2.2 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

Στατιστικοί Πίνακες

Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων ή γραφικών παραστάσεων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων. Η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων σε πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των πληροφοριών σε γραμμές και στήλες, με τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων και η καλύτερη ενημέρωση του αναγνώστη σχετικά με τη δομή του πληθυσμού που ερευνάμε.
Οι πίνακες διακρίνονται στους:
α) γενικούς πίνακες, οι οποίοι περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μία στατιστική έρευνα (συνήθως με αρκετά λεπτομερειακά στοιχεία) και αποτελούν πηγές στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των επιστημόνων-ερευνητών για παραπέρα ανάλυσηκαι εξαγωγή συμπερασμάτων,
β) ειδικούς πίνακες, οι οποίοι είναι συνοπτικοί και σαφείς. Τα στοιχεία τους συνήθως έχουν ληφθεί από τους γενικούς πίνακες.
Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει:
α) τον τίτλο, που γράφεται στο επάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα,
β) τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών, που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και τις μονάδες μέτρησηςτων δεδομένων,
γ) το κύριο σώμα (κορμό), που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στις στήλες τα στατιστικά δεδομένα,
δ) την πηγή, που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να ανατρέχει σ’αυτήν, όταν επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείων ή για λήψη περισσότερων πληροφοριών.
Παρακάτω δίνονται μερικοί στατιστικοί πίνακες, που διευκρινίζουν την εφαρμογή των προηγούμενων εννοιών.

Πίνακας 1

Πληθυσμός της Ελλάδος (σε εκατομμύρια) κατά μεγάλες ομάδες ηλικιών

Πηγή: ΕΣΥΕ, 1996

Πίνακας 2

Επιφάνεια και πληθυσμός των κατοικημένων νησιών της Ελλάδας με πληθυσμό, κατά την απογραφή του 1991, άνω των 10.000 κατοίκων.

Πηγή: ΕΣΥΕ, 1991

Πίνακας 3

Εργατικά ατυχήματα κατά ομάδες ηλικιών
Έτη 1990-94

Πηγή: ΙΚΑ, Ελληνικό Ινστιτούτο Υγιεινής και Ασφάλειας της Εργασίας

Πίνακας 4

Χαρακτηριστικά 40 μαθητών Γ' τάξης ενός Λυκείου.

*1: Υπολογιστές, 2: Αθλητισμός, 3: Διασκέδαση - Ντίσκο, 4: Μουσική, 5: Τηλεόραση - Κινηματογράφος, 6: Διάβασμα εξωσχολικών βιβλίων, 7: Άλλο
Πηγή: Δειγματοληπτική έρευνα μεταξύ μαθητών 1ου Λυκείου Αμαρουσίου (Σεπτ. ’98).

Πίνακες Κατανομής Συχνοτήτων

Ας υποθέσουμε ότι x₁, x₂,..., x_κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v, κ ≤ ν. Στην τιμή x_i αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα (frequency) ν_i, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x_i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, δηλαδή:

ν₁+ ν₂ + ... + ν_κ = v               (1)

Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: “αριθμός αδελφών” του πίνακα 4 οι συχνότητες για τις τιμές x₁ = 0, x₂ =1, x₃ = 2, x₄ = 3 είναι, αντίστοιχα, ν₁ = 8, ν₂ = 22 , ν₃ = 7, ν₄ = 3 με ν₁ + ν₂ + ν₃ + ν₄ = 40. Ο υπολογισμός των συχνοτήτων γίνεται με τη διαλογή των παρατηρήσεων, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα 5. Διατρέχοντας με τη σειρά τη λίστα των δεδομένων καταγράφουμε κάθε παρατήρηση με συμβολικό τρόπο σαν μια γραμμή “ | ” στην αντίστοιχη τιμή της μεταβλητής.

Πίνακας 5

Κατανομή συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.

Αριθμός αδελφών xi		Διαλογή	Συχνότητα νi	Σχετική Συχνότητα fi	Σχετική Συχνότητα fi %
0 1 2 3			8 22 7 3	0,200 0,550 0,175 0,075	20,0 55,0 17,5 7,5
Σύνολο			40	1,000	100,00

Συνήθως, τις σχετικές συχνότητες f_i τις εκφράζουμε επί τοις εκατό, οπότε συμβολίζονται με f_i %, δηλαδή f_i % =100f_i. Για παράδειγμα, οι σχετικές συχνότητες για τις τιμές x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3 της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών΄” είναι αντιστοίχως:

Οι ποσότητες x_i, ν_i, f_i για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων.
Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών (x_i, ν_i) λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (x_i, f_i), ή των ζευγών (x_i, f_i%), την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων. Στον πίνακα 5 παρουσιάζονται οι κατανομές συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.

Αθροιστικές Συχνότητες

Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες ν_i και f_i χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες (cumulative frequencies) N_i και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες (cumulative relative frequencies) F_i, οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής x_i. Συχνά οι F_i πολλαπλασιάζονται επί 100 εκφραζόμενες έτσι επί τοις εκατό, δηλαδή F_i% = 100F_i , βλέπε πίνακα 6. Αν οι τιμές x₁, x₂,..., μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ είναι σε αύξουσα διάταξη, τότε η αθροιστική συχνότητα της τιμής x_i είναι N_i = ν₁ + ν₂ +...+ ν_i. Όμοια, η αθροιστική σχετική συχνότητα είναι F_i= f₁ + f₂ +...+ f_i, για i = 1,2,...,κ. Για παράδειγμα, για τη μεταβλητή Χ: “αριθμός αδελφών” του πίνακα 4 είναι Ν₁ = ν₁ = 8 ,   Ν₂ = ν₁ + ν₂ = 30 ,  Ν₃ = ν₁ + ν₂ + ν₃ = 37  και  Ν₄ = ν₁ + ν₂ + ν₃ + ν₄ = ν = 40, οπότε
F₁ = f₁ = 0,20 ,   F₂ = f₁ + f₂ = 0,75 ,   F₃ = f₁ + f₂ + f₃ = 0,925   και  F₄ = f₁ + f₂ + f₃ + f₄ = 1 , οπότε F₁%=20%, F₂%=75% ,  F₃%=92,5%  και  F₄%=100%. Είναι φανερό ότι ισχύουν οι σχέσεις:

ν₁ = N₁ , ν₂ = N₂ - N₁ ,..., ν_κ = N_κ - N_κ-1

f₁ = F₁,  f₂ = F₂ - F₁ ,..., f_κ = F_κ - F_κ-1.

Πίνακας 6

Κατανομή συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων της μεταβλητής
“αριθμός αδελφών” των μαθητών του πίνακα 4.

Γραφική Παράσταση Κατανομής Συχνοτήτων

Τα στατιστικά δεδομένα παρουσιάζονται πολλές φορές και υπό μορφή γραφικών παραστάσεων ή διαγραμμάτων. Οι γραφικές παραστάσεις παρέχουν πιο σαφή εικόνα του χαρακτηριστικού σε σχέση με τους πίνακες, είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσες και ελκυστικές, χωρίς βέβαια να προσφέρουν περισσότερη πληροφορία από εκείνη που περιέχεται στους αντίστοιχους πίνακες συχνοτήτων. Επί πλέον με τα διαγράμματα διευκολύνεται η σύγκριση μεταξύ ομοειδών στοιχείων για το ίδιο ή για διαφορετικά χαρακτηριστικά. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γραφικής παρουσίασης, ανάλογα με το είδος των δεδομένων που έχουμε. Όπως όμως οι στατιστικοί πίνακες έτσι και τα στατιστικά διαγράμματα πρέπει να συνοδεύονται από α) τον τίτλο, β) την κλίμακα με τις τιμές των μεγεθών που απεικονίζονται, γ) το υπόμνημα που επεξηγεί συνήθως τις τιμές της μεταβλητήςκαι δ) την πηγή των δεδομένων.

α) Ραβδόγραμμα

Το ραβδόγραμμα (barchart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο ή τον κατακόρυφο άξονα. Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα ή σχετική συχνότητα. Έτσι έχουμε αντίστοιχα το ραβδόγραμμα συχνοτήτων και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Τόσο η απόσταση μεταξύ των στηλών όσο και το μήκος των βάσεών τους καθορίζονται αυθαίρετα. Στον πίνακα 7 έχουμε την κατανομή συχνοτήτων της μεταβλητής Χ: “απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο” και στα σχήματα 1(α), (β) τα αντίστοιχα ραβδογράμματα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων.

Πίνακας 7

Κατανομή συχνοτήτων για την απασχόληση στον ελεύθερο χρόνο τους
των μαθητών του πίνακα 4.

Μερικές φορές σε ένα ραβδόγραμμα συχνοτήτων ο ρόλος των δύο αξόνων είναι δυνατόν να αντιστραφεί, όπως φαίνεται στο σχήμα 1(β), που παριστάνεται το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων της ίδιας μεταβλητής. Αν θέλουμε να συγκρίνουμε τον τρόπο που περνούν τον ελεύθερο χρόνο τους τα αγόρια και τα κορίτσια, τότε κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων του σχήματος 1(γ), όπως προκύπτει από τον πίνακα 4.

(α)	(β)
Ραβδόγραμμα συχνοτήτων (α) και σχετικών συχνοτήτων (β) για την απασχόληση των μαθητών του πίνακα 7.

(γ)

Ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων για την απασχόληση των μαθητών του πίνακα 4 ανάλογα με το φύλο.

β) Διάγραμμα Συχνοτήτων

Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή αντί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων (line diagram). Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόνη διαφορά ότι αντί να χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώνια υψώνουμε σε κάθε x_i (υποθέτοντας ότι x₁ < x₂ <...< x_κ) μία κάθετη γραμμή με μήκος ίσο προς την αντίστοιχη συχνότητα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2(α). Μπορούμε επίσης αντί των συχνοτήτων ν_i στον κάθετο άξονα να βάλουμε τις σχετικές συχνότητες f_i, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων. Ενώνοντας τα σημεία (x_i, ν_i) ή (x_i, f_i) έχουμε το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων, αντίστοιχα, που μας δίνουν μια γενική ιδέα για τη μεταβολή της συχνότητας ή της σχετικής συχνότητας όσο μεγαλώνει η τιμή της μεταβλητήςπου εξετάζουμε, βλέπε σχήμα 2(β).

(α)	(β)
Διάγραμμα συχνοτήτων (α) και πολύγωνο συχνοτήτων (β) για τη μεταβλητή “αριθμός αδελφών” του πίνακα 4.

γ) Κυκλικό Διάγραμμα

Το κυκλικό διάγραμμα (piechart) χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Το κυκλικό διάγραμμα είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύναμα, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες ν_i ή τις σχετικές συχνότητες f_i των τιμών x_i της μεταβλητής. Αν συμβολίσουμε με α_i το αντίστοιχο τόξο ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε

Στο σχήμα 3 παριστάνεται το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων της “απασχόλησης των μαθητών” για τα δεδομένα του πίνακα 4.

Κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων της
απασχόλησης των μαθητών για τα δεδομένα
του πίνακα 4.

δ) Σημειόγραμμα

Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί να περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot diagram), στο οποίο οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός οριζόντιου άξονα. Στο σχήμα 4 έχουμε το σημειόγραμμα των χρόνων (σε λεπτά) 4,2,3,1,5,6,4,2,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα πρόβλημα.

ε) Χρονόγραμμα.

Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής. Στο σχήμα 5 έχουμε το χρονόγραμμα του ποσοστού ανεργίας στη χώρα μας από το 1990 έως το 1995. (Πηγή ΕΣΥΕ).

Παρατηρούμε ότι στο γυναικείο πληθυσμό υπάρχει συστηματικά μεγαλύτερο ποσοστό ανεργίας, γύρω στις 8 εκατοστιαίες μονάδες. Στο διάστημα 1993-95 το ποσοστό ανεργίας έχει σταθεροποιηθεί γύρω στο 6,5% για τους άνδρες και γύρω στο 15% για τις γυναίκες.

Ομαδοποίηση των Παρατηρήσεων

Οι πίνακες συχνοτήτων και κατ’ αναλογίαν τα αντίστοιχα διαγράμματα είναι δύσκολο να κατασκευαστούν, όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο. Αυτό μπορεί να συμβεί είτε στην περίπτωση μιας διακριτής μεταβλητής είτε, πολύ περισσότερο, στην περίπτωση μιας συνεχούς μεταβλητής, όπου αυτή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα ορισμού της. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ταξινομηθούν (ομαδοποιηθούν) τα δεδομένα σε μικρό πλήθος ομάδων, που ονομάζονται και κλάσεις (class intervals), έτσι ώστε κάθε τιμή να ανήκει μόνο σε μία κλάση. Τα άκρα των κλάσεων καλούνται όρια των κλάσεων (class boundaries). Συνήθως υιοθετούμε την περίπτωση που μια κλάση περιέχει το κάτω άκρο της (κλειστή αριστερά) αλλά όχι το άνω άκρο της (ανοικτή δεξιά), δηλαδή που οι κλάσεις είναι της μορφής [ , ). Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται όμοιες, οπότε μπορούν να “αντιπροσωπευθούν” από τις κεντρικές τιμές, τα κέντρα δηλαδή κάθε κλάσης.

• Το πρώτο βήμα στην ομαδοποίηση των δεδομένων είναι η εκλογή του αριθμού κ των ομάδων ή κλάσεων. Ο αριθμός αυτός συνήθως ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή σύμφωνα με την πείρα του. Γενικά όμως μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως οδηγός ο παρακάτω πίνακας:

• Το δεύτερο βήμα είναι ο προσδιορισμός του πλάτους των κλάσεων. Πλάτος μιας κλάσης ονομάζεται η διαφορά του κατωτέρου από το ανώτερο όριο της κλάσης. Στην πλειονότητα των πρακτικών εφαρμογών οι κλάσεις έχουν το ίδιο πλάτος. Φυσικά υπάρχουν και περιπτώσεις όπου επιβάλλεται οι κλάσεις να έχουν άνισο πλάτος, όπως, για παράδειγμα, στις κατανομές εισοδήματος, ημερών απεργίας κτλ. Για να κατασκευάσουμε ισοπλατείς κλάσεις, χρησιμοποιούμε το εύρος (range) R του δείγματος, δηλαδή τη διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του συνολικού δείγματος. Τότε υπολογίζουμε το πλάτος c των κλάσεων διαιρώντας το εύρος R διά του αριθμού των κλάσεων κ, στρογγυλεύοντας, αν χρειαστεί για λόγους διευκόλυνσης, πάντα προς τα πάνω.

• Το επόμενο βήμα είναι η κατασκευή των κλάσεων. Ξεκινώντας από την μικρότερη παρατήρηση, ή για πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω από την μικρότερη παρατήρηση, και προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c δημιουργούμε τις κ κλάσεις. Αυτονόητο είναι ότι η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα (πρέπει να) ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση.

• Τέλος, γίνεται η διαλογή των παρατηρήσεων. Το πλήθος των παρατηρήσεων ν_i που προκύπτουν από τη διαλογή για την κλάση i καλείται συχνότητα της κλάσης αυτής ή συχνότητα της κεντρικής τιμής x_i, i = 1,2,..., κ.
  Έστω, για παράδειγμα, ότι από τα δεδομένα του πίνακα 4 εξετάζουμε το ύψος των μαθητών. Το ύψος των μαθητών, όπως έχει καταγραφεί με τη σειρά, δίνεται στον παρακάτω πίνακα 8.

Πίνακας 8

Το ύψος (σε cm) των μαθητών της Γ' Λυκείου, όπως έχει καταγραφεί στον πίνακα 4.
Σε αγκύλες έχουμε τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη τιμή.

Παρατηρούμε ότι το εύρος του δείγματος είναι R = 191 - 156 = 35. Επειδή έχουμε ν = 40 παρατηρήσεις, χρησιμοποιούμε κ = 6 κλάσεις.

Το πλάτος των κλάσεων είναι c = R / κ = 35 / 6 = 5,83 ≈ 6. Αν θεωρήσουμε ως αρχή της πρώτης κλάσης το 156, θα έχουμε τον επόμενο πίνακα 9.
Πρέπει να προσεχτεί ότι:

• Καμία παρατήρηση δεν μπορεί να μείνει έξω από κάποια κλάση.

• Οι κεντρικές τιμές διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος των κλάσεων, που εδώ είναι ίσο με 6.

• Μία παρατήρηση που συμπίπτει με το άνω άκρο μιας κλάσης θα τοποθετηθεί κατά τη διαλογή στην αμέσως επόμενη κλάση. Για παράδειγμα, ο μαθητής με ύψος 180 θα τοποθετηθεί στην πέμπτη κλάση [180, 186).

Πίνακας 9

Κατανομές συχνοτήτων (απόλυτων, σχετικών, αθροιστικών) για τα δεδομένα
του πίνακα 8.

Κλάσεις [ - )		Κεντρικές τιμές xi	Διαλογή	Συχν. νi	Σχετική Συχνότητα fi%	Αθρ. συχν. Ni	Αθρ. Σχετ. Συχν. Fi%
156-162 162-168 168-174 174-180 180-186 186-192		159 165 171 177 183 189		2 8 12 11 5 2	5,0 20,0 30,0 27,5 12,5 5,0	2 10 22 33 38 40	5,0 25,0 55,0 82,5 95,0 100,0
		Σύνολο	-	40	100	-	-

Ιστόγραμμα Συχνοτήτων

Η αντίστοιχη γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το λεγόμενο ιστόγραμμα (histogram) συχνοτήτων. Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς), από καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται μετη συχνότητατης κλάσης αυτής.

α) Κλάσεις Ίσου Πλάτους

Θεωρώντας το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα, το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο προς τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης, έτσι ώστε να ισχύει πάλι ότι το εμβαδόν των ορθογωνίων είναι ίσο με τις αντίστοιχες συχνότητες.

Επομένως, στον κατακόρυφο άξονα σε ένα ιστόγραμμα συχνοτήτων βάζουμε τις συχνότητες. Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, οπότε στον κάθετο άξονα βάζουμε τις σχετικές συχνότητες.
Αν στα ιστογράμματα συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων, σχηματίζεται το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων (frequency polygon). Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος ν. Όμοια κατασκευάζεται από το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με εμβαδόν ίσο με 1, (βλέπε σχήμα 6).

(α)	(β)
Ιστόγραμμα και πολύγωνο (α) συχνοτήτων και (β) σχετικών συχνοτήτων για τα δεδομένα του πίνακα 9.

Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζονται και τα ιστογράμματα αθροιστικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Αν ενώσουμε σε ένα ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων τα δεξιά άκρα (όχι μέσα) των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα βρίσκουμε το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων (ogive) της κατανομής. Στο σχήμα 7 παριστάνεται το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων για το ύψος των μαθητών του πίνακα 9.

β) Κλάσεις Άνισου Πλάτους

Όπως προαναφέραμε, συνήθως επιλέγουμε κλάσεις ίσου πλάτους.

Υπάρχουν όμως και περιπτώσεις που είναι απαραίτητο να έχουμε κλάσεις διαφορετικού πλάτους όπως, για παράδειγμα, στην κατανάλωση νερού και ηλεκτρικού ρεύματος ή ακόμα και περιπτώσεις όπου οι συχνότητες σε κάποιες κλάσεις να είναι πολύ μικρές οπότε γίνεται συγχώνευση κλάσεων.

Έστω, για παράδειγμα, η διάρκεια (σε sec) ν=80 τηλεφωνημάτων που έγιναν τυχαία από ένα κινητό τηλέφωνο, η οποία δίνεται στο διπλανό πίνακα συχνοτήτων. Το αντίστοιχο ιστόγραμμα συχνοτήτων κατασκευάζεται πάλι, έτσι ώστε το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης. Άρα, αν c_i είναι το πλάτος της κλάσης i με συχνότητα ν_i, το ύψος του ορθογωνίου θα είναι , i = 1,2,..., κ. Επομένως, για την κατασκευή του ιστογράμματος συχνοτήτων χρειαζόμαστε τα πλάτη των κλάσεων και τα ύψη των ορθογωνίων. Αυτά δίνονται στον επόμενο πίνακα.

Διάρκεια τηλεφ. σε sec.	Πλάτος κλάσης ci	Συχνότητα νi	Ύψος	Ύψος
0-20 20-25 25-30 30-40	20 5 5 10	20 20 24 16	1,0 4,0 4,8 1,6	1,25 5,00 6,00 2,00

Τότε το ιστόγραμμα συχνοτήτων δίνεται στο σχήμα 8(α). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων είναι ίσο με το συνολικό μέγεθος δείγματος ν, όπως δηλαδή συμβαίνει και στο ιστόγραμμα με κλάσεις ίσου πλάτους.

(α)	(β)
Ιστόγραμμα συχνοτήτων (α) και σχετικών συχνοτήτων (β) της διάρκειας τηλεφωνημάτων.

Με ανάλογο τρόπο κατασκευάζεται και το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων, (σχήμα 8(β)) αρκεί να χρησιμοποιήσουμε ως ύψος των ορθογωνίων το λόγο των σχετικών συχνοτήτων προς το πλάτος των κλάσεων, δηλαδή .

Καμπύλες Συχνοτήτων

Εάν υποθέσουμε ότι ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι αρκετά μεγάλος (τείνει στο άπειρο) και ότι το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό (τείνει στο μηδέν), τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων (frequency curve), όπως δείχνει το σχήμα 9. Οι καμπύλες συχνοτήτων έχουν μεγάλη εφαρμογή στη Στατιστική, όπου οι ιδιότητες τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων.

Η μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων εξαρτάται από το πώς είναι κατανεμημένες οι παρατηρήσεις σε όλη την έκταση του εύρους τους. Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων που συναντάμε συχνά στις εφαρμογές δίνονται στο σχήμα 10. Η κατανομή (β), με “κωδωνοειδή” μορφή λέγεται κανονική κατανομή (normal distribution) και παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστική. Όταν οι παρατηρήσεις “κατανέμονται” ομοιόμορφα σε ένα διάστημα [α, β], όπως στην κατανομή (α), η κατανομή λέγεται ομοιόμορφη. Όταν οι παρατηρήσεις δεν είναι συμμετρικά κατανεμημένες, η κατανομή λέγεται ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (γ) ή αρνητική ασυμμετρία όπως στην κατανομή (δ).

Μερικές χαρακτηριστικές κατανομές συχνοτήτων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων του παρακάτω διαγράμματος να βρεθεί
(α) το ύψος x*, κάτω από το οποίο ανήκει το 25% των μαθητών
(β) το ποσοστό p των μαθητών που έχουν ύψος μέχρι και 170cm.

ΛΥΣΗ

α) Ακολουθούμε τη διαδρομή ΑΒ, όπως φαίνεται στο διάγραμμα, και ξεκινώντας από το σημείο (0, 0,25) πηγαίνουμε παράλληλα προς τον άξονα 0x μέχρι το αθροιστικό διάγραμμα και μετά κάθετα στον άξονα 0x μέχρι το σημείο (x *,0). Το x * = 168 είναι το ζητούμενο ύψος.

β) Όμοια, ακολουθώντας τη διαδρομή ΓΔ από το σημείο (170, 0) καταλήγουμε, όπως φαίνεται στο σχήμα, στο σημείο (0, p). Το p = 0,35 = 35% είναι το ζητούμενο ποσοστό.

2. Στο διπλανό ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων σβήστηκε κατά λάθος το ορθογώνιο της κλάσης [2-5).

Εάν είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει μισθός άνω των $1000, να κατασκευάσετε το ορθογώνιο αυτό.

ΛΥΣΗ

Επειδή έχουμε ένα ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων (f_i%), το άθροισμα των εμβαδών όλων των ορθογωνίων θα πρέπει να ισούται με 100. Το εμβαδόν του πρώτου ορθογωνίου είναι E₁ = (1 - 0) · 10 =10 , του δεύτερου ορθογωνίου E₂ = (2 - 1) · 20 = 20, και του τέταρτου E₄ = (10 - 5) · 5 = 25.

Άρα, το εμβαδόν του τρίτου ορθογωνίου θα είναι E₃ = 100 - (10 + 20 + 25 = 45. Επειδή το πλάτος του ορθογωνίου είναι 5 - 2 = 3, το ύψος του θα είναι 45/3 = 15, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

Ασκήσεις