3.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

Εισαγωγή

Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά του πειράματος τύχης, όπως είδαμε, είναι η αβεβαιότητα για το ποιο αποτέλεσμα του πειράματος θα εμφανιστεί σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του. Επομένως, αν Α είναι ένα ενδεχόμενο, δεν μπορούμε με βεβαιότητα να προβλέψουμε αν το Α θα πραγματοποιηθεί ή όχι. Γι’αυτό είναι χρήσιμο να αντιστοιχίσουμε σε κάθε ενδεχόμενο Α έναν αριθμό, που θα είναι ένα μέτρο της “προσδοκίας” με την οποία αναμένουμε την πραγματοποίησή του. Τον αριθμό αυτό τον ονομάζουμε πιθανότητα του Α και τον συμβολίζουμε με P(A). Πώς όμως θα προσδιορίσουμε για κάθε ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης την πιθανότητά του; Δηλαδή πώς θα βρούμε μια διαδικασία με την οποία σε κάθε ενδεχόμενο θα αντιστοιχίζουμε την πιθανότητά του; Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να απαντήσουμε στα ερωτήματα αυτά.

Έννοια και Ιδιότητες Σχετικής Συχνότητας

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με f_A. Ιδιαίτερα αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο Ω = {ω₁, ω₂ ,..., ω_λ} και σε ν εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα {ω₁}, {ω₂},...,{ω_λ) πραγματοποιούνται κ₁, κ₂,..., κ_λ φορές αντιστοίχως, τότε για τις σχετικές συχνότητες των απλών ενδεχομένων θα έχουμε:

Ας εκτελέσουμε τώρα το ακόλουθο πείραμα: Ρίχνουμε ένα συμμετρικό και ομογενές νόμισμα και σημειώνουμε με Κ το αποτέλεσμα “κεφαλή” και με Γ το αποτέλεσμα “γράμματα”.
Στον παρακάτω πίνακα αναφέρονται το πλήθος των Κ και οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες στις 10, 20, 30,…,200 ρίψεις του νομίσματος ενώ στο σχήμα 1 παριστάνεται το αντίστοιχο διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

Παρατηρούμε ότι καθώς αυξάνεται ο αριθμός ν των ρίψεων η σχετική συχνότητα fκ εμφάνισης της “κεφαλής” σταθεροποιείται γύρω από την τιμή 0,5 ή, όπως λέμε “τείνει” στον αριθμό 0,5. Αυτό επιβεβαιώνει την “προσδοκία” μας ότι στη ρίψη ενός συμμετρικού και ομογενούς νομίσματος ή, όπως λέμε, ενός “αμερόληπτου” νομίσματος, οι σχετικές συχνότητες των ενδεχομένων {K}, {Γ} είναι ίσες.

Ανάλογα παραδείγματα μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς (όχι πάντοτε ίδιους), καθώς ο αριθμός των δοκιμών του πειράματος επαναλαμβάνεται απεριόριστα. Το εμπειρικό αυτό εξαγόμενο, το οποίο επιβεβαιώνεται και θεωρητικά, ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών.
Θα προσπαθήσουμε τώρα στηριζόμενοι στις προηγούμενες διαπιστώσεις να ορίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου.

Κλασικός Ορισμός Πιθανότητας

Ας εξετάσουμε την ειδική περίπτωση του αμερόληπτου νομίσματος. Ρίχνουμε ένα τέτοιο νόμισμα και παρατηρούμε την όψη που θα εμφανιστεί. Όπως διαπιστώσαμε προηγουμένως η σχετική συχνότητα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {K}, {Γ} τείνει στον αριθμό Ομοίως θα μπορούσαμε να διαπιστώσουμε ότι στη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού η σχετική συχνότητα καθενός από τα απλά ενδεχόμενα {1},{2},{3},{4},{5} και {6} τείνει στον αριθμό . Σε πειράματα όπως τα προηγούμενα λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα ή, ισοδύναμα, τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα.
Ας δούμε τώρα ποια αναμένουμε να είναι η σχετική συχνότητα ενός σύνθετου ενδεχομένου σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα. Έστω για παράδειγμα, το ενδεχόμενο να φέρουμε ζυγό αριθμό στη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού. Επειδή το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι 2 ή 4 ή 6 και καθένα από τα αποτελέσματα αυτά εμφανίζεται με σχετική συχνότητα , η συχνότητα εμφάνισης του ζυγού αριθμού αναμένεται να είναι
Γενικά, σε ένα πείραμα με ν ισοπίθανα αποτελέσματα η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου με κ στοιχεία θα τείνει στον αριθμό Γι’ αυτό είναι εύλογο σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να ορίσουμε ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α τον αριθμό:

Έτσι, έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, που διατυπώθηκε από τον Laplace το 1812.
Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει άμεσα ότι:

1. 
2. 
3. Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0 ≤ P(A) ≤ 1, αφού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου είναι ίσο ή μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου.

Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας

Για να μπορεί όμως να χρησιμοποιηθεί ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας σε ένα δειγματικό χώρο με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων, είναι απαραίτητο τα απλά ενδεχόμενα να είναι ισοπίθανα. Υπάρχουν όμως πολλά πειράματα τύχης, των οποίων ο δειγματικός χώρος δεν αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Όπως για παράδειγμα ο αριθμός των αυτοκινητιστικών δυστυχημάτων μια ορισμένη εβδομάδα, η ρίψη ενός ζαριού που δεν είναι συμμετρικό κτλ. Για τις περιπτώσεις αυτές χρησιμοποιούμε τον παρακάτω αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας, ο οποίος έχει ανάλογες ιδιότητες με τη σχετική συχνότητα.

Αν , τότε έχουμε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου. Στην πράξη, ιδιαίτερα στην περίπτωση που δεν ισχύει ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας, ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α λαμβάνεται το όριο της σχετικής του συχνότητας.

ΣΧΟΛΙΟ

Όταν έχουμε ένα δειγματικό χώρο Ω = {ω₁, ω₂ ,..., ω_ν} και χρησιμοποιούμε τη φράση “παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω”, εννοούμε ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με πιθανότητα

Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων

Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, γνωστές ως “κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων”. Οι κανόνες αυτοί θα αποδειχθούν στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Αποδεικνύεται όμως ότι ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τότε το A∪B έχει κ + λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε N(A∪B) = κ + λ = N(A) + N(B).
Επομένως:

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P(A∪B∪Γ) = P(A) + P(B) + P(Γ).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ∩ A' = ∅, δηλαδή τα Α και A' είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο:

Οπότε P(A') = 1 - P(A).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε
N(A∪B) = N(A) + N(B) - N (A ∩ B), (1)
αφού στο άθροισμα N(A) + N(B) το πλήθος των στοιχείων του A ∩ B υπολογίζεται δυο φορές.
Αν διαιρέσουμε τα μέλη της (1) με N(Ω) έχουμε:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή A ⊆ B έχουμε διαδοχικά:

5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Επειδή τα ενδεχόμενα A-B και A∩B είναι ασυμβίβαστα και (A-B)∪(A∩B) = A, έχουμε:

P(A) = P(A - B) + P(A∩B).

Άρα

P(A-B) = P(A) - P(A∩B).

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ρίχνουμε δύο “αμερόληπτα” ζάρια. Να βρεθεί η πιθανότητα να φέρουμε ως αποτέλεσμα δύο διαδοχικούς αριθμούς.

ΛΥΣΗ

• Για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος, χρησιμοποιούμε έναν πίνακα “διπλής εισόδου”, όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

Από τον πίνακα αυτόν έχουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω έχει 36 ισοπίθανα δυνατά αποτελέσματα, δηλαδή N(Ω) = 36.

• Το ενδεχόμενο Α: “να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς”, είναι το

  A = {(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6)(6,5)}

  δηλαδή N(A) = 10
• Επομένως,

Άρα, η πιθανότητα να φέρουμε δύο διαδοχικούς αριθμούς είναι ≈ 0,28 ή, στη γλώσσα των ποσοστών, περίπου 28%.

2. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω δίνονται P(A) = 0,5 , P(B) = 0,4 και P(A∩B) = 0,2 . Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεχομένων:
i) Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.
ii) Να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β.

ΛΥΣΗ

i) Το ενδεχόμενο να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β είναι το (A∪B)'. Επομένως

ii) Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το (A - B) ∪ (B - A). Επειδή τα ενδεχόμενα A - B και B - A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε:

P((A - B)∪(B - A)) = P(A - B) + P(B - A)

3. Για δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A) = 0,6 και P(B) = 0,5.
i) Να εξεταστεί αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.
ii) Να αποδείξετε ότι 0,1 ≤ P(A∩B) ≤ 0,5 .

ΛΥΣΗ

i) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, από τον απλό προθετικό νόμο των πιθανοτήτων θα είχαμε:

P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0,6 + 0,5 = 1,1

ισχύει, δηλαδή, P(A∪B) > 1, που είναι άτοπο. Άρα, τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα.

ii) Επειδή A∩B⊆B και A∩B⊆A, έχουμε
P(A∩B) ≤ P(B) και P(A∩B) ≤ P(A),
επομένως P(A∩B) ≤ 0,5                  (1)

Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P(A∪B) = 0,6 + 0,5 - P(A∩B).

P(A∪B) ≤ 1.

0,6 + 0,5 - P(A∩B) ≤ 1
0,6 + 0,5 - 1 ≤ P(A∩B)
0,1 ≤ P(A∩B).        (2)

0,1 ≤ P(A∩B) ≤ 0,5.

Ασκήσεις