1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία O και I, έτσι ώστε το διάνυσμα να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Ox. Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το καιτον συμβολίζουμε με x'x. Η ημιευθεία Ox λέγεται θετικός ημιάξονας Ox, ενώ η Ox' λέγεται αρνητικός ημιάξονας Ox'.
|
αριθμό x τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ. Αλλά και αντιστρόφως, από την ισότητα προκύπτει ότι σε κάθε πραγματικό αριθμό x αντιστοιχεί μοναδικό σημείο M του άξονα με τετμημένη x. Το σημείο αυτό συμβολίζεται με Καρτεσιανό Επίπεδο Πάνω σε ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες και y΄y με κοινή αρχή Ο και μοναδιαία διανύσματα τα . απλούστερα ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ακόμα ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Oxy. Το σύστημα Oxy λέγεται ορθοκανονικό, γιατί είναι ορθογώνιο και κανονικό. Ορθογώνιο είναι, γιατί οι άξονες και y΄y είναι κάθετοι, και κανονικό, γιατί τα διανύσματα είναι ισομήκη. Πάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παίρνουμε ένα σημείο Μ. Από το Μ φέρνουμε την παράλληλη στον y΄y, που τέμνει τον στο και την παράλληλη στον , που τέμνει τον y΄y στο Αν x είναι η τετμημένη του ως προς τον άξονα και y η τετμημένη του ως προς τον άξονα y΄y, τότε ο x λέγεται τετμημένη του Μ και ο y τεταγμένη του Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη λέγονται συντεταγμένες του Μ.Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων. |
Συντεταγμένες Διανύσματος Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα Αν και είναι οι προβολές του Α στους άξονες και y΄y αντιστοίχως, έχουμε: |
τετμημένη του και ο y λέγεται τεταγμένη του . Από τον τρόπο που ορίστηκαν οι συντεταγμένες ενός διανύσματος προκύπτει ότι: Συντεταγμένες Γραμμικού Συνδυασμού Διανυσμάτων Αν γνωρίζουμε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων και του καρτεσιανού επιπέδου, τότε μπορούμε να βρούμε τις συντεταγμένες του αθροίσματος του γινομένου και γενικά κάθε γραμμικού συνδυασμού των και . Πράγματι, αν τότε έχουμε: |
Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Ας θεωρήσουμε δύο σημεία και του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι είναι οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. Επειδή Συντεταγμένες Διανύσματος με Γνωστά Άκρα Ας θεωρήσουμε δύο σημεία και του καρτεσιανού επιπέδου και ας υποθέσουμε ότι (x,y) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος |
Οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία και δίνονται από τις σχέσεις Δηλαδή Μέτρο Διανύσματος • Έστω ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με διανυσματική ακτίνα Αν είναι οι προβολές του Α στους άξονες και y΄y αντιστοίχως, επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγμένη y, θα ισχύει Έτσι θα έχουμε: Επομένως: Για παράδειγμα, αν τότε • Ας θεωρήσουμε τώρα δύο σημεία και του καρτεσιανού επιπέδου. Επειδή η απόσταση (AB) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος σύμφωνα με τον τύπο (1) θα ισχύει: Η απόσταση των σημείων και είναι ίση με Για παράδειγμα, η απόσταση των σημείων και είναι ίση με ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Αν A(-2,1) και B(1,4) είναι οι δύο κορυφές του παραλληλόγραμμου ABΓΔ και Κ(2,-3) το κέντρο του, να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. ΛΥΣΗ Αν και είναι οι δύο άλλες κορυφές του παραλληλόγραμμου, επειδή το Κ είναι το μέσον των ΑΓ και ΒΔ, έχουμε: Επομένως, Άρα, οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ είναι (6,-7) και (3,-10) αντιστοίχως. 2. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους G του τριγώνου ABΓ, αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του. ΛΥΣΗ Αν είναι οι συντεταγμένες των κορυφών A, B, Γ αντιστοίχως και |
είναι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του ABΓ , επειδή (Εφαρμ. 1 § 1.3), θα έχουμε: Άρα Συνθήκη Παραλληλίας Διανυσμάτων Έστω δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. |
— Αν x2= 0 , τότε x1 y2= 0 , οπότε αν x1= 0, τα διανύσματα θα είναι παράλληλα προς τον άξονα των τεταγμένων, άρα και μεταξύ τους παράλληλα, ενώ, αν y2= 0 , τότε το θα είναι το μηδενικό διάνυσμα και άρα, παράλληλο προς το . Αποδείξαμε λοιπόν ότι Την ορίζουσα που έχει ως 1η τη γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος και ως 2η γραμμή τις συντεταγμένες του διανύσματος , τη λέμε ορίζουσα των διανυσμάτων και (με τη σειρά που δίνονται) και θα τη συμβολίζουμε με . Έτσι, η παραπάνω ισοδυναμία διατυπώνεται ως εξής: Για παράδειγμα: — Τα διανύσματα είναι παράλληλα, αφού ενώ — Τα διανύσματα δεν είναι παράλληλα, αφού Συντελεστής Διεύθυνσης Διανύσματος • Έστω ένα μη μηδενικό διάνυσμα και A το σημείο του επιπέδου για το οποίο ισχύει .Τη γωνία φ , που διαγράφει ο ημιάξονας αν στραφεί γύρω από το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x'x. Είναι φανερό ότι |
Για τη γωνία φ , όπως είναι γνωστό από την Τριγωνομετρία, αν το δεν είναι παράλληλο προς τον άξονα y'y , ισχύει Το πηλίκο y/x της τεταγμένης προς την τετμημένη του διανύσματος με , το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του και τον συμβολίζουμε με ή απλώς με λ. Επομένως: Είναι φανερό ότι — Αν y=0 , δηλαδή αν τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος είναι ο λ=0. — Αν x=0 , δηλαδή αν , τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος . • Ας θεωρήσουμε τώρα δύο διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυναμίες: Επομένως, η συνθήκη παραλληλίας για δύο διανύσματα και με συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 διατυπώνεται ως εξής: ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες τα σημεία είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ Τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι παράλληλα, δηλαδή, αν και μόνο αν . |
Έχουμε λοιπόν Ασκήσεις
|
|