2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

Εισαγωγή

Εκτός από τους στατιστικούς πίνακες και τα διαγράμματα υπάρχουν και αριθμητικά μέτρα με τα οποία μπορούμε να περιγράψουμε με συντομία μια κατανομή συχνοτήτων. Η γνώση των μέτρων αυτών διευκολύνει και την παραπέρα στατιστική επεξεργασία των δεδομένων. Έστω, για παράδειγμα, ένας καθηγητής ο οποίος, για να συγκρίνει δύο διαφορετικά τμήματα Α και Β της ίδιας τάξης ως προς την επίδοσή τους σε ένα μάθημα, πήρε τυχαία 10 μαθητές από κάθε τμήμα. Η βαθμολογία τους στο μάθημα αυτό ήταν:

Τμήμα Α: 13 13 14 15 15 15 15 16 16 18
Τμήμα Β: 10 13 14 14 15 15 15 16 18 20.

(α)	(β)

Παρατηρούμε ότι η βαθμολογία και των δύο τμημάτων είναι συγκεντρωμένη γύρω στο 15, αλλά το δεύτερο τμήμα παρουσιάζει μεγαλύτερη διασπορά βαθμών από το πρώτο. Δηλαδή, οι βαθμοί του Β΄ τμήματος είναι περισσότερο διασκορπισμένοι γύρω από μια “κεντρική” τιμή. Οι έννοιες “κεντρική τιμή” και “διασπορά των παρατηρήσεων” μας δίνουν το ερέθισμα για έναν ακόμα πιο σύντομο τρόπο περιγραφής της κατανομής ενός συνόλου δεδομένων. Για να ορίσουμε δηλαδή κάποια μέτρα (αριθμητικά μεγέθη), που να μας δίνουν α) τη θέση του “κέντρου” των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και β) τη διασπορά των παρατηρήσεων, δηλαδή πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το “κέντρο” τους. Τα πρώτα τα καλούμε μέτρα θέσης της κατανομής (location measures), ενώ τα δεύτερα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας (measures of variability).

Εκτός από τα μέτρα θέσης και διασποράς μιας κατανομής πολλές φορές είναι απαραίτητος και ο προσδιορισμός κάποιων άλλων μέτρων, που καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ή όχι ως προς την ευθεία x = x₀, για δεδομένο σημείο x₀ του άξονα 0x. Τα μέτρα αυτά, που συνήθως εκφράζονται σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς, καλούνται μέτρα ασυμμετρίας (measures of skewness).

Υπολογίζοντας από ένα σύνολο δεδομένων κάποια από τα ανωτέρω μέτρα, μπορούμε να έχουμε μια σύντομη περιγραφή της μορφής της καμπύλης συχνοτήτων. Στο σχήμα 12 οι καμπύλες συχνοτήτων Α και Β είναι συμμετρικές με το ίδιο “κέντρο” x₀, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από την Α. Οι καμπύλες Γ και Δ είναι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε να παρουσιάζει θετική ασυμμετρία και τη Δ αρνητική ασυμμετρία. Το “κέντρο” της Γ είναι αριστερότερα του x₀, ενώ της Δ είναι δεξιότερα του x₀. Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ.

Μέτρα Θέσης

Τα πιο συνηθισμένα μέτρα που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο άξονα ox, εκφράζοντας την “κατά μέσο όρο” απόστασή τους από την αρχή των αξόνων, είναι ο αριθμητικός μέσος ή μέση τιμή (arithmetic mean or average), η διάμεσος (median) και η κορυφή ή επικρατούσα τιμή (mode).

α) Μέση Τιμή

Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων αποτελεί το σπουδαιότερο και χρησιμότερο μέτρο της Στατιστικής και ορίζεται ως το άθροισμα των παρατηρήσεων διά του πλήθους των παρατηρήσεων.
Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είναι t₁,t₂,...,t_v, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με και δίνεται από τη σχέση:

όπου το σύμβολο παριστάνει μια συντομογραφία του αθροίσματος t₁+t₂+...+t_v και διαβάζεται “άθροισμα των t₁ από i = 1 έως ν”. Συχνά, όταν δεν υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται και ως ή ακόμα πιο απλά με
Σε μια κατανομή συχνοτήτων, αν x₁, x₂ ,..., x_κ είναι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες v₁,v₂,...,v_κ αντίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύναμα από τη σχέση:

Η παραπάνω σχέση ισοδύναμα γράφεται:

όπου f_i οι σχετικές συχνότητες. Για παράδειγμα, η μέση επίδοση των μαθητών στο τμήμα Α θα είναι σύμφωνα με την (1)

ή ισοδύναμα από τον αντίστοιχο πίνακα συχνοτήτων σύμφωνα με την (2).

Ομοίως, υπολογίζεται και η μέση επίδοση για το τμήμα Β, η οποία είναι πάλι

Επίσης, το μέσο ύψος των 40 μαθητών της Γ΄ Λυκείου του πίνακα 8, σύμφωνα με τη σχέση (1) είναι

Για ευκολότερο όμως υπολογισμό χρησιμοποιούμε τον πίνακα συχνοτήτων, όπως αυτός δίνεται παρακάτω, ομαδοποιώντας τα δεδομένα σε κ = 6 κλάσεις. Αν x_i είναι το κέντρο της i κλάσης και ν_i η αντίστοιχη συχνότητα, τότε σύμφωνα με τη σχέση (2) η μέση τιμή θα είναι:

Παρατηρούμε ότι οι δύο μέσες τιμές του ίδιου συνόλου δεδομένων δεν είναι ακριβώς οι ίδιες. Πού οφείλεται αυτή η, έστω και μικρή, διαφορά;

Η διαφορά αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι κατά την ομαδοποίηση υποθέσαμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και ότι οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε κλάση εκπροσωπούνται από την αντίστοιχη κεντρική τιμή x_i. Η υπόθεση αυτή σημαίνει απώλεια πληροφοριών για τις αρχικές τιμές. Χάνουμε λοιπόν λίγο ως προς στην ακρίβεια κερδίζουμε όμως χρόνο!

β) Σταθμικός Μέσος

Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα (έμφαση) στις τιμές x₁, x₂ ,..., x_ν ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμισμένο αριθμητικό μέσο ή σταθμικό μέσο (weighted mean).

Εάν σε κάθε τιμή x₁, x₂,..., x_ν δώσουμε διαφορετική βαρύτητα, που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) w₁, w₂,..., w_ν, τότε ο σταθμικός μέσος βρίσκεται από τον τύπο:

Για παράδειγμα, με το νέο σύστημα, για την εισαγωγή ενός μαθητή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση θα συνυπολογίζονται ο βαθμός x₁ του απολυτηρίου του Ενιαίου Λυκείου με συντελεστή (βάρος) w₁ = 7 ,5, ο βαθμός x₂ στο τεστ δεξιοτήτων με συντελεστή w₂ = 1, ο βαθμός x₃ στο 1ο βασικό μάθημα με συντελεστή w₃ = 1 και ο βαθμός x₄ στο 2ο βασικό μάθημα με συντελεστή w₄ = 0,5. Εάν ένας μαθητής πάρει τους βαθμούς x₁ = 16,5, x₂ = 18, x₃ = 17 και x₄ = 16,6, τότε ο σταθμικός μέσος της επίδοσης του θα είναι:

γ) Διάμεσος (δ)

Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν 9 μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα είναι: 3, 5, 5, 36, 6, 7, 4, 7, 8 με μέση τιμή Παρατηρούμε όμως ότι οι οκτώ από τις εννέα παρατηρήσεις είναι μικρότερες του 9 και μία (ακραία τιμή), η οποία επηρεάζει και τη μέση τιμή είναι, αρκετά μεγαλύτερη του 9. Αυτό σημαίνει ότι η μέση τιμή δεν ενδείκνυται ως μέτρο θέσης (“κέντρο”) των παρατηρήσεων αυτών. Αντίθετα, ένα άλλο μέτρο θέσης που δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις είναι η διάμεσος (median), η οποία ορίζεται ως εξής:

Για παράδειγμα, για να βρούμε τη διάμεσο των δεδομένων:
α) 3, 4, 0, 6, 5, 8, 1, 1, 6, 1, 2, 8, 9
β) 3, 4, 0, 6, 5, 8, 1, 1, 6, 1, 2, 8, 9, 9
εργαζόμαστε ως εξής:

α) Έχουμε ν = 13 παρατηρήσεις, οι οποίες σε αύξουσα σειρά είναι:

0 1 1 1 2 3 4 5 6 6 8 8 9.

Άρα, η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση (έβδομη στη σειρά), δ = 4.

0 1 1 1 2 3 4 5 6 6 8 8 9 9.

Άρα, η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων (της έβδομης και όγδοης στη σειρά), δηλαδή

Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είναι η τιμή που χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη όταν οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθούν με σειρά τάξης μεγέθους. Ακριβέστερα, η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες από αυτήν και το πολύ 50% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν.

Διάμεσος σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Θεωρούμε τα δεδομένα του ύψους των μαθητών στον πίνακα 9 και το αντίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων με την πολυγωνική γραμμή, σχήμα 13. Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, αντιστοιχεί στην τιμή x = δ της μεταβλητής Χ (στον οριζόντιο άξονα), έτσι ώστε το 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες του δ. Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχνότητα F_i = 50% . Εφόσον στον κάθετο άξονα έχουμετις αθροιστικές σχετικές συχνότητες, από το σημείο Α (50% των παρατηρήσεων) φέρουμε την και στη συνέχεια τη Τότε, στο σημείο Γ αντιστοιχεί η διάμεσος δ των παρατηρήσεων. Δηλαδή, δ ≈ 173.

δ) Εκατοστημόρια (P_κ)

Όπως ορίσαμε τη διάμεσο δ, έτσι ώστε το πολύ 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες του δ και το πολύ 50% των παρατηρήσεων να είναι μεγαλύτερες του δ, μπορούμε ανάλογα να ορίσουμε και τα εκατοστημόρια (percentiles) P_κ, κ = 1,2,...,99 . Οι τιμές P₁, P₂,..., P₉₉ χωρίζουν τη συνολική συχνότητα σε 100 ίσα μέρη. Επομένως, αναλόγως και με τον ορισμό της διαμέσου, ορίζουμε ως κ-εκατοστιαίο σημείο ή P_κ εκατοστημόριο ενός συνόλου παρατηρήσεων την τιμή εκείνη για την οποία το πολύ κ% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του P_κ και το πολύ (100-κ)% των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες από την τιμή αυτήν.
Ειδική περίπτωση εκατοστημορίων είναι τα P₂₅, P₅₀, P₇₅, τα οποία καλούνται τεταρτημόρια (quartiles) και συμβολίζονται με Q₁, Q₂ και Q₃, αντίστοιχα. Για το Q₁ έχουμε αριστερά το πολύ 25% των παρατηρήσεων και δεξιά το πολύ 75%. Όμοια για το Q₃ έχουμε αριστερά το πολύ 75% των παρατηρήσεων και δεξιά το πολύ 25% των παρατηρήσεων. Προφανώς το Q₂ = P₅₀ συμπίπτει και με τη διάμεσο, δηλαδή Q₂ = δ. Τα μέτρα αυτά χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά για τη μελέτη ενός συνόλου δεδομένων.
Συχνά για ευκολία ο υπολογισμός των τεταρτημορίων Q₁ και Q₃ ενός συνόλου δεδομένων γίνεται κατά προσέγγιση υπολογίζοντας τις διαμέσους του πρώτου και του δεύτερου μισού των διατεταγμένων παρατηρήσεων, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, προκειμένου να υπολογίσουμε τα τεταρτημόρια των δεδομένων 3, 4, 0, 6, 5, 8, 1, 1, 6, 1, 2, 8, 9, εργαζόμαστε ως εξής:

• Διατάσσουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά μεγέθους:
  Έχουμε ν = 13 παρατηρήσεις, οι οποίες σε αύξουσα σειρά είναι:
  
  

  0 1 1 1 2 3 4 5 6 6 8 8 9.

• Υπολογίζουμε τη διάμεσο, όπως προαναφέραμε:
  H διάμεσος είναι η έβδομη στη σειρά παρατήρηση, δηλαδή δ = 4.
• Υπολογίζουμε τη διάμεσο του πρώτου μισού των διατεταγμένων παρατηρήσεων, δηλαδή των παρατηρήσεων που είναι αριστερά του δ. Η τιμή αυτή είναι το Q₁:
  Η διάμεσος των παρατηρήσεων που είναι αριστερά του δ, δηλαδή των 0 1 1 1 2 3, είναι το
• Υπολογίζουμε τη διάμεσο του δεύτερου μισού των διατεταγμένων παρατηρήσεων, δηλαδή των παρατηρήσεων που είναι δεξιά του δ. Η τιμή αυτή είναι το Q₃.
  Η διάμεσος των παρατηρήσεων που είναι δεξιά του δ, δηλαδή των 5 6 6 8 8 9, είναι το

Εκατοστημόρια σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Ο υπολογισμός των εκατοστημορίων (ή τεταρτημορίων) σε ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται όπως και στη διάμεσο από το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Στο σχήμα 13 δίνονται τα Q₁, Q₂ = δ, Q₃ και P₁₀, P₉₀ για τα δεδομένα του πίνακα 9, από το οποίο βρίσκουμε κατά προσέγγιση:

P₁₀ = 162,5,  Q₁ = 168,  δ =173,  Q₃ = 178  και  P₉₀ = 184.

ε) Επικρατούσα Τιμή (M₀)

Στην περίπτωση μη ομαδοποιημένων δεδομένων επικρατούσα τιμή ή κορυφή (mode) M₀ ορίζεται ως η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Είναι προφανές ότι η επικρατούσα τιμή μπορεί να οριστεί και στην περίπτωση ποιοτικών δεδομένων, ενώ τα άλλα μέτρα που είδαμε ορίζονται μόνο για ποσοτικά δεδομένα. Για παράδειγμα:
α) Η επικρατούσα τιμή (επικρατούσα απασχόληση) για την απασχόληση των μαθητών του πίνακα 5 στον ελεύθερο χρόνο τους είναι M₀ "Μουσική".
β) Η επικρατούσα τιμή του αριθμού των αδελφών των μαθητών στον πίνακα 6 είναι M₀ = 1, δηλαδή οι περισσότερες οικογένειες (55%) έχουν δύο παιδιά.

γ) Για να βρούμε την επικρατούσα τιμή των παρατηρήσεων 0 1 1 2 2 2 3 4 4 4 5 5 7 8, κατασκευάζουμε το διπλανό πίνακα συχνοτήτων. Οι τιμές 2 και 4 είναι και οι δύο επικρατούσες τιμές, γιατί καθεμιά έχει συχνότητα 3. Βλέπουμε εδώ ότι η επικρατούσα τιμή μπορεί να μην είναι μοναδική. Όταν έχουμε δύο κορυφές, η αντίστοιχη κατανομή συχνοτήτων λέγεται δικόρυφη (bimodal), ενώ όταν έχουμε πολλές κορυφές λέγεται πολυκόρυφη (multimodal).
δ) Όταν όλες οι παρατηρήσεις είναι διαφορετικές, τότε λέμε ότι δεν υπάρχει επικρατούσα τιμή. Έτσι, για τις παρατηρήσεις 0, 1, 2, 7, 8, 9 δεν έχουμε επικρατούσα τιμή.

Επικρατούσα Τιμή σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα

Όταν έχουμε ομαδοποιημένα (ποσοτικά) δεδομένα σε ισοπλατείς κλάσεις, τότε βρίσκουμε πρώτα την επικρατούσα κλάση i, δηλαδή την κλάση με τη μεγαλύτερη συχνότητα.

Υποθέτοντας, όπως έχουμε ήδη αναφέρει και προηγουμένως, ότι οι παρατηρήσεις στις κλάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα, η επικρατούσα τιμή προσδιορίζεται, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα 14, ως η τετμημένη του σημείου τομής Ζ των ευθύγραμμων τμημάτων ΑΓ και ΒΔ. Στο σχήμα αυτό δίνεται η κορυφή για το ύψος των μαθητών του πίνακα 9. Κατά προσέγγιση η κορυφή (επικρατέστερο ύψος) είναι M₀ ≈173 cm.

Μέτρα Διασποράς

Στα προηγούμενα είδαμε ότι τα μέτρα θέσης παρέχουν κάποια πληροφορία για την κατανομή ενός πληθυσμού. Αυτά όμως δεν επαρκούν, για να περιγράψουν πλήρως την κατανομή, όπως διαπιστώσαμε στην αρχή της § 2.3 συγκρίνοντας τις βαθμολογίες των μαθητών δύο τμημάτων Α και Β στα σχήματα 11(α), (β). Ενώ οι βαθμολογίες των δύο τμημάτων Α και Β έχουν ίσες μέσες τιμές και ίσες διαμέσους δ_Α = δ_Β = 15, είναι φανερό ότι οι κατανομές τους διαφέρουν σημαντικά ως προς τη μεταβλητότητά τους. Οι βαθμοί του τμήματος Α είναι περισσότερο “συγκεντρωμένοι” γύρω από τη μέση τιμή, ενώ, αντίθετα, οι βαθμοί του τμήματος Β διασπείρονται περισσότερο, έχουν δηλαδή μεγάλες αποκλίσεις γύρω από τη μέση τιμή τους.
Παράλληλα λοιπόν με τα μέτρα θέσης κρίνεται απαραίτητη και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς ή μεταβλητότητας, δηλαδή μέτρων που εκφράζουν τις αποκλίσεις των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα κεντρικής τάσης. Τέτοια μέτρα λέγονται μέτρα διασποράς (measures of variation, dispersion measures). Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς είναι το εύρος, η ενδοτεταρτημοριακή απόκλιση, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση.

α) Εύρος (R)

Το απλούστερο από τα μέτρα διασποράς είναι το εύρος ή κύμανση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή:

Έτσι, για τη βαθμολογία του τμήματος Α το εύρος είναι R_A = 18 - 13 = 5, ενώ για το τμήμα Β, R_B = 20 - 10 = 10, τιμές που επιβεβαιώνουν ότι πράγματι στο τμήμα Β έχουμε μεγαλύτερη διασπορά βαθμολογίαςπαρά στο τμήμα Α.
Όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα, το εύρος δίνεται από τη διαφορά του κατώτερου ορίου της πρώτης κλάσης από το ανώτερο όριο της τελευταίας κλάσης. Το εύρος των υψών των μαθητών του δείγματος στον πίνακα 9 είναι R = 192 - 156 = 36. Προφανώς, το εύρος σε ομαδοποιημένα δεδομένα μπορεί να διαφέρει ελαφρώς από τα αντίστοιχα δεδομένα πριν αυτά ομαδοποιηθούν. Για παράδειγμα, το εύρος των υψών στον πίνακα 8, πριν αυτά ομαδοποιηθούν, βρήκαμε ότι είναι R =191 - 156 = 35.
Το εύρος είναι ένα αρκετά απλό μέτρο, που υπολογίζεται εύκολα δε θεωρείται όμως αξιόπιστο μέτρο διασποράς, γιατί βασίζεται μόνο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις.

β) Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος (Q)

Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος (interquartile range) είναι η διαφορά του πρώτου τεταρτημορίου Q₁ από το τρίτο τεταρτημόριο Q₃, δηλαδή:

Στο μεταξύ τους διάστημα περιλαμβάνεται το 50% των παρατηρήσεων. Επομένως όσο μικρότερο είναι αυτό το διάστημα, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η συγκέντρωση των τιμών και άρα μικρότερη η διασπορά των τιμών της μεταβλητής.
Από τα δεδομένα του σχήματος 13 βρήκαμε κατά προσέγγιση Q₁ = 168, Q₃ = 178 επομένως το ενδοτεταρτημοριακό εύρος είναι Q = 10. Δηλαδή το 50% των μαθητών έχουν ύψος μεταξύ 168 και 178 cm.

γ) Διακύμανση (s²)

Ένας άλλος τρόπος για να υπολογίσουμε τη διασπορά των παρατηρήσεων t₁,t₂,...,t_v μιας μεταβλητής Χ θα ήταν να αφαιρέσουμε τη μέση τιμή από κάθε παρατήρηση και να βρούμε τον αριθμητικό μέσο των διαφορών αυτών, δηλαδή τον αριθμό:

Ο αριθμός όμως αυτός είναι ίσος με μηδέν, αφού

Γι’αυτό, ως ένα μέτρο διασποράς παίρνουμε τον μέσο όρο των τετραγώνων των αποκλίσεων των t₁ από τη μέση τιμή τους . Το μέτρο αυτό καλείται διακύμανση ή διασπορά (variance) και ορίζεται από τη σχέση

Ο τύπος αυτός αποδεικνύεται ότι μπορεί να πάρει την ισοδύναμη μορφή:

η οποία διευκολύνει σημαντικά τους υπολογισμούς κυρίως όταν η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος αριθμός. Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα, η διακύμανση ορίζεται από τη σχέση:

ή την ισοδύναμη μορφή:

  (4)

όπου x₁, x₂ ,...,x_κ οι τιμές της μεταβλητής (ή τα κέντρα των κλάσεων) με αντίστοιχες συχνότητες ν₁, ν₂,..., ν_κ.
Για παράδειγμα, η διακύμανση της βαθμολογίας των μαθητών του τμήματος Α είναι σύμφωνα με την (1)

ενώ για τους μαθητές του τμήματος Β βρίσκουμε που επιβεβαιώνει τη διαπίστωσή μας ότι η βαθμολογία των μαθητών του τμήματος Β παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη βαθμολογία των μαθητών του τμήματος Α.
Ομοίως, η διακύμανση του ύψους των μαθητών για τα ομαδοποιημένα δεδομένα του πίνακα 9, υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο (3), όπως φαίνεται στον επόμενο πίνακα:

Κλάσεις [ -)	Κεντρικές τιμές xi	Συχνότητα vi		xivi
156-162 162-168 168-174 174-180 180-186 186-192	159 165 171 177 183 189	2 8 12 11 5 2	25281 27225 29241 31329 33489 35721	318 1320 2052 1942 915 378	50562 217800 350892 344619 167445 71442
Σύνολο		ν = 40	-	Σxivi = 6930	= 1202760

Επομένως:

Εάν υπολογίσουμε τη διακύμανση από τα μη ομαδοποιημένα δεδομένα του πίνακα 8, βρίσκουμε s² = 50,9. Η διαφορά αυτή οφείλεται στην απώλεια πληροφορίας λόγω ομαδοποίησης των παρατηρήσεων.

δ) Τυπική Απόκλιση (s)

Η διακύμανση είναι μια αξιόπιστη παράμετρος διασποράς, αλλά έχει ένα μειονέκτημα. Δεν εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Για παράδειγμα, αν οι παρατηρήσεις εκφράζονται σε cm, η διακύμανση εκφράζεται σε cm₂. Αν όμως πάρουμε τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης, θα έχουμε ένα μέτρο διασποράς που θα εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού, όπως ακριβώς είναι και όλα τα άλλα μέτρα θέσης, που εξετάσαμε έως τώρα. Η ποσότητα αυτή λέγεται τυπική απόκλιση (standard deviation), συμβολίζεται με s και δίνεται από τη σχέση:

Η τυπική απόκλιση για το ύψος των μαθητών του πίνακα 4 είναι από το προηγούμενο παράδειγμα s = √53,4 = 7,3 cm αν αυτή υπολογιστεί από τα ομαδοποιημένα δεδομένα του πίνακα 9, ή s = √50,9 = 7,13 cm, αν υπολογιστεί από τα μη ομαδοποιημένα δεδομένα του πίνακα 8.
Αξίζει να σημειωθεί ότι αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

i) το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

ii) το 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

iii) το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα

iv) το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπικές αποκλίσεις, δηλαδή R ≈ 6s.

Συντελεστής Mεταβολής (CV)

Έστω ότι από ένα δείγμα είκοσι μαθητών της Α΄ Γυμνασίου βρήκαμε μέσο βάρος και τυπική απόκλιση s_A = 6 kgr, ενώ από ένα δεύτερο δείγμα τριάντα μαθητών της Γ' Λυκείου βρήκαμε μέσο βάρος και τυπική απόκλιση s_B = 6 kgr. Όπως αντιλαμβανόμαστε, είναι λάθος να πούμε ότι το βάρος των μαθητών του Λυκείου έχει τον ίδιο βαθμό μεταβλητότητας με το βάρος των μαθητών του Γυμνασίου, καθόσον η βαρύτητα που έχουν τα 6 kgr στο μέσο βάρος των 40 kgr είναι διαφορετική από αυτήν που έχουν στο μέσο βάρος των 75 kgr.
Ακόμη, ας υποθέσουμε ότι ο μέσος μισθός των υπαλλήλων μιας εταιρείας Α είναι με τυπική απόκλιση s_A = 42.000 δρχ., ενώ για τους υπαλλήλους μιας εταιρείας Β είναι με τυπική απόκλιση s_B = $350. Στην περίπτωση αυτή έχουμε διαφορετικές μονάδες μέτρησης του μισθού, επομένως οι διασπορές των παρατηρήσεων δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες.
Ένα μέτρο με το οποίο μπορούμε να ξεπεράσουμε τις παραπάνω δυσκολίες και το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας (coefficient of variation), ο οποίος ορίζεται από το λόγο:

Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επί τοις εκατό, είναι συνεπώς ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα. Εκφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμής. Για το πρώτο παράδειγμα του βάρους έχουμε συντελεστή μεταβολής για τις δύο ομάδες μαθητών:

δηλαδή, ο βαθμός διασποράς του βάρους των μαθητών Γυμνασίου είναι μεγαλύτερος από το βαθμό διασποράς του βάρους των μαθητών Λυκείου (για τα συγκεκριμένα δείγματα).
Ανάλογα συμπεράσματα βγάζουμε και για το δεύτερο παράδειγμα, όπου βρίσκουμε CV_A = 12% και CV_B = 25%. Παρ’ όλο που η τυπική απόκλιση των μισθών στην εταιρεία Α είναι μεγαλύτερη από την τυπική απόκλιση στην εταιρεία Β, ο συντελεστής μεταβολής δίνει μεγαλύτερη σχετική διασπορά στην εταιρεία Β. Αυτό μεταφράζεται στο να λέμε ότι έχουμε μεγαλύτερη ομοιογένεια μισθών στην εταιρεία Α παρά στη Β.
Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής θα είναι ομοιογενές, εάν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Ο διπλανός πίνακας συχνοτήτων δίνει την κατανομή του χρόνου Χ (σε sec) 60 μαθητών
που χρειάστηκαν, για να τρέξουν μια δεδομένη απόσταση. Να υπολογιστούν:

ΛΥΣΗ

• Για τον υπολογισμό της μέσης τιμής συμπληρώνουμε τις τρεις πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα:

xi	vi	xivi
50 55 60 65 70 75 80	4 6 8 12 14 10 6	200 330 480 780 980 750 480	10000 18150 28800 50700 68600 56250 38400
Σύνολο	ν = 60	Σxivi = 4000	= 270900

Επομένως, ο μέσος χρόνος για την κάλυψη της συγκεκριμένης απόστασης είναι:

• Έχουμε ν = 60 παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά, άρα η διάμεσος είναι ο μέσος όρος της 30ής και 31ης παρατήρησης, δηλαδή ο μέσος όρος των παρατηρήσεων 65 και 70, άρα
• Η επικρατούσα τιμή είναι η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα, άρα M₀ = 70 sec.

β) Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης είναι προτιμότερο να εφαρμόσουμε τη σχέση (4), μιας και η μέση τιμή δεν είναι ακέραιος αριθμός. Με βάση τον παραπάνω πίνακα η διακύμανση της μεταβλητής Χ είναι:

και η τυπική απόκλιση s = √70,56 = 8,4 sec.

γ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το πρώτο τεταρτημόριο, Q₁. Αριστερά της διαμέσου δ = 67,5 έχουμε 30 παρατηρήσεις. Η διάμεσος αυτών των 30 πρώτων παρατηρήσεων είναι το ημιάθροισμα της 15ης και 16ης παρατήρησης, δηλαδή Q₁ = (60 + 60) / 2 = 60 sec. Δηλαδή, ύστερα από μία ώρα από τη στιγμή της εκκίνησης το 25% των μαθητών κάλυψαν τη συγκεκριμένη απόσταση.

2. Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση

γίνεται ελάχιστη, όταν

ΛΥΣΗ

Λαμβάνοντας την πρώτη παράγωγο της f(λ), βρίσκουμε

f'(λ) = -2(x₁ - λ) - 2(x₂ - λ)... - 2(x_ν - λ).

Έχουμε διαδοχικά:

Η δεύτερη παράγωγος της της f(λ) είναι:

και επειδή συνεπάγεται ότι για η f(λ) γίνεται ελάχιστη.

3. Έστω x₁, x₂ ,..., x_v ν παρατηρήσεις με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s_x.

α) Αν y₁, y₂,..., y_v είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε καθεμιά από τις x₁, x₂,..., x_v μια σταθερά c, να δειχτεί ότι:

β) Αν y₁, y₂,..., y_v είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε σε καθεμιά από τις x₁, x₂,..., x_v μια σταθερά c, να αποδειχτεί ότι:

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

α) Έχουμε y_i = x_i + c, i = 1,2,...,v, επομένως:

Ασκήσεις