πιθανότητααρνητικού σφάλματος (αρνητικό τεστ, ενώ το άτομο πάσχει από τηνασθένεια) 5%. Για ένα τυχαίο άτομο από τον πληθυσμό αυτό το τεστείναι θετικό. Να βρείτε την πιθανότητα το άτομο να πάσχει πράγματιαπό την ασθένεια αυτή.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.	Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = {0,1,2,3,...,100}.Δίνονται και οι πιθανότητες κ = 1, 2,...,100 . Να υπολογίσετε την πιθανότηταP(0).
2.	Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθοςστοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω.Υποθέτουμε ότι P(A') ≤ 0,28 και P(B') ≤ 0,71. Νααποδείξετε ότι i) P(A ∩ B) ≥ 1,01 - P(A ∪ B) καιii) A ∩ B ≠ ∅.
3.	Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις 9 δέντρων τα οποία θαφυτευθούν κατά μήκος των πλευρών ενός δρόμου, 5 στην ανατολικήπλευρά και 4 στη δυτική πλευρά. i) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών τρόπων με τους οποίουςμπορεί να γίνει αυτό αν όλα τα δέντρα είναι διαφορετικά μεταξύτους. ii) Σε ένα τυχαίο φύτεμα των δέντρων ποια είναι η πιθανότητα δύοορισμένα δέντρα να βρεθούν στην ίδια πλευρά του δρόμου και σεδιπλανές θέσεις;
4.	Ένα κουτί περιέχει μπάλες όμοιες σε σχήμα και σε μέγεθος, αλλάοι κ από αυτές είναι άσπρες και οι υπόλοιπες λείναι μαύρες. Παίρνουμε δύο μπάλες τη μια κατόπιν της άλλης καιχωρίς επανατοποθέτηση της πρώτης μπάλας. Να βρείτε την πιθανότητατου ενδεχομένου η 2η μπάλα να είναι μαύρη. Αν επανατοποθετήσουμετην 1η μπάλα, ποια είναι τότε η πιθανότητα η 2η μπάλα να είναιμαύρη; Τι παρατηρείτε;
5.	Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, νααποδείξετε ότι είναι ανεξάρτητα και τα ενδεχόμενα: i) A'και Β ii) Α και B', iii) A' καιB'.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1.	Αν ρίξουμε δύο νομίσματα τα αποτελέσματα μπορεί να είναι δύο“κεφαλές”, μια “κεφαλή” και μια “γράμματα”, η δύο “γράμματα”, καιεπομένως, καθένα από αυτά τα ενδεχόμενα έχει πιθανότητα Τι είναι λάθος στο επιχείρημααυτό; Ποιο είναι το σωστό;
2.	Ένα νόμισμα ρίχνεται 5 φορές και έρχεται κάθε φορά “κεφαλή”.Επομένως, η πιθανότητα να φέρουμε “κεφαλή” σε μια ρίψη τουνομίσματος είναι Νασχολιάσετε το αποτέλεσμα αυτό.
3.	Τρία συνηθισμένα ζάρια, ένα άσπρο, ένα μαύρο και ένα κόκκινο,τοποθετούνται σε ένα κουτί. Ένα πείραμα συνίσταται στην τυχαίαεπιλογή ενός ζαριού από το κουτί, στη ρίψη του ζαριού αυτού καιστην παρατήρηση του χρώματος και της ένδειξης της άνω έδραςτου. (α) Τι σημαίνει εδώ η λέξη “τυχαία”; (β) Το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου του πειράματοςείναι (i) 3 · 6 (ii)3⁶ (iii)6! (iv) 6³ (v)3 · 6³. (Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση) (Σε καθεμιά από τις ερωτήσεις 4-7 μία μόνο από τις συνοδευτικέςαπαντήσεις είναι σωστή. Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση).
4.	Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου είναι 0,4, ποιαείναι η πιθανότητα της μη πραγματοποίησης του ενδεχομένουαυτού; (α) 0,2 (β)0,8 (γ)0,6 (δ) 1,4.
5.	Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι τέτοια ώστε ποια είναι η P(A ∪B); (ε) τίποτα από ταπροηγούμενα.
6.	Ποιο ενδεχόμενο παριστάνει στο διπλανό διάγραμμα Venn τοσκιασμένο εμβαδόν; (α) Β (β)A' (γ) A -B (δ) B -A.
7.	Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων με τους οποίουςμπορούμε να επιλέξουμε 2 αγόρια και 3 κορίτσια από 10 αγόρια και 8κορίτσια;

(Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις8-13 είναι σωστή ή λάθος. Αν είναι σωστή,
κυκλώστε το Σ, αν είναι λάθος, κυκλώστε το Λ).

Δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους.

Δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους είναι αντίθετα.

10.

Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ξένα μεταξύτους, τότε και τα συμπληρωματικά τους A' και B'είναι ξένα μεταξύ τους.

11.

Δύο ενδεχόμενα ξένα μεταξύ τους είναι και ανεξάρτητα.

12.

Δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα είναι ξένα μεταξύ τους.

13.

Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα,τότε και τα αντίθετά τους είναι ανεξάρτητα.

14.

Υποθέτουμε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναιασυμβίβαστα, με P(A) = 0,6 και P(B) = 0,2. Νααντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Ι στο ίσο του της στήληςΙΙ.

Στήλη Ι		Στήλη ΙΙ
P(A ∩ B)		0,8
P(A ∪ B)		0,6
P(A\|B)		0
P(B\|A)		0,2
		0,12

15.

Υποθέτουμε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β είναιανεξάρτητα, με P(A) = 0,6 και P(B) = 0,2. Νααντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Ι στο ίσο του της στήληςΙΙ.

Στήλη Ι		Στήλη ΙΙ
P(A ∩ B)		0,6
P(A ∪ B)		0,68
P(A\|B)		0,2
P(B\|A)		0,12

16.

Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ξένα μεταξύτους, μπορεί να ισχύει P(A) + P(B) = 1,3;
- Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

17.

Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενοπου παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτωδιαγράμματα Venn: