5-6 ΣΧΕΤΙΚΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΣΕ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Σχ. 5.12 Η ταχύτητα ενός επιβάτη του τρένου, γίνεται αντιληπτή με διαφορετικό τρόπο από ένα παρατηρητή Α που βρίσκεται ακίνητος μέσα στο τρένο και από κάποιο παρατηρητή Β που είναι ακίνητος στο σταθμό.

Σχ. 5.13 Η θέση ενός σώματος που εκτελεί πλάγια βολή προσδιορίζεται κάθε στιγμή από τις συντεταγμένες του χ και y.

Σχ. 5.13 Η θέση ενός σώματος που εκτελεί πλάγια βολή προσδιορίζεται κάθε στιγμή από τις συντεταγμένες του xκαι y.

Η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος δε γίνεται με τον ίδιο τρόπο αντιληπτή από όλους τους παρατηρητές.

Ένας άνθρωπος καθιστός μέσα σε ένα τρένο που κινείται με ταχύτητα υ θεωρείται ότι είναι ακίνητος ως προς το τρένο αλλά κινείται με ταχύτητα υ ως προς ένα παρατηρητή που είναι ακίνητος στο σιδηροδρομικό σταθμό και παρακολουθεί το τρένο.

Εάν πάλι ο επιβάτης του τρένου περπατάει με ταχύτητα υ₁ μέσα στο τρένο στη φορά κίνησης του τρένου έχει ταχύτητα υ₁, ως προς το τρένο, αλλά ταχύτητα υ + υ₁, για τον ακίνητο παρατηρητή στον σταθμό.

Σχ. 5.12 Η ταχύτητα ενός επιβάτη του τρένου, γίνεται αντιληπτή με διαφορετικό τρόπο από ένα παρατηρητή Α που βρίσκεται ακίνητος μέσα στο τρένο και από κάποιο παρατηρητή Β που είναι ακίνητος στο σταθμό.

Για τη μελέτη της κίνησης είναι απαραίτητος ο καθορισμός της θέσης του σώματος κάθε στιγμή. Η θέση ενός σώματος στο χώρο προσδιορίζεται από τις συντεταγμένες του (x, y, z) σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων. Στην περίπτωση που η κίνηση του σώματος γίνεται πάνω σε επίπεδο αρκούν δύο συντεταγμένες. Εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με τέτοιες περιπτώσεις. Τα συμπεράσματα που θα βγουν εύκολα γενικεύονται και στον τρισδιάστατο χώρο.

Επειδή η μελέτη μιας κίνησης σχετίζεται πάντα με κάποιο σύστημα αναφοράς, είναι απαραίτητο να βρεθεί κάποιος τρόπος ώστε δυο άνθρωποι (παρατηρητές) που παρατηρούν το ίδιο φαινόμενο από διαφορετικά συστήματα αναφοράς να μπορούν να συνεννοηθούν. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια σχέσεων μετασχηματισμού της θέσης, της ταχύτητας και κάθε άλλου μεγέθους που πιθανόν γίνεται αντιληπτό με διαφορετικό τρόπο από διάφορα συστήματα αναφοράς.

Αν και υπάρχουν συστήματα αναφοράς με ιδιαίτερα μεγάλο ενδιαφέρον, όπως το σύστημα που στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα (τέτοιο σύστημα είναι η Γη), εμείς θα ασχοληθούμε μόνο με μετασχηματισμούς ανάμεσα σε αδρανειακά συστήματα. Κάθε τέτοιο σύστημα θα το φανταζόμαστε εφοδιασμένο με ένα σύστημα αξόνων ως προς το οποίο γίνονται οι μετρήσεις.

Έστω ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς Σ και ένα άλλο Σ' κινούμενο με σταθερή ταχύτητα u ως προς το Σ . Για λόγους απλούστευσης ας δεχτούμε ότι τα δύο συστήματα αναφοράς ταυτίζονταν τη χρονική στιγμή t=0 και ότι η u είναι παράλληλη με τον άξονα Οx του Σ (σχ. 5.14).

Η θέση ενός υλικού σημείου Ρ στο σύστημα Σ' τη χρονική στιγμή t, δίνεται από τις συντεταγμένες x', y'.

Η θέση του ίδιου σημείου στο σύστημα Σ δίνεται από τις συντεταγμένες x, y

Σχ.5.14

Σχ.5.14

Οι σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων του Ρ στο ένα σύστημα και στο άλλο είναι

x = x' + ut

y = y'

Έστω ότι το σημείο Ρ κινείται με σταθερή ταχύτητα υ', ως προς το σύστημα Σ'. Η υ' αναλύεται στις υ'_x , υ'_y στο σύστημα Σ' (σχ. 5.15).

Σχ.5.15

Σχ.5.15

Από τους μετασχηματισμούς θέσης εύκολα προκύπτουν οι συνιστώσες της ταχύτητας του Ρ όπως γίνεται αντιληπτή από το Σ.

x = x' + ut άρα Εικόνα οπότε υ_x = υ_x' + u

y = y' άρα Εικόνα οπότε υ_y = υ_y'

Εικ. 5.5 Γαλιλαίος (1564-1642) Ιταλία. Θεμελιωτής της σύγχρονης μηχανικής. Διώχθηκε για τις απόψεις του από την επίσημη εκκλησία της εποχής του..

Αν η ταχύτητα u με την οποία κινείται το Σ' ως προς το Σ δεν είναι παράλληλη στον Ox, αναλύουμε τη u στις συνιστώσες u_x, u_y. (σχ.5.16).

Σχ.5.16

Σχ.5.16

Οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας παίρνουν τη μορφή

Εικόνα

Οι παραπάνω μετασχηματισμοί είναι γνωστοί ως μετασχηματισμοί του Γαλιλαίου. Από την εξίσωση υ = υ' + u προκύπτει

(5.10)

και επειδή η u είναι σταθερή = 0

Από την (5.10) έχουμε ότι Εικόνα ή α = α'

F = mα και F' = mα' οπότε F = F'

Όταν δηλαδή, ένα υλικό σημείο Ρ δέχεται δύναμη και επιταχύνεται η δύναμη και η επιτάχυνση γίνονται αντιληπτές με τον ίδιο τρόπο και από τα δύο συστήματα αναφοράς, υπό τον όρο πάντα ότι τα Σ και Σ' είναι αδρανειακά, δηλαδή η u είναι σταθερή.

Τέλος, αν η ορμή ενός συστήματος σωμάτων διατηρείται ως προς το σύστημα αναφοράς Σ θα διατηρείται και ως προς το σύστημα αναφοράς Σ'. Το ίδιο ισχύει και με τη διατήρηση της ενέργειας.

Γενικά, οι νόμοι της φυσικής ισχύουν με τη μορφή που τους ξέρουμε στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-3

Το σύστημα Σ' κινείται με ταχύτητα u ως προς το Σ. Ένα σώμα κινείται με ταχύτητα υ' στο Σ' (σχ.5.17). Ποια είναι η ταχύτητα υ του σώματος ως προς το Σ;

Απάντηση :
Ως προς το Σ σύμφωνα με τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου θα ισχύει υ = υ' + u. Μετατρέποντας τη σχέση αυτή σε αλγεβρική θα έχουμε υ = υ' + u .

Σχ.5.17

Σχ.5.17

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-4

Στο προηγούμενο παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι η υ' είναι αντίθετης φοράς και ότι όλα τα άλλα στοιχεία παραμένουν ίδια (σχ.5.18). Ποια είναι τώρα η ταχύτητα του σώματος ως προς το Σ;
Απάντηση
Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου θα ισχύει υ = υ' + u και αλγεβρικά θα έχουμευ = -υ' + u

Σχ.5.18

Σχ.5.18

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5-5

Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος ως προς το Σ αν η υ' έχει μια τυχαία διεύθυνση πάνω στο επίπεδο x'0'y' όπως στο σχήμα 5.19.
Απάντηση :
Σύμφωνα με τον μετασχηματισμό του Γαλιλαίου η ταχύτητα με την οποία κινείται το σώμα ως προς το Σ θα είναι υ = υ' + u και αλγεβρικά έχουμε υ =

όπου φ η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα υ' και u.

Σχ.5.19

Σχ.5.19