Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής (Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας) - Βιβλίο Μαθητή

3ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Εισαγωγή

Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια. Σημαντική μάλιστα ώθηση στην ανάπτυξη του κλάδου αυτού των Μαθηματικών αποτέλεσε η γόνιμη αλληλογραφία που αναπτύχθηκε ανάμεσα στους Pascal και Fermat το 17ο αιώνα με αφορμή διάφορα προβλήματα που προέκυψαν από την ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια.
Μολονότι όμως τα τυχερά παιχνίδια ήταν ευρέως διαδεδομένα και στους Αρχαίους Έλληνες και στους Ρωμαίους, η Θεωρία των Πιθανοτήτων δεν αναπτύχθηκε κατά την αρχαιότητα, όπως συνέβη με άλλους κλάδους των Μαθηματικών, αλλά πολύ αργότερα, το 16ο και 17ο αιώνα μ.Χ. Γι’ αυτό πολλοί απορρίπτουν την άποψη ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων οφείλει τη γένεσή της στην ενασχόληση του ανθρώπου με τα τυχερά παιχνίδια και την αποδίδουν στις ανάγκες να λυθούν προβλήματα που παρουσιάστηκαν με την ανάπτυξη του εμπορίου, των ασφαλίσεων, της συλλογής εσόδων του κράτους κτλ. Η ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων οφείλεται επίσης και στις ανάγκες των Φυσικών Επιστημών όπως η εφαρμογή της Θεωρίας Σφαλμάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις.
Η Θεωρία των Πιθανοτήτων αναπτύχθηκε ακόμα περισσότερο το 18ο αιώνα με τις αξιοσημείωτες εργασίες των μαθηματικών Bernoulli, De Moivre, Laplace και Gauss. Ιδιαίτερα ο Laplace με τις εργασίες του άνοιξε μια καινούργια εποχή για τη Θεωρία Πιθανοτήτων. Γιατί ο Laplace δεν περιορίζεται μόνο στη μαθηματική ανάλυση των τυχερών παιγνιδιών, αλλά εφαρμόζει τα συμπεράσματά του και σε ένα πλήθος από επιστημονικά και πρακτικά προβλήματα. Έτσι, με αφορμή τη μελέτη των σφαλμάτων που προκύπτουν στις επαναλαμβανόμενες μετρήσεις του ίδιου αστρονομικού μεγέθους ανακαλύπτεται η περίφημη κανονική κατανομή του Gauss. Κατόπιν αποδεικνύεται ότι η κανονική κατανομή απεικονίζει όχι μόνο την κατανομή των σφαλμάτων των αστρονομικών παρατηρήσεων αλλά και την κατανομή πολλών βιολογικών, κοινωνικών και φυσικών φαινομένων. Έτσι, στη διάρκεια του 19ου αιώνα γεννιούνται νέοι κλάδοι των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως είναι η Θεωρία των Σφαλμάτων, τα Ασφαλιστικά Μαθηματικά και η Στατιστική Μηχανική.
Στις μέρες μας η Θεωρία των Πιθανοτήτων με τις εργασίες πολλών διάσημων μαθηματικών, όπως είναι οι Chebyshev, Markov, Von Mises, Kolmogorov κ.ά., έχει σημειώσει αλματώδη πρόοδο. Καινούργια θεωρητικά αποτελέσματα παρέχουν νέες δυνατότητες για τη χρησιμοποίηση των μεθόδων της Θεωρίας των Πιθανοτήτων. Είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι οι εφαρμογές των Πιθανοτήτων αναφέρονται σε ένα ευρύτατο φάσμα επιστημών όπως η Φυσική, η Χημεία, η Γενετική, η Ψυχολογία, η Οικονομολογία, η Τηλεπικοινωνία, η Μετεωρολογία κτλ.
Η Θεωρία των Πιθανοτήτων ανήκει στους κλάδους των Μαθηματικών που συμβαδίζουν με την ανάπτυξη των φυσικών επιστημών και της τεχνολογίας. Αυτό δε σημαίνει βέβαια ότι η Θεωρία των Πιθανοτήτων είναι απλώς ένα βοηθητικό εργαλείο για τη λύση πρακτικών προβλημάτων των άλλων επιστημών. Απεναντίας έχει μετασχηματιστεί σε έναν αυτοτελή κλάδο των καθαρών Μαθηματικών, που έχει δικά του προβλήματα και δικές του μεθόδους.

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

Πείραμα Τύχης

Όπως γνωρίζουμε από τη Φυσική, αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100o Κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760 mm Hg, το νερό θα βράσει. Επίσης, αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει στο κενό υπό την επίδραση της βαρύτητας, μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το διάστημα που θα διανύσει σε ορισμένο χρόνο t. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό (deterministic) πείραμα.
Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης (random experiment). Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού, αφού ο αριθμός αυτός εξαρτάταιαπό πολλούς απρόβλεπτους παράγοντες.
Πειράματα τύχης είναι και τα εξής:

  1. Ρίχνεται ένα νόμισμα και καταγράφεται η άνω όψη του.

  2. Ρίχνεται ένα ζάρι και καταγράφεταιη ένδειξη της άνω έδρας του.

  3. Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς το φύλο των παιδιών και τη σειρά γέννησής τους.

  4. Ρίχνεται ένα νόμισμα ώσπου να φέρουμε “γράμματα” αλλά όχι περισσότερο από τρεις φορές.

  5. Επιλέγεται τυχαία μια τηλεφωνική συνδιάλεξη και καταγράφεται η διάρκειά της.

  6. Γίνεται η κλήρωση του ΛΟΤΤΟ και καταγράφεται το αποτέλεσμα.

  7. Την παραμονή του Πάσχα, στις 5 μ.μ., μετράται το μήκος της ουράς των αυτοκινήτων στα πρώτα διόδια της Εθνικής οδού Αθηνών-Λαμίας.

  8. Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδος και μετράται ο αριθμός των τηλεθεατών που παρακολούθησαν το απογευματινό δελτίο ειδήσεων στην ΕΤ1.

  9. Επιλέγεται τυχαία μια ραδιενεργός πηγή και καταγράφεται ο αριθμός των εκπεμπόμενων σωματιδίων σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.

Δειγματικός Χώρος

Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος. Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Αν δηλαδή ω1,ω2,...,ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο:

Ω = {ω1, ω2,...,ωκ}.

Έτσι, στο πρώτο από τα παραπάνω πειράματα τύχης, αν με Κ συμβολίσουμε το αποτέλεσμα να φέρουμε “κεφαλή” και με Γ το αποτέλεσμα να φέρουμε “γράμματα”, τότε ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {Κ, Γ}. Επίσης, στο δεύτερο από τα παραπάνω πειράματα τύχης η ένδειξη της άνω έδρας μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5, 6. Επομένως, ο δειγματικός χώρος είναι Ω = {1,2,3,4,5,6}.

Ενδεχόμενα

Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης λέγεται ενδεχόμενο (event) ή γεγονός. Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού τα σύνολα A = {2, 4,6}, B = {1,3,5} και Γ = {6} είναι ενδεχόμενα. Το Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό, το Β να φέρουμε περιττό αριθμό και το Γ να φέρουμε 6. Είναι φανερό ότι ένα ενδεχόμενο είναι υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Ένα ενδεχόμενο λέγεται απλό όταν έχει ένα μόνο στοιχείο και σύνθετο αν έχει περισσότερα στοιχεία. Για παράδειγμα, το Γ είναι ένα απλό ενδεχόμενο, ενώ τα Α και Β είναι σύνθετα ενδεχόμενα. Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Γι’αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Έτσι, για παράδειγμα, το ενδεχόμενο A = {2,4,6} έχει τρεις ευνοϊκές περιπτώσεις και πραγματοποιείται, όταν φέρουμε 2 ή 4 ή 6.

