- Μαθαίνω τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά ομοίων πολυγώνων.
Σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαστάσεις α, β. Αν σχεδιάσουμε και το ορθογώνιο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ με τριπλάσιες διαστάσεις, τότε το ορθογώνιο αυτό είναι όμοιο προς το αρχικό με λόγο ομοιότητας λ = 3. Τα εμβαδά Ε΄, Ε των δύο ορθογωνίων είναι:
Ε΄ = 3α · 3β και Ε = α · β
οπότε ο λόγος τους είναι:
Παρατηρούμε λοιπόν ότι, ο λόγος των εμβαδών των ομοίων αυτών ορθογωνίων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
Ομοίως, αν στις κάθετες πλευρές ΑΒ, ΑΓ ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ πάρουμε τα σημεία Δ, Ε αντιστοίχως, ώστε ΑΔ =  ΑΒ και ΑΕ = ΑΓ, τότε σχηματίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ, που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο ομοιοθεσίας Α και λόγο . Άρα το τρίγωνο ΑΔΕ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ με λόγο ομοιότητας λ = .
Για τα εμβαδά (ΑΔΕ) και (ΑΒΓ) των ομοίων αυτών τριγώνων ισχύει:
Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι ο λόγος των εμβαδών των ομοίων τριγώνων ΑΔΕ, ΑΒΓ είναι και πάλι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους.
Γενικά
Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
Για παράδειγμα, στο σχήμα της επόμενης σελίδας το πολύγωνο (Π) είναι όμοιο με το πολύγωνο (Π΄) και δύο ομόλογες πλευρές τους είναι 2 cm και 4 cm αντιστοίχως. Ο λόγος ομοιότητας του (Π) προς το (Π΄) είναι  οπότε