2.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Απόσταση Σημείου από Ευθεία

Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου, με εξίσωση Ax + By + Γ = 0 και M ₀(x₀,y₀) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση

d(M₀, ε) του σημείου M₀ από την ευθεία ε. Αν M₁(x₁,y₁) είναι η προβολή του M₀ πάνω στην ε, τότε θα ισχύει

Όμως το διάνυσμα είναι παράλληλο προς το , αφού και τα δύο είναι κάθετα στην ευθεία ε. Άρα, θα υπάρχει , τέτοιο, ώστε

οπότε, λόγω της (1), θα ισχύει

Επιπλέον, λόγω της (2), έχουμε , οπότε

Όμως το M₁(x₁,y₁) ανήκει στην ε. Άρα, θα ισχύει

Επομένως, λόγω της (3), θα έχουμε

Αποδείξαμε δηλαδή ότι:

Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου M₀( -1,2) από την ευθεία ε : 4x + 3y + 8 =0 είναι ίση με

Υπολογισμός Εμβαδού

Έστω A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) και Γ(x₃,y₃) τρία σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

Αν ΓΔ είναι το ύψος του ΑΒΓ από την κορυφή Γ, τότε θα ισχύει

Το (ΑΒ) είναι η απόσταση των σημείων A(x₁,y₁) και B(x₂,y₂). Επομένως,

Το (ΓΔ) είναι η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία AΒ. Για να την υπολογίσουμε, θα βρούμε πρώτα την εξίσωση της ΑΒ.

Η ΑΒ, αν δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y, θα έχει συντελεστή διεύθυνσης Εικόνα οπότε θα έχει εξίσωση

η οποία γράφεται ισοδύναμα

Αν, όμως, η ΑΒ είναι παράλληλη προς τον άξονα y'y, τότε θα έχει εξίσωση x = x₁, η οποία παίρνει και αυτή τη μορφή (3).

Η εξίσωση (3), μετά την εκτέλεση των πράξεων, γράφεται

Επομένως, η απόσταση (ΓΔ) του Γ από την ευθεία ΑΒ είναι ίση με

Άρα,

Έτσι, η ισότητα (1), λόγω του (2) και (5), γράφεται

Όμως, η 1η γραμμή της ορίζουσας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος και η 2η γραμμή οι συντεταγμένες του διανύσματος . Επομένως, η ορίζουσα αυτή είναι ίση με την ορίζουσα των διανυσμάτων και . Έτσι, η σχέση (6) γράφεται

Για παράδειγμα, αν A(0,1), B(-1,0) και Γ(3,-8) είναι οι κορυφές ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε , οπότε το εμβαδόν του ΑΒΓ είναι

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να αποδειχτεί ότι η απόσταση των ευθειών ε₁: y= λx + β₁ και ε₂: y= λx + β₂ δίνεται από τον τύπο

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η απόσταση των ε₁ και ε₂ είναι ίση με την απόσταση οποιουδήποτε σημείου της ευθείας ε₁ από την ευθεία ε₂.

Για x=0, από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε ότι y=β₁. Άρα, το σημείο A(0,β₁)

ανήκει στην ε₁ , οπότε έχουμε

2. Θεωρούμε τα σημεία Α(-3,0), Β(-2,0) και Γ(-4,2). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει: (ΜΒΓ)=2(ΑΒΓ)

ΛΥΣΗ

Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με

ενώ του (ΜΒΓ) είναι ίσο με

Επομένως, το M(x,y) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου, αν και μόνο αν ισχύει

Άρα, ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος αποτελείται από τις ευθείες

οι οποίες είναι παράλληλες προς τη ΒΓ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Α' ΟΜΑΔΑΣ

Να βρείτε την απόσταση του σημείου A(-2,3) από την ευθεία

(i) x+y+1=0 (ii) y=2x-3
(iii) x/2 + y/3= 1 (iv) 5x + 3y +1= 0

2.	Δίνονται οι ευθείες ε₁:5x -8y -51=0 και ε₂:5x -8y +68=0. (i) Να δείξετε ότι (ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις της αρχής των αξόνων από τις ε₁ και ε₂ (iii) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε₁ και ε₂.
3.	Δίνονται οι ευθείες ε₁:4x -3y -9=0 και ε₂:4x -3y -24=0. (i) Να δείξετε ότι (ii) Να βρείτε ένα σημείο της ε₁ και στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση των ε₁ και ε₂.
4.	Ποιο σημείο της ευθείας 2x -3y=30 ισαπέχει από τα σημεία A(1,3)και B(7,9) ;
5.	Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης λ= -3 και απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση ίση με 5 μονάδες.
6.	Η ευθεία ε:3x -2y +1=0 είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών ε₁ και ε₂, που απέχουν 8 μονάδες. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών αυτών.
7.	Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές: (i) A(0,0), B(6,0), Γ(4,3) (ii) A( -2,4), B(2, -6), Γ(5,4) (iii) A(1,2), B(3,4), Γ( -5, -4)
8.	Δίνονται τα σημεία A(5,1) και B(1,3). Να βρείτε το σημείο M του άξονα x'x , για το οποίο το εμβαδόν του τριγώνου MAB είναι ίσο με 7.
9.	Δίνονται τα σημεία A(3,4) και B(5, -2). Να βρείτε το σημείο M, τέτοιο, ώστε MA=MB και (MAB)=10.
10.	Ενός παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ οι τρεις κορυφές του έχουν συντεταγμένες ( -3,1), ( -2,3) και (4, -5). Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου.

Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.	1. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχει από τα σημεία A( -2,0) και B(0,2) .
2.	Να βρείτε το σημείο του άξονα x'x, το οποίο ισαπέχει από την αρχή των αξόνων O και από την ευθεία 5x+12y -60=0 .
3.	Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από το σημείο M(1,2) και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν E=4 .

4.	Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων 0 και απέχουν από το σημείο A( -1,3) απόσταση ίση με 1.
5.	Να βρείτε τα σημεία της ευθείας x -y+2=0, τα οποία απέχουν από την ευθεία 12x -5y+60=0 απόσταση ίση με 1.
6.	Να δείξετε ότι τα σημεία A(α,β), Β(γ,δ) και Γ(α-γ, β-δ) είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν αδ=βγ.
7.	Δίνονται τα σημεία A(α,0) και Β(0,β). Αν η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τους άξονες στα σημεία P(p,0) και Q(0,q) , να δείξετε ότι: (i) aq + βp=2pq (ii) ap + βq=0. Στη συνέχεια να εκφράσετε τα p και q συναρτήσει των α και β.
8.	Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 3x-4y+1=0 και 5x+12y+4=0.
9.	Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών x -y+1=0 και 2x -3y+5=0 και απέχει από το σημείο A(3,2) απόσταση ίση με 7/5.
10.	Δίνονται τα σημεία A( -1, -2) και B(3,1). Να βρείτε το σύνολο των σημείων M για τα οποία ισχύει (MAB)=8

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.	Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M(1,0) και τέμνει τις ευθείες y=x+2 και y=x στα σημεία A και B αντιστοίχως, έτσι, ώστε (AB)=2 .
2.	Να αποδείξετε ότι οι ευθείες λx+(λ -1)y=2λ και (λ+1)x+ λy=2λ+1 τέμνονται για όλες τις τιμές του . Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους;

3.	Αν οι τρεις ευθείες α_κx+β_κy=1, με κ=1,2,3,, διέρχονται από το ίδιο σημείο, να αποδείξετε ότι τα σημεία (α_κ,β_κ) , κ=1,2,3, είναι συγγραμμικά.
4.	Να βρείτε την ευθεία η οποία συνδέει το σημείο Α(α,β) με το σημείο τομής των ευθειών , όπου α,β ≠ 0 και α ≠ ±β.
5.	Αν οι ευθείες είναι παράλληλες με Α > α και β > 0 , να δείξετε ότι η απόσταση μεταξύ των ευθειών είναι .
6.	Να δείξετε ότι: (i) Η εξίσωση x² -4xy +y²=0 παριστάνει δύο ευθείες. (ii) Καθεμιά σχηματίζει με την x -y=0 γωνία .
7.	Να βρείτε συνθήκη, ώστε: (i) Η ευθεία αx + βy +γ=0 να ορίζει με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο (ii) Ο άξονας x'x να διχοτομεί τη γωνία των ευθειών με εξισώσεις ε₁:α₁x +β₁y=0 και ε₂:α₂x +β₂y=0 .
8.	Στο διπλανό σχήμα το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο ενώ τα ΕΑΒ και ΖΒΓ είναι ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς α = 2. (i) Να βρείτε τις συντεταγμένες των Ε και Ζ. (ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1.	Σε καθέναν από τους παρακάτω ισχυρισμούς να κυκλώσετε το Α, αν είναι αληθής, και το Ψ, αν είναι ψευδής:

2.	Να αντιστοιχίσετε κάθε σημείο της πρώτης στήλης στην ευθεία της δεύτερης στήλης στην οποία ανήκει:
3.	Να κυκλώσετε τη σωστή κάθε φορά απάντηση: • Οι ευθείες 2x -y-4=0 και x -3y+3=0 τέμνονται στο σημείο: • Αν η ευθεία Ax+By+Γ=0 έχει συντελεστή διεύθυνσης , τότε συμπεραίνουμε ότι: • Μια ευθεία κάθετη στην ευθεία ε:y = x είναι η :
4.	Δίνεται η ευθεία ε:y=3x +8. Να γράψετε : • Δύο ευθείες παράλληλες στην ε • Δύο ευθείες κάθετες στην ε • Την ευθεία την παράλληλη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων • Την ευθεία την κάθετη στην ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
5.	Να κυκλώσετε την ευθεία που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων:
6.	Οι ευθείες 2x+y+2=0 και 2x-y+2=0 , είναι: Α. Παράλληλες Β. Κάθετες Γ. Συμμετρικές ως προς τον άξονα x'x Δ. Συμμετρικές ως προς τον άξονα y'y.