ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

§ 1.1 Α' Ομάδας

1.	-2, 2, 2,
2.	6, 2, t = 2 ή t = 3.
3.	1, -1, θ= ή θ=
4.	0,1.
5.	R - {1,2}.
6.	• 3 < x < 7. • (- ∞,3] ∪ [7, +∞)
7.	• 3x² - 2. • 6x³ - 7x² + 1. •
8.	i) 4 ii) -10 iii) iv) 3 v) 2√2.
9.	i) 0 ii) iii) 1 iv) 8 v) -10 vi) 5.

§ 1.1 Β' Ομάδας

1.	Να χρησιμοποιήσετε την ιδιότητα
2.	E(x) = x(50 - x), 0 < x < 50.
3.	0 < h < 20. • E(r) = πr² + 2πr · (20 - 2πr), 0 < r <
4.	• υ(θ) = 10 · ημθ, 0° < θ < 180°.

	• Ε(θ) = 50 · ημθ, 0° < θ < 180°.
5.	i) x - 5 = (√x - √5)(√x + √5) κτλ. ιι) h = (1 + h) - 1 = κτλ.

§ 1.2 Α' Ομάδας

1.	i) 3 ii) -4 iii) 10.
2.
3.	i) 2π ii) 4π
4.	i) 10 ii) 300
5.	i) y = 6x - 9 ii)

§ 1.3 Α' Ομάδας

1.	i) 0 ii) 4x³ iii) 9x⁸.
2.	i) ii) -3x^-4 iii) -5x^-6
3.	i) ii) .
4.	i) ii) iii)
5.	i) 12x² ii) -30x^-6 iii) -8x¹⁹.

6.	i) ii) 9√x
7.	i) 4x³ + 6x ii) iii)
8.	i) 24x² - συνx ii) -6ημx - 8(2x + 1)
9.	i) 7x⁶+ 4x³ + 3x² ii) συνx - συν2x
10.	i) συνx - xημx + 6x ii) (8x + 3x²)ημx + (4x² - 6x)συνx
11.	i) ii) iii)
12.	i) ii)
13.	i) 5(x - 1)⁴ ii) 3x² · συνx³ iii) 5(2x² - 3x)⁴(4x - 3)
14.	i) 3ημ²x · συνx ii) 3x² · συνx³ iii) ημ4x + 4x · συν4x iv)
15.	i) ii)
16.	i) 3e^3x ii) -2xe^-x² iii) αe^αx+β iv)
17.	i) ii) iii) iv)
18.	i) ii)
19.	i) 1,08 ii) 2(2 - √3).
20.	i) ii)
21.
22.	√3.

§ 1.3 Β' Ομάδας

1.	(0, 0), (-2, 6).
2.	(1, 8), (3, 4).

3.	(0, 0), (-2, 2).
4.	• υ(t) = 3t² - 4t + 1, t = t = 1 • α(1) = 2.
5.	f'(x) = -Αωημωx + Βωσυνωx f''(x) = Αω²συνωx - Βω²ημωx κτλ.
6.	f'(x) = αpe^px - βpe^-px f''(x) = αp²e^px + βp²e^-px κτλ.
7.	-1, 4.
8.
9.	i) ii) Να κάνετε τις πράξεις στο 2ο μέλος.
10.	i) υ(t) = Αωσυνωt α(t) = -Αω²ημωt ii) α(t) = -ω² · y iii) α(t) = 0 ⇔ συνωt = κτλ.

§ 1.4 Α' Ομάδας

1.	i) Ελάχιστο: f(1) = -1 ii) Μέγιστο: f(0) = 6 iii) Ελάχιστο: f(1) = 3
2.	i) Μέγιστο: f(0) = 5 Ελάχιστο: f(4) = -27 ii) Ελάχιστο: f(-1) = -1 Μέγιστο: f(1) = 3
3.	i) f'(x) = 6x², γνησίως αύξουσα ii) f'(x) = -3x², γνησίως φθίνουσα iii) f'(x) = 3(x - 1)², γνησίως αύξουσα iv) f'(x) = -3x² + 6x - 5 < 0 για κάθε x∈R, άρα γνησίως φθίνουσα
4.	400.
5.	Το τετράγωνο με πλευρά 10cm.
6.	Πλευρά βάσης 4dm, ύψος 2dm.
7.	4dm³.
8.
9.	λ = c.
10.	Καθένας είναι ίσος με 5.

§ 1.4 Β' Ομάδας

1.
2.	υ'(x) = -κ(2xlnx + x), υ''(x) = -κ(2lnx + 3) κτλ.
3.	Πλευρά βάσης 40cm, ύψος 10cm.
4.	20√30 ≈ 109,5m, ≈ 146m.
5.	Είναι το τετράγωνο.
6.	Διάμετρος κύκλου = Πλευρά τετραγώνου =
7.
8.	i) ii)
9.	Καθεμιά 225 Ω.
10.	Θα έχουν, διότι η ελάχιστη απόσταση των πλοίων θα είναι √80 < √100 = 10Km.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.	i) ≈ 0,476 iii) ρ = 0,5.
2.	16 μονάδες από 8 εργάτες.
3.	(-1, 3).
4.	p + q = (α + β) - κτλ.
5.	Διάμετρος = ύψος =
6.	Ύψος = Διάμετρος βάσης.
7.	R³√3.
8.	β) i) 5600, 5,6 , 4 10600, 5,3 , 6 17600, 5,87 , 8 ii) 1612, 5,22
9.	α) P'(x) = R'(x) - C'(x) κτλ. β) 2.500

10.	i) ΑΓ = ΒΓ = κτλ. ii) iii) Όταν t ελάχιστος, τότε t'(x) = 0 κτλ.

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

§ 2.1

1.	Ποιοτικές: γ, δ, στ, ζ. Ποσοτικές-διακριτές: β, η, θ, ι Ποσοτικές-συνεχείς: α, ε
2.	Είναι δυνατόν να έχουμε διάφορες μεταβλητές για κάθε περίπτωση. Για παράδειγμα: α) μισθός (ποσοτική-συνεχής), ηλικία (ποσοτική-διακριτή), φύλο (ποιοτική) κτλ.
3.	(ε).
4.	Είναι δυνατό να έχουμε διάφορους λόγους ακαταλληλότητας των επιλεγομένων δειγμάτων. Για παράδειγμα: α) Θα έχουμε υπερεκτίμηση των ανδρών κτλ.

§ 2.2 Α' Ομάδας

1.	β) i) 26% ii) 14% iii) 38%.
2.	Έχουμε 11 αγόρια με βαθμό < 5, κτλ.
3.	α) Το 22% των φοιτητών είναι αγόρια με βαθμό < 5, κτλ.
4.	α) 76% β) 16% γ) 34% δ) 84% ε) 16%.
5.	Από τη σχέση βρίσκουμε πρώτα το μέγεθος v = 20. Να βρεθεί μετά το N₁ κτλ.
6.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 1(γ).
7.	Να κατασκευάσετε πρώτα τον πίνακα συχνοτήτων και μετά να εργαστείτε όπως στα σχήματα 1(β) και 3.
8.	Για τους v = 450 μαθητές έχουμε 30% με τιμή x₂ = “Λίαν καλώς”. Δηλαδή f₂% = 30 ⇔ v₂ = 135 ⇔ α₂ = 108°, κτλ.

9.	Να εργαστείτε όπως στα σχήματα 1(β) και 3.
10.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 1(γ).
11.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 5.
12.	γ) 11 άτομα δ) επίδοση ≥ 7.
13.	20%
14.	ΝΑΙ. Το εμβαδόν πρέπει να είναι 100.

§ 2.2 Β' Ομάδας

Για τη Λέσβο υπάρχει πτωτική τάση ενώ για τη Σαλαμίνα υπάρχει ανοδική τάση. Για τη Θάσο υπάρχει περίπου σταθερή κατάσταση.

Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

Έτος	Ηλικία ≤ 20 21-30 ≥ 31	Σύνολο

Ανάλογα με την άσκηση 2.

β) 355 γυναίκες, 434 άνδρες
γ) 692
δ) Δεν μπορούμε να ξέρουμε με τα στοιχεία που μας δίνονται.

Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 5.

α) Φάρμακο Α 17,3% και Φάρμακο Β 26%.

Επειδή v = 55 να χρησιμοποιήσετε κ = 7 κλάσεις με πλάτος c = 1,8.

§ 2.3 Α' Ομάδας

1.	10, 12, 14, 16, 18, 20 με διάμεσο δ = 15 .
2.	α) ΝΑΙ, β) ΟΧΙ, γ) ΝΑΙ.
3.	8,25%.
4.	α) 206,1cm β) 235 cm.
5.	14,8.
6.	Και στις 3 περιπτώσεις έχουμε: = 12gr, δ = 12gr, M₀ = 13gr.
7.	α) 14, β) 13.
8.	291.000 δρχ.
9.	Οι 2 και 6.
10.	α) 2, β) 2, γ) 3.
11.	α) = 15,45 , β) δ = 15, γ) M₀ = 15, δ) Q₁ = 14, Q₃ = 17.

12.	α) = 4,3, β) M₀ = 3,3, γ) Q₁ ≈ 2,33, δ ≈ 4, Q₃ ≈ 6.
13.	α) 169,66cm, β) 170cm, γ) 169,67cm.
14.	α) Μικρότερη διασπορά έχουμε στη δεύτερη λίστα και μεγαλύτερη διασπορά στην τρίτη. β) ΟΧΙ.
15.	α) = 10, M₀ = 11, δ = 11 β) Q₁ = 7, Q₃ = 13 γ) R = 12, s = 3,87, cv = 38,7%.
16.	2,47.
17.	α) 16%, β) 2,5%, γ) 50%, δ) 81,5%.
18.	α) = 3, δ = 2 β) = 6, δ = 4 γ) = 13, δ = 12 δ) = 16, δ = 14.
19.	α) s² = 4, β) s² = 36, γ) s² = 4, s² = 4.
20.	v = 28.

§ 2.3 Β' Ομάδας

1.	β) = 15, δ ≈ 15 γ) P₉₅ ≈ 19
2.	10 ή -2
3.	α) = 4400 δρχ., δ = 3500 δρχ., M₀ = 3000 δρχ. β) Αυξάνουν κατά 18%. γ) Αυξάνουν κατά 100 δρχ.
4.	Να γίνουν οι πράξεις.
5.	α) 60, β) 33, γ) 5,2 εκατομ. δρχ., δ) = 5,7 εκατομ. δρχ., s² = 12,24 ε) Q₁ ≈ 2,8 , δ ≈ 5,4 , Q₃ ≈ 8,3 .
6.	α) s = 23,29, cv = 53,75% β) Q = Q₃ - Q₁ ≈ 59 - 24 = 35
7.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 7.

§ 2.4 Α' Ομάδας

1.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 16.
2.	i) ii) y = 46,7 + 0,67x
3.	α) β) γ) = 3,9 - 0,3x δ) = 2,1 + 0,3x.
4.	= 18,98 - 21,6x
5.	α) y = -0,35 + 1,07x, β) 16.

§ 2.4 Β' Ομάδας

1.	α) Η ηλικία. γ,δ) Καθένας από τους μαθητές μπορεί να φέρει τη “δική του” ευθεία, οπότε θα έχει και διαφορετική πρόβλεψη συστολικής πίεσης.
2.	α) 178,7 cm β) 177,5 cm.
3.	α) 168,3 cm β) 168,1 cm
4.	α) = 1,88 + 1,18x. β) Περίπου 27 έτη και 7 μήνες. γ) Περίπου 1 έτος και 2 μήνες.
5.	α) = 5,25 + 0,72y. β) Περίπου 25 έτη και 5 μήνες. γ) Περίπου 9 μήνες.

§ 2.5 Α' Ομάδας

1.	0, 0,2, -0,6, -0,7, 0,9, -1.
2.	α) Θετική -μεγάλη, κτλ.
3.	α) r = 0,99, β) r = 0,59, γ) r = -0,70 δ) r = -0,05 ε) r = 0,33.
4.	α) r₁ = -1, β) r₂ = 1.
5.	r = 0,74.
6.	r = 0,97.
7.	β) r = 1.

§ 2.5 Β' Ομάδας

1.	α) r ≈ -1 β) r ≈ -1
2.	r = 0,87.
3.	r = 0,22.
4.	r = 0,77.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.	= 2,025, δ = 2, M₀ = 1, s = 1,49. Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 13.
2.	α) v = 60, κ = 5, c = 2. γ) = 4,4, δ = 4,2 , M₀ ≈ 4,2, s = 2,29.
3.	κτλ.

	β) = 14,1, s = 7,4 γ) i) 8, ii) 22 δ) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 8(β).
4.	α) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 1(γ). β) ₁₉₉₀ ≈ 486, ₁₉₉₄ ≈ 372
5.	α) i) τις λυχνίες τύπου Β ii) δεν έχουμε προτίμηση iii) τις λυχνίες τύπου Α. β) cv_Α = 39,8%, cv_Β = 38,8%.
6.	α) Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 1(γ). β) Ο σταθμικός μέσος.
7.	Να εργαστείτε όπως στο σχήμα 5.
8.	α) = 63,1 + 0,34x β) 68,9 κάτοικοι/km²
9.	γ) y = 16,53 - 0,3x.
10.	α) = 0,06 + 0,36x β) 186.000 δρχ. γ) Πρέπει να βρείτε την ευθεία ελαχίστων τετραγώνων της Χ πάνω στην Υ.
11.	Δείτε και την άσκηση 7(α) Α' Ομάδας της §2.5
12.	= 32 + 1,8C.
13.	r(X ,Y) =
14.	= 56,4 + 18,87x ₁₉₉₅ ≈ 472 διαζύγια, ₂₀₀₀ ≈ 547 διαζύγια.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

§ 3.1 A' Ομάδας

1.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.
2.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.
3.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.
4.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.
5.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.
6.	i) Ασυμβίβαστα ii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iii) Δεν είναι ασυμβίβαστα iv) Ασυμβίβαστα.
7.	Να χρησιμοποιήσετε δενδροδιάγραμμα.

§ 3.1 Β' Ομάδας

1.	Ω = {αα,αβα,αββ, βαα, βαβ, ββ}.
2.	Να βρείτε το δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα με τη βοήθεια πίνακα διπλής εισόδου.
3.	Έστω x ∈ B', τότε x ∉ B κτλ.
4.	Να χρησιμοποιήσετε διάγραμμα Venn.

§ 3.2 Α' Ομάδας

1.	i) ii)
2.
3.	i) ii) iii)
4.
5.	i) ii)
6.	i) 50% ii) 30%
7.
8.
9.	0,4
10.
11.	P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ⇔ P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ≤ P(A) +P(B)
12.	65%
13.	α) 14% β) 12%.
14.	10%

§ 3.2 Β' Ομάδας

1.	i) κ + λ - μ ii) 1 - κ - λ + μ iii) κ + λ - 2μ.
2.	55%
3.
4.	Αν P(A) = x, τότε P(A') = 1 - x κτλ.
5.	Να λάβετε υπόψη ότι A ∩ B ⊆ A και P(A ∪ B) ≤ 1.
6.	Να λάβετε υπόψη ότι P(A') = 1 - P(A) και P(A ∪ B) ≤ 1.

§ 3.3 Α' Ομάδας

1.	1200,
2.	124416000,
3.	360,
4.	7!,
5.	κτλ.
6.

§ 3.3 Β' Ομάδας

1.
2.
3.
4.
5.	i) ii) iii)
6.	Περίπου 75%.
7.	2800,
8.
9.
10.
11.	≈ 518, ≈ 0,491.

§ 3.4 Α' Ομάδας

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.	i) Όχι ii) Όχι iii)
9.	Να λάβετε υπόψη ότι P(A'∩B) = P(B) - P(A∩B).
10.	i) ii)

§ 3.4 Β' Ομάδας

1.	0,96
2.	18%
3.	i) 8% ii) 75%
4.
5.	Όχι, έχουν ίδια πιθανότητα
6.	i) ii) iii)
7.	≈ 0,087, δηλ. 8,7%.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.	Να λάβετε υπόψη ότι P(0) + P(1) + ... + P(100) = 1.
2.	i) Να λάβετε υπόψη τους κανόνες λογισμού πιθανοτήτων. ii) Να χρησιμοποιήσετε την εις άτοπον απαγωγή.
3.	i) 9!, ii)
4.	• Χωρίς επανατοποθέτηση: • Με επανατοποθέτηση:
5.	i) Να λάβετε υπόψη ότι P(A'∩B) = P(B) - P(A∩B). ii) Να λάβετε υπόψη ότι P(A∩B') = P(Α) - P(A∩B). iii) Να λάβετε υπόψη ότι A'∩B' = (A∪B)'.