1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Γνωρίζουμε ότι το έργο που παράγεται από μια δύναμη όταν μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της από το Ο στο Α είναι ίσο με το γινόμενο . Το γινόμενο αυτό συμβολίζεται με και λέγεται εσωτερικό γινόμενο της δύναμης με το διάνυσμα . Γενικότερα, έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

ΟΡΙΣΜΟΣ

• Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και το συμβολίζουμε με τον πραγματικό αριθμό

όπου φ η γωνία των διανυσμάτων .
•

Άμεσες συνέπειες του παραπάνω ορισμού είναι οι εξής:

Ειδικότερα, για τα μοναδιαία διανύσματα του καρτεσιανού επίπεδου ισχύουν:

Αναλυτική Έκφραση Εσωτερικού Γινομένου

Θα δούμε τώρα πώς μπορούμε να εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων συναρτήσει των συντεταγμένων τους. Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα . Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε την ισότητα

η οποία ισχύει και στην περίπτωση που τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά.
Όμως είναι

Επομένως, έχουμε διαδοχικά:

Δηλαδή:

"Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους".

Για παράδειγμα, το εσωτερικό γινόμενο των είναι: .

Με τη βοήθεια της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινομένου θα αποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:

Συνημίτονο Γωνίας δύο Διανυσμάτων

Αν είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα του επιπέδου που σχηματίζουν γωνία θ, τότε και επομένως,

Είναι όμως

Επομένως

Για παράδειγμα, αν θ είναι η γωνία των διανυσμάτων , τότε:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Αν , να αποδειχτεί ότι:

Πότε ισχύουν οι ισότητες;

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Η ισότητα ισχύει μόνο, αν , δηλαδή, μόνο αν .

Η ισότητα ισχύει, όπως και προηγουμένως, μόνο όταν .

2. Έστω δύο διανύσματα που έχουν μέτρα και σχηματίζουν γωνία φ=π/6 . Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και .

ΛΥΣΗ

Αν θ είναι η γωνία των , τότε Εικόνα . Αρκεί, επομένως, να υπολογίσουμε το και τα μέτρα των .

Έχουμε λοιπόν

Άρα, ,οπότε

3. Να αποδειχτεί ότι

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Αν στον τριγωνομετρικό κύκλο τα διανύσματα και σχηματίζουν με τον άξονα x'x γωνίες α και β αντιστοίχως, τότε θα είναι και .

Επομένως, θα έχουμε:

Άρα,

Προβολή Διανύσματος σε Διάνυσμα

Έστω δύο διανύσματα του επιπέδου με . Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα . Από το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του και έστω το ίχνος της καθέτου.

Το διάνυσμα λέγεται προβολή του και συμβολίζεται με . Δηλαδή,

Αποδεικνύεται ότι η προβολή του είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο.

Για το εσωτερικό γινόμενο των έχουμε:

Επομένως:

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος , αν και η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με .

ΛΥΣΗ

Έστω . Τότε θα ισχύει . Επειδή , έχουμε:

Άρα, .

2.Δίνονται τα διανύματα . Να αναλυθεί το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο .

ΛΥΣΗ

Έστω ε η ευθεία η κάθετη στη διεύθυνση του . Από το πέρας Μ του φέρνουμε τις κάθετες MM₁ και MM₂ στη διεύθυνση του και στην ε αντιστοίχως και έστω . Έχουμε

Το διάνυσμα είναι η προβολή του και επειδή , υπάρχει , τέτοιο ώστε . Όμως και επομένως έχουμε διαδοχικά:

Συνεπώς, .

Ασκήσεις

Α' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Αν , τότε (i) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα (ii) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους , ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων να είναι ίσο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων στην περίπτωση αυτή;
2.	Αν , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: ,
3.	Αν , να βρείτε τον , ώστε: (i) Τα διανύσματα να είναι κάθετα (ii) Τα διανύσματα να είναι κάθετα.
4.	Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο και έχουν μέτρο ίσο με 1.
5.	Αν να υπολογίσετε τον , ώστε τα διανύσματα να είναι κάθετα.
6.	Αν , να βρείτε τον ώστε να ισχύει:
7.	Αν να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων .
8.	Αν τα διανύσματα είναι μη μηδενικά, να αποδείξετε ότι:
9.	Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι κάθετα.

10.	Να αποδείξετε ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα , το διάνυσμα είναι κάθετο στο .
11.	Δίνονται τα σημεία . Να υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπεραίνετε για τα διανύσματα ;
12.	Δίνονται τα διανύσματα . Να αναλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες, από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη προς το .
13.	Να υπολογίσετε τα μήκη των διαγωνίων ενός παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται με τα διανύσματα και
14.
	Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος να υπολογίσετε την παράσταση .
15.	Να εξετάσετε πότε ισχύει:

Β' ΟΜΑΔΑΣ
1.	Τα διανύσματα και είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά. Να αποδείξετε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς ισχύει: Πότε ισχύει το
2.	Να αποδείξετε ότι:
3.	Δίνονται τα μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα . Να αποδείξετε ότι:

	(i) Ο φορέας του διανύσματος διχοτομεί τη γωνία των διανυσμάτων . (ii) Ο φορέας του διανύσματος διχοτομεί την παραπληρωματική γωνία των διανυσμάτων .
4.	Αν , να υπολογίσετε το άθροισμα
5.	Αν τα διανύσματα είναι κάθετα και έχουν μέτρα ίσα με τη μονάδα, να δείξετε ότι .
6.	Να αποδείξετε ότι
7.	Σε ημικύκλιο με διάμετρο AB και κέντρου O παίρνουμε σημείο M . (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των (ii) Να βρείτε το γινόμενο . Τι συμπεραίνετε για τη γωνία των διανυσμάτων .Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχτεί;
8.	Σε τρίγωνο ABΓ τα δύο ύψη του BE και ΓΖ τέμνονται στο H. Έστω , (i) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως συνάρτηση των (ii) Να αποδείξετε ότι και (iii) Από το προηγούμενο ερώτημα προκύπτει ότι Με τη βοήθεια της ισότητας αυτής να δείξετε ότι . Ποια πρόταση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας έχει αποδειχτεί ;

9.	Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και εξωτερικώς αυτού κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ΑΒΕΖ και ΑΓΗΘ . Να εκφράσετε τα διανύσματα ως συνάρτηση των και να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο . Τι συμπεραίνετε για τα τμήματα ΒΘ και ΕΓΖ ;
10.	Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και κύκλος κέντρου O που διέρχεται από την κορυφή A και τέμνει τις ευθείες AB,AΓ και AΔ στα Β',Γ' και Δ' αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι.
11.	Δίνεται κύκλος (O,R) και σημείο M του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται από το M τέμνει τον κύκλο στα A και B , να αποδείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό. (Το γινόμενο αυτό λέγεται δύναμη του σημείου M ως προς τον κύκλο O ).

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ,λ,μ με , τέτοιοι, ώστε

να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ και Δ είναι συνευθειακά και αντιστρόφως.

Αν για το σημείο M του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ ισχύουν οι σχέσεις , να αποδείξετε ότι το M είναι το μέσον της πλευράς ΒΓ.

Έστω O και A δύο σταθερά σημεία του επιπέδου με . Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία M του επιπέδου για τα οποία είναι ;

4.	Δίνονται δύο μη μηδενικά διανύσματα . Αν υπάρχει , τέτοιος, ώστε , να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου ΟΑΓΒ με είναι μικρότερο ή ίσο του
5.	Έστω O το περίκεντρο τριγώνου ΑΒΓ (δηλαδή το σημείο για το οποίο ισχύει OA=OB=OΓ ), και έστω, τα διανύσματα θέσεως των κορυφών Α, Β, Γ αντιστοίχως με σημείο αναφοράς το O . (i) Να δείξετε ότι το σημείο H με διάνυσμα θέσεως είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. (ii) Να βρείτε το διάνυσμα θέσεως του βαρύκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ με σημείο αναφοράς το O. (iii) Να αποδείξετε ότι το περίκεντρο O , το βαρύκεντρο G και το ορθόκεντρο H ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι συνευθειακά σημεία και ότι G διαιρεί το τμήμα σε λόγο 1/2 .
6.	Τα διανύσματα και του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση (i) Να αποδείξετε ότι (ii) Αν να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των και .
7.	Τετραπλεύρου ΑΒΓΔ οι πλευρές ΑΒ και ΓΔ τέμνονται στο Ε και οι πλευρές ΒΓ και ΑΔ τέμνονται στο Ζ. Αν και , τότε (i) Να εκφράσετε ως συνάρτηση των τις διανυσματικές ακτίνες ως προς το E των σημείων K , Λ και M που είναι μέσα των ΒΔ, ΑΓ, και ΕΖ αντιστοίχως. (ii) Να δείξετε ότι τα σημεία K , Λ και M είναι συνευθειακά.
8.	Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΒΓ, ΓΑ και ΑΒ αντιστοίχως, ώστε να ισχύει . Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1.	Δίνεται ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ρόμβος. Καθεμία από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή ή λάθος. Αν είναι σωστή, κυκλώστε το γράμμα Σ, αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ.
2.	Αν Α, Β, Γ και Δ είναι τέσσερα σημεία, να συμπληρώσετε τις ισότητες:
3.	Αν O είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλόγραμμου ΑΒΓΔ , να συμπληρώσετε τις ισότητες:
4.	Για τα διανύσματα του διπλανού σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

5.	Σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο δίνεται το σημείο A( -3, -2) . Να συμπληρώσετε τις ισότητες:
6.	Δίνονται τα σημεία A(3,1), B(6,5), Γ( -4, -2), Δ(3, -3) και Ε( -3, 5). Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε διάνυσμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του στη δεύτερη στήλη
7.	Δίνονται τα σημεία A(3,2), B( -4, 5), Γ( -3, -2), Δ(3, -4) . Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε τμήμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη.
8.	Να βάλετε σε κύκλο τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. (i) Δίνεται το διάνυσμα και τα σημεία A(4, -1), B( -2, 7) , Γ(0,3) και Δ(1,5) . Ποιο από τα διανύσματα είναι ίσο με το :

	(ii) Δίνεται το διάνυσμα . Ποιο από τα διανύσματα είναι παράλληλο με το :
9.	Δίνονται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο O και πλευρά α . Να βρείτε ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα:
10.	Τα διανύσματα έχουν μέτρα 2 και 3 αντιστοίχως. Να βρείτε το γινόμενο , αν η γωνία των διανυσμάτων αυτών είναι:
11.	Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση:
12.	Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίας τους που αναφέρονται στη δεύτερη στήλη.
13.	Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση: