Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που αποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων
Η πορεία την οποία ακολουθούμε λέγεται μελέτη συνάρτησης και περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:
ΣΧΟΛΙΟ Όπως είναι γνωστό, αν μια συνάρτηση ƒ με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι άρτια, τότε η γραφική της παράσταση έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y, ενώ αν είναι περιττή, έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Επομένως, για τη μελέτη μιας τέτοιας συνάρτησης αρκεί να περιοριστούμε στα x$\in$A, με x ≥ 0 και να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο σύνολο αυτό. Στη συνέχεια θα πάρουμε το συμμετρικό της καμπύλης που χαράξαμε ως προς τον άξονα y'y αν η συνάρτηση είναι άρτια και ως προς την αρχή των αξόνων αν η συνάρτηση είναι περιττή και θα βγάλουμε τα σχετικά συμπεράσματα. Γι' αυτό, συνήθως, πριν προχωρήσουμε στα βήματα 2 έως 4, ελέγχουμε από την αρχή αν η συνάρτηση είναι άρτια ή περιττή. |
7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx2 Η συνάρτηση g(x) = x2 Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) = x2. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση αυτή, έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ και είναι άρτια, διότι για κάθε x$\in$ℝ ισχύει : g(-x ) = (-x )2 = x2 = g(x) Επομένως, η γραφική παράσταση της g έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y. Άρα, σύμφωνα με όσα αναφέραμε προηγουμένως, αρχικά θα μελετήσουμε και θα παραστήσουμε γραφικά την g στο διάστημα [0, +∞) . Έχουμε λοιπόν: • Μονοτονία: Έστω τυχαία x1, x2$\in$[0, +∞) με x1 < x2. Τότε θα είναι x12 < x22, οπότε θα έχουμε g(x1) < g(x2). Άρα η συνάρτηση g(x) = x2 είναι γνησίως αύξουσα στο [0, +∞). • Ακρότατα: Για κάθε x$\in$[0, +∞) ισχύει: g(x) = x2 ≥ 0 = g(0) . Άρα η συνάρτηση g παρουσιάζει στο x0 = 0 ελάχιστο, το g(0) = 0 . • Συμπεριφορά της g για "μεγάλες" τιμές του x: Ας θεωρήσουμε τον παρακάτω πίνακα τιμών της g για "πολύ μεγάλες" τιμές του x:
Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω και παίρνοντας ένα πίνακα τιμών της g για μη αρνητικές τιμές του x, μπορούμε να χαράξουμε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα [0, +∞) .
|
Η συνάρτηση h(x) = -x2
Επομένως η συνάρτηση h(x) = -x2:
|
Η συνάρτηση ƒ(x) = αx2 Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης ƒ(x) = αx2 για α = 0,5, α = 1 και α = 2.
Στο σχήμα που ακολουθεί δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης ƒ(x) = αx2 για α = -0,5, α = -1, α = -2. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $ƒ(x) = αx^2$, με α ≠ 0, είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y . Στα παραπάνω σχήματα παρατηρούμε ότι:
|
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση h(x) = αx3: ΛΥΣΗ
|
|
7.2 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: $f(x) = \dfrac{α}{x}$ Η συνάρτηση Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $g(x) = \dfrac{1}{x}$. Παρατηρούμε ότι, η συνάρτηση αυτή έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ+ = (-∞,0) $\cup$ (0, +∞) και είναι περιττή, διότι για κάθε x$\in$ℝ ισχύει : $g(-x) = \dfrac{1}{-x} = -g(x)$ Επομένως, η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γι’ αυτό αρχικά θα τη μελετήσουμε και θα την παραστήσουμε γραφικά στο διάστημα (0, +∞) . Έχουμε λοιπόν:
Παρατηρούμε ότι, καθώς το x μειώνεται απεριόριστα και παίρνει τιμές οσοδήποτε κοντά στο 0 ή, όπως λέμε, "τείνει στο 0", το αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο +∞. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "πλησιάζει" το 0 από τα δεξιά, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Oy . Γι’ αυτό ο άξονας y'y λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα πάνω.
Παρατηρούμε ότι, καθώς το x αυξάνεται απεριόριστα και τείνει στο +∞, το μειώνεται απεριόριστα και τείνει στο 0. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το x "απομακρύνεται" προς το +∞, η γραφική παράσταση της g τείνει να συμπέσει με τον ημιάξονα Ox. Γι’ αυτό ο άξονας x'x λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g προς τα δεξιά.
|
Η συνάρτηση
|
Η συνάρτηση Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
Στο σχήμα α' δίνονται οι γραφικές παραστάσεις της $f(x) = \dfrac{α}{x}$ για α = 0,5, α = 1 και α = 2 .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης , με α ≠ 0, λέγεται ισοσκελής υπερβολή με κέντρο την αρχή των αξόνων και ασύμπτωτες τους άξονες x' x και y' y. |
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
|
|
7.3 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ƒ(x) = αx2 + βx + γ Θα μελετήσουμε αρχικά τη συνάρτηση g(x ) = 2x2 +12x + 20 που είναι ειδική περίπτωση της ƒ(x) = αx2 + βx + γ με α ≠ 0. Για τη μελέτη της συνάρτησης g μετασχηματίζουμε τον τύπο της ως εξής:
Έτσι έχουμε $g(x) = 2(x+3)^2 + 2$ Επομένως, για να παραστήσουμε γραφικά την g , χαράσσουμε πρώτα την y = 2(x + 3)2 που προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της y = 2x2 κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά, και στη συνέχεια χαράσσουμε την y = 2 (x + 3)2 + 2 που προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της y = 2(x + 3)2 κατά 2 μονάδες προς τα πάνω.
$f(x) = α\left(x + \dfrac{β}{2α}\right)^2 - \dfrac{Δ}{4α}$ Επομένως η γραφική της παράστα-ση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της παραβολής y = αx2, μιας οριζόντιας και μιας κατακόρυφης, έτσι ώστε η κορυφή της να συμπέσει με το σημείο $Κ\left(-\dfrac{β}{2α}, - \dfrac{Δ}{4α}\right)$. Συνεπώς είναι και αυτή μια παραβολή, που έχει κορυφή το σημείο $Κ\left(-\dfrac{β}{2α}, - \dfrac{Δ}{4α}\right)$ άξονα συμμετρίας την ευθεία $x = -\dfrac{β}{2α}$. Άρα, η συνάρτηση ƒ(x) = αx2 + βx + γ:
Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον παραπάνω πίνακα.
Τα συμπεράσματα αυτά συνοψίζονται στον πίνακα. Τέλος η γραφική παράσταση της ƒ είναι μια παραβολή που τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Γ(0, y) , διότι ƒ(0) = γ, ενώ για τα σημεία τομής της με τον άξονα x'x παρατηρούμε ότι:
Η γραφική παράσταση της ƒ εξαρτάται από το πρόσημο των α και Δ και φαίνεται κατά περίπτωση στα παρακάτω σχήματα: Τα συμπεράσματα της §3.2 για το πρόσημο του τριωνύμου προκύπτουν άμεσα και με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων. |
ΕΦΑΡΜΟΓΗ Να μελετηθεί και να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση ƒ(x) = x2 - 4x + 3 ΛΥΣΗ Για τη συνάρτηση ƒ(x) = x2 - 4x + 3 είναι $α = 1 > 0, \dfrac{-β}{2α} = 2$ και $\dfrac{-Δ}{4α} = f\left(\dfrac{-β}{2α}\right) = f(2) = -1.$ Επομένως έχουμε τον πίνακα μεταβολών:
Δηλαδή η συνάρτηση ƒ,
Επιπλέον, η γραφική παράσταση της ƒ είναι μια παραβολή η οποία:
|
|
|