Ο ίδιος ο δειγματικός χώρος Ω ενός πειράματος θεωρείται ότι είναι ενδεχόμενο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντοτε, αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει στο Ω. Γι’αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Δεχόμαστε ακόμα ως ενδεχόμενο και το κενό σύνολο ∅ που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’αυτό λέμε ότι το ∅ είναι το αδύνατο ενδεχόμενο.
Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α θα το συμβολίζουμε με N(A). Επομένως, αν Ω = {1,2,3,4,5,6} και Α = {2,4,6} έχουμε N(A) = 3, N(Ω) = 6 και N(∅} = 0.

Πράξεις με Ενδεχόμενα

Όπως είδαμε, τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω. Επομένως, μεταξύ των ενδεχομένων ενός πειράματος μπορούν να οριστούν οι γνωστές πράξεις μεταξύ των συνόλων, από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα. Έτσι, αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε:

Εικόνα

  • Το ενδεχόμενο AB, που διαβάζεται “Α τομή Β” ή “Α και Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β.






Εικόνα

  • Το ενδεχόμενο AB, που διαβάζεται “Α ένωση Β” ή “A ή Β” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα A, Β.






Εικόνα

  • Το ενδεχόμενο Α', που διαβάζεται “όχι Α” ή “συμπληρωματικό του Α” και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το Α' λέγεται και “αντίθετο του Α”.





Εικόνα

  • Το ενδεχόμενο Α - B, που διαβάζεται “διαφορά του B από το Α” και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να δούμε ότι Α - B = ΑB'.

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων.

Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται
Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται
Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται
Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β
Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β
Πραγματοποιείται μόνο το Α
Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β
ωΑ
ωΑ' (ή ωΑ)
ωΑΒ
ωΑΒ
ω ∈ (ΑΒ)'
ωΑ - ΒωΑΒ')
ΑΒ

Για παράδειγμα, στη ρίψη ενός ζαριού έστω τα ενδεχόμενα Α = {1,2,3,4} και Β = {2,4,6}. Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός 1, τότε τα ενδεχόμενα Α, ΑΒ, Α - Β, Β' πραγματοποιούνται, ενώ τα Α', Β, (A∪Β)', (Α - Β)', A∩Β δεν πραγματοποιούνται.

Ασυμβίβαστα Ενδεχόμενα

Εικόνα

Στη ρίψη ενός ζαριού αν Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και Β το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό αριθμό, έχουμε Α = {2,4,6} και Β = {1,3,5}. Παρατηρούμε ότι τα Α και Β δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν συγχρόνως, αφού δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. Στην περίπτωση αυτή τα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα. Γενικά:
Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα, όταν ΑΒ = ∅.
Δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα λέγονται επίσης ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις διαδοχικές φορές.
i) Να γραφτεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος.
ii) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα:
Α1: “Ο αριθμός των Κ υπερβαίνει τον αριθμό των Γ
Α2: “Ο αριθμός των Κ είναι ακριβώς 2”
Α3: “Ο αριθμός των Κ είναι τουλάχιστον 2”
Α4: “Ίδια όψη και στις τρεις ρίψεις”
Α5: “Στην πρώτη ρίψη φέρνουμε Κ”.
iii) Να βρεθούν τα ενδεχόμενα A'3 ,  A5A,  A5A4.

 

ΛΥΣΗ

i) Για να προσδιορίσουμε το δειγματικό χώρο, θα χρησιμοποιήσουμε ένα δεντροδιάγραμμα:

Εικόνα

Άρα, ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από διατεταγμένες τριάδες με στοιχεία το Κ και το Γ και είναι

Ω = {KKK, KKΓ, KΓ K, KΓΓ, ΓKK, ΓKΓ, ΓΓK, ΓΓΓ}.

ii) Έχοντας υπόψη το δειγματικό χώρο Ω και την αντίστοιχη ιδιότητα έχουμε:

A1 = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}
A2 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ}
A3 = {ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ} (Παρατηρούμε ότι A3 = A1)
A4 = {ΚΚΚ, ΓΓΓ}
A5 = {ΚΚΚ, ΚΓΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ}.

iii) Το A'3 περιέχει εκείνα τα στοιχεία του δειγματικού χώρου που δεν περιέχει το A3, περιέχει δηλαδή τα στοιχεία στα οποία ο αριθμός των Κ είναι μικρότερος από 2. Επομένως, A'3 = {ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}.
Το ενδεχόμενο A5 ∩ A2 περιέχει τα κοινά στοιχεία των A5 και A2, δηλαδή τα στοιχεία με δύο ακριβώς Κ, εκ των οποίων το ένα στην πρώτη θέση. Επομένως, A5A2 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ}.
Το ενδεχόμενο A5A4 περιέχει τα στοιχεία που στην πρώτη θέση έχουν Κ ή τα στοιχεία που έχουν ίδιες και τις τρεις ενδείξεις. Επομένως, A5A4 = {ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΚΓ, ΚΚΚ, ΓΓΓ}.

2. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος με δειγματικό χώρο Ω. Να παρασταθούν με διαγράμματα Venn και να εκφραστούν με τη βοήθεια συνόλων τα ενδεχόμενα που ορίζονται με τις εκφράσεις:
i) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β.
ii) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β.

 

ΛΥΣΗ

Εικόνα

i) Επειδή θέλουμε να πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β, γραμμοσκιάζουμε τις επιφάνειες των Α και Β με εξαίρεση την τομή τους, δηλαδή την κοινή επιφάνειά τους.
Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση αυτή πραγματοποιείται ένα μόνο από τα A - B και B - A. Άρα, το ζητούμενο ενδεχόμενο είναι το (A - B) ∪ (B - A) ή ισοδύναμα το (AB') ∪ (A'∩ B).



Εικόνα

i) Επειδή θέλουμε να μην πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β, γραμμοσκιάζουμε την επιφάνεια του Ω που είναι εκτός της ένωσης των Α και Β. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι το ζητούμενο σύνολο είναι συμπληρωματικό του AB, δηλαδή το (AB)'.

Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μια άσπρη, μια μαύρη και μια κόκκινη. Κάνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Στη συνέχεια παίρνουμε μια δεύτερη μπάλα και καταγράφουμε επίσης το χρώμα της.
(Όπως λέμε παίρνουμε διαδοχικά δύο μπάλες με επανατοποθέτηση).
i) Ποιος είναι ο δειγματικός χώρος του πειράματος;
ii) Ποιο είναι το ενδεχόμενο “η πρώτη μπάλα να είναι κόκκινη”;
iii) Ποιο είναι το ενδεχόμενο “να εξαχθεί και τις δυο φορές μπάλα με το ίδιο χρώμα”;

2.

Να επιλυθεί το προηγούμενο πρόβλημα, χωρίς όμως τώρα να γίνει επανατοποθέτηση τηςπρώτης μπάλας πριν την εξαγωγή της δεύτερης.
(Όπως λέμε παίρνουμε διαδοχικά δύο μπάλες χωρίς επανατοποθέτηση).

3.

Μια οικογένεια από την Αθήνα αποφασίζει να κάνει τις επόμενες διακοπές της στην Κύπρο ή στη Μακεδονία. Στην Κύπρο μπορεί να πάει με αεροπλάνο ή με πλοίο. Στη Μακεδονία μπορεί να πάει με το αυτοκίνητό της, με τρένο ή με αεροπλάνο. Αν ως αποτέλεσμα του πειράματος θεωρήσουμε τον τόπο διακοπών και το ταξιδιωτικό μέσο, τότε:
i) Να γράψετε το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος
ii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: “Η οικογένεια θα πάει με αεροπλάνο στον τόπο των διακοπών της”.

4.

Ένα ξενοδοχείο προσφέρει γεύμα που αποτελείται από τρία πιάτα. Το κύριο πιάτο, το συνοδευτικό και το γλυκό. Οι δυνατές επιλογές δίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Γεύμα Επιλογές
Κύριο πιάτο
Συνοδευτικό
Γλυκό
Κοτόπουλο ή φιλέτο
Μακαρόνια ή ρύζι ή χόρτα
Παγωτό ή τούρτα ή ζελέ

Ένα άτομο πρόκειται να διαλέξει ένα είδος από κάθε πιάτο.
i) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος
ii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Α: “το άτομο επιλέγει παγωτό”
iii) Να βρείτε το ενδεχόμενο Β: “το άτομο επιλέγει κοτόπουλο”
iv) Να βρείτε το ενδεχόμενο AB
v) Αν Γ το ενδεχόμενο: “το άτομο επιλέγει ρύζι”, να βρείτε το ενδεχόμενο (AB)∩Γ.

5.

Η διεύθυνση ενός νοσοκομείου κωδικοποιεί τους ασθενείς σύμφωνα με το αν είναι ασφαλισμένοι ή όχι και σύμφωνα με την κατάσταση της υγείας τους, η οποία χαρακτηρίζεται ως καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Η διεύθυνση καταγράφει με 0 τον ανασφάλιστο ασθενή και με 1 τον ασφαλισμένο, και στη συνέχεια δίπλα γράφει ένα από τα γράμματα α, β, γ ή δ, ανάλογα με το αν η κατάστασή του είναι καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Θεωρούμε το πείραμα της κωδικοποίησης ενός νέου ασθενούς. Να βρείτε:
i) Το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος.
ii) Το ενδεχόμενο Α: “η κατάσταση του ασθενούς είναι σοβαρή ή κρίσιμη και είναι ανασφάλιστος”.
iii) Το ενδεχόμενο Β: “η κατάσταση του ασθενούς είναι καλή ή μέτρια”.
iv) Το ενδεχόμενο Γ: “ο ασθενής είναι ασφαλισμένος”.

6.

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα:
i) Ρίχνουμε ένα ζάρι. Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε 3 και Β είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό.
ii) Επιλέγουμε ένα άτομο. Α είναι το ενδεχόμενο να έχει γεννηθεί στην Ελλάδα και Β το ενδεχόμενο να είναι καθολικός.
iii) Επιλέγουμε μια γυναίκα. Α είναι το ενδεχόμενο να έχει ηλικία άνω των 30 και Β το ενδεχόμενο να είναι παντρεμένη πάνω από 30 χρόνια.
iv) Επιλέγουμε κάποιον με ένα αυτοκίνητο. Α είναι το ενδεχόμενο το αυτοκίνητό του να είναι ευρωπαϊκό και Β το ενδεχόμενο να είναι ασιατικό.

7.

Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και ως προς τη σειρά γέννησής τους. Να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.

Δύο παίκτες θα παίξουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που πρώτος θα κερδίσει δύο παιχνίδια. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης ένα παιχνίδι και β είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο δεύτερος παίκτης ένα παιχνίδι, να γράψετε το δειγματικό χώρο του πειράματος.

2.

Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε τα ενδεχόμενα:
Α: “Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το αποτέλεσμα της 2ης ρίψης”.
Β: “Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι άρτιος αριθμός”
Γ: “Το γινόμενο των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι μικρότερο του 5”
Στη συνέχεια να βρείτε τα ενδεχόμενα AB, AΓ, BΓ, (AB)∩Γ.

3.

Αν A και B είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: αν AB, τότε B'⊆A'.

4.

Έστω A και B δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Να γράψετε το ενδεχόμενο AB ως ένωση τριών ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων.