1. Να αποδείξετε την ταυτότητα
   α² + β² + γ² - αβ - βγ - γα = $\dfrac{1}{2}$ [(α - β)² + (β - γ)² + (γ - α)²].
2. Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ∈ℝ ισχύει

α² + β² + γ²≥ αβ + βγ + γα.

Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (β, γ, α) είναι πυθαγόρεια τριάδα όταν β² + γ² = α² , δηλαδή όταν οι β, γ, α είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

i.	Αν (β, γ, α) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και κ είναι ένας θετικόςακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (κβ, κγ, κα) είναι επίσης πυθαγόρεια τριάδα.
ii.	Αν μ και ν θετικοί ακέραιοι με μ>ν, να δείξετεότι η τριάδα (μ2 - ν2, 2μν, μ2 + ν2) είναι πυθαγόρεια τριάδα. Στη συνέχεια να συμπληρώσετετον πίνακα με τις πυθαγόρειες τριάδες που αντιστοιχούν στις τιμές των μ και ν που δίνονται στις δυο πρώτες στήλες:

A) Να αποδείξετε ότι $αβ ≤ \left(\dfrac{α+β}{2}\right)^2$. Τι σημαίνει η ανισότητα αυτή γιαένα ορθογώνιο με διαστάσεις α και β ; Πότε ισχύει η ισότητα;

B) Με τη βοήθεια της παραπάνω ανισότητας (ή και με άλλο τρόπο), να αποδείξετε ότι:

1. Από όλα τα ορθογώνια με σταθερή περίμετρο P το τετράγωνο έχειτο μεγαλύτερο εμβαδό.
2. Από όλα τα ορθογώνια με σταθερό εμβαδό E το τετράγωνο έχειτην ελάχιστη περίμετρο.

Δίνεται η εξίσωση 3(x + 1) - αx = 4, α $\in$ℝ

1. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του α $\in$ℝ.
2. Για ποιες τιμές του α $\in$ℝ η εξίσωση έχει λύση μεγαλύτερη του 1;

Δίνεται η εξίσωση λ²(χ - 1) + 3λ = χ + 2, λ $\in$ℝ

1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση αυτή γράφεται ισοδύναμα:
   (λ − 1)(λ + 1) χ = (λ − 1)(λ − 2).
2. Να λύσετε την εξίσωση για τις διάφορες τιμές του λ $\in$ℝ.
3. Να βρείτε τις τιμές του λ $\in$ℝ για τις οποίες η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό $\dfrac{1}{2}$ .

1. Να δείξετε ότι η εξίσωση y² − x² = 0 παριστάνει τις διχοτόμους δ₁και δ₂ των γωνιών των αξόνων τις οποίες και να σχεδιάσετε.
2. Ποια είναι η απόσταση ενός σημείου M (x, y) του επιπέδου από τοσημείο K (α, 0) του άξονα x′x ; Να δείξετε ότι η εξίσωση(x − α)² + y² = 1, α $\in$ ℝ παριστάνει στο επίπεδο κύκλο C με κέντρο K και ακτίνα 1.Σχεδιάστε τον κύκλο για μια τιμή του α.
3. Με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να προσδιορίσετε το πλήθος των λύσεων του συστήματος
   
   $\begin{cases} y^2 - x^2 = 0\\ (x-α)^2 + y^2 = 1 \end{cases}$
   
   για τις διάφορες τιμές του α $\in$ ℝ .

1. Να αποδείξετε ότι:
   
   $f(x) = |x+1| + |x-1|$    και    $g(x) = ||x+1| - |x-1||$.
2. Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις f και g.
3. Να βρείτε με τη βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων τηνελάχιστη και τη μέγιστη τιμή (εφόσον υπάρχουν) των συναρτήσεων fκαι g, καθώς και τις θέσεις στις οποίες παρουσιάζονται.

$f(x) = \dfrac{2}{x^2 + 1}$,    $g(x) = \dfrac{4x}{x^2+1}$    &    $h(x) = \dfrac{4x^2}{x^4 + 1}$

1. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρείτε τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων , g, h, καθώς και τις θέσεις των ακροτάτων αυτών.
2. Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τα προηγούμενα συμπεράσματα.

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και τον τύπο της συνάρτησης f.
2. Να παραστήσετε γραφικά την f.
3. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία ισχύει f(x) = 120 cm₂.

Σε ένα τμήμα ΑΒ = 10km μιας λεωφόρου πέφτει συνεχώς χιόνι και τούψος του χιονιού αυξάνεται 1cm την ώρα. Όταν αρχίζει η χιονόπτωσηένα εκχιονιστικό μηχάνημα αρχίζει από το άκρο Α να καθαρίζει το χιόνικινούμενο κατά μήκος του δρόμου με ταχύτητα 10km/h . Μόλις φτάσειστο Β γυρίζει και καθαρίζει το δρόμο αντιστρόφως από το Β προς το Ακαι συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο.

1. Να σχεδιάσετε ένα διάγραμμα για το ύψος του χιονιού στο Α , παραβλέποντας το χρόνο στροφής στα Α και Β.
   
2. Να κάνετε το ίδιο για το ύψος του χιονιού στο μέσο Μ του ΑΒ.