2-5 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

Σχ. 2.14 Τα δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετη φορά.

Σχ. 2.15 Ο κυματικός παλμός ανακλάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα.

Σχ. 2.15 Ο κυματικός παλμός ανακλάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα.

2-5 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ

Δύο κύματα ίδιου πλάτους και ίδιας συχνότητας διαδίδονται με αντίθετη φορά μέσα στο ίδιο ελαστικό μέσο (σχ. 2.14)
Σχ. 2.14 Τα δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετη φορά.
Τα δύο κύματα συμβάλλουν. Η κίνηση του μέσου ονομάζεται στάσιμο κύμα.

Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις.

Κρατάμε την ελεύθερη άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού, που η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο και της δίνουμε μια ώθηση. Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται ένας κυματικός παλμός ο οποίος διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού. Όταν η κυματική διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί μια δύναμη στο σημείο στήριξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί έναν ανακλώμενο παλμό που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση (σχ. 2.15).

Εάν εξαναγκάσουμε το ελεύθερο άκρο του σχοινιού να κάνει αρμονική ταλάντωση (σχήμα 2.16) το αρμονικό κύμα που δημιουργείται και το όμοιο του που προκύπτει από την ανάκλαση συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα.

Αν φωτογραφίσουμε το σχοινί σε διάφορες χρονικές στιγμές, θα παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν σημεία στο σχοινί - οι δεσμοί - που παραμένουν διαρκώς ακίνητα ενώ όλα τα άλλα εκτελούν ταλάντωση με την ίδια συχνότητα. Το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία που ταλαντώνονται. Μέγιστο πλάτος έχουν τα σημεία που βρίσκονται στο μέσο της απόστασης μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών -οι κοιλίες.

Η ονομασία (στάσιμο = ακίνητο) οφείλεται στο γεγονός ότι εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με ένα κύμα, δηλαδή με μια παραμόρφωση που διαδίδεται. Στο κύμα όλα τα σημεία εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση ενώ στο στάσιμο δε συμβαίνει το ίδιο.

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος

Έστω το αρμονικό κύμα με εξίσωση

y₁ = Aημ2π ( - ) (2.9)
που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x (στο σχήμα 2.14 το κύμα 1).

Ένα δεύτερο κύμα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, που διαδίδεται κατά την αντίθετη κατεύθυνση (στο σχήμα 2.14 το κύμα 2), θα περιγράφεται από την εξίσωση

y₂ = Aημ2π ( +) (2.10)

Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση ενός σημείου Μ του μέσου τη χρονική στιγμή t, θα είναι

y = y₁ + y₂

η οποία γίνεται από τις (2.9) και (2.10)

y = A [ημ2π ( - ) + ημ2π ( +) ] (2.11)
Κάνοντας χρήση της τριγωνομετρικής ταυτότητας

ημα + ημβ = 2συν Εικόνα η σχέση (2.11) γίνεται

Εικόνα (2.12)

Παρατηρούμε ότι ο όρος A'=2Aσυν2π (2.13)
εξαρτάται μόνο από τη θέση x του σημείου και παραμένει σταθερός με το χρόνο.

Η σχέση (2.12) παίρνει τη μορφή

y= A' ημ t ή y=A'ημωt

που είναι η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Επομένως

κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το πλάτος της ταλάντωσης |Α΄| δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται από τη θέση του [σχέση (2.13)].

Σχ. 2.16 Στιγμιότυπα στάσιμου κύματος σε χορδή.

Εικ. 2.5 Στις χορδές της κιθάρας σχηματίζονται στάσιμα κύματα. Τα άκρα κάθε χορδής είναι υποχρεωτικά δεσμοί.

Σχ. 2.17 Στιγμιότυπα στάσιμου κύματος σε χορδή. Τη στιγμή μηδέν η χορδή είναι ακίνητη, οπότε Κ=0, όλη η ενέργεια είναι δυναμική, U, λόγω της παραμόρφωσης της χορδής. Τη στιγμή ί=Τ/8, η χορδή κινείται. Έχει και κινητική και δυναμική ενέργεια. Τη στιγμή ί=Τ/4, η χορδή δεν είναι παραμορφωμένη (U= 0), συνεπώς όλη η ενέργεια έχει μετατραπεί σε κινητική. Τα βέλη δείχνουν τις ταχύτητες των διαφόρων σημείων της χορδής.

Τα σημεία τα οποία βρίσκονται σε θέση x τέτοια ώστε

                           A'=2Aσυν2π =0
δηλαδή
ή                                                            (2.14)
έχουν μηδενικό πλάτος ταλάντωσης, δηλαδή παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Είναι οι δεσμοί του στάσιμου κύματος.

Τα σημεία τα οποία βρίσκονται σε θέση τέτοια ώστε

                          A'=2Aσυν2π =±2A
δηλαδή
ή                                                                 (2.15)
έχουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, ίσο με 2 Α. Αποτελούν τις κοιλίες του στάσιμου κύματος.

Από τις (2.14) και (2.15) προκύπτει ότι

η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.

Στην παραπάνω μαθηματική μελέτη, η αρχή μέτρησης των αποστάσεων είναι κοιλία (για x=0, έχουμε κοιλία).

Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ένα μέσο του οποίου τα δύο άκρα είναι ακίνητα, όπως σε μια χορδή ενός μουσικού οργάνου (εικ. 2.5). Στην περίπτωση αυτή, αν θέλουμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων να πάρουμε το ένα άκρο (όπου υπάρχει δεσμός), η σχέση (2.12) χρειάζεται τροποποίηση ώστε, για x=0 να δίνει δεσμό.
Σχ. 2.15 Ο κυματικός παλμός ανακλάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα.

Σχ. 2.15 Ο κυματικός παλμός ανακλάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα.

Ενεργειακή προσέγγιση

Εφόσον στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα, δε μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο (αυτός επίσης είναι ένας βασικός λόγος που διαφοροποιεί την κατάσταση του στάσιμου κύματος από αυτό που ορίσαμε ως κύμα).

Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα, η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα, εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς. Σε μια χορδή, στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς από ελαστική δυναμική ενέργεια, όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη, σε

κινητική όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. Στις ενδιάμεσες θέσεις τα μόρια της χορδής, έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2-2

Τα κύματα y₁ = 8ημ2π ( - 5x) και y₂ = 8ημ2π ( + 5x) διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο σε αντίθετες κατευθύνσεις. Τα x και y είναι σε cm και το t σε s.
α) Ποια είναι η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται;
β) Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x= 3,025 cm;

Απάντηση :
Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι

y = Aημ2π ( - )

Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με τις εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα έχουμε ότι Α = 8 cm,   Τ = 0,3 s και    λ = 0,2 cm
Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι          y= 2Aσυν2π ημt
Επομένως                                                        y= 16συν10πx ημ t
Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου που βρίσκεται στη θέση x = 3,025 cm είναι
A' = |2Aσυν2π | = |16συν30,25π| = |16συν(30π + π/4)| = Εικόνα cm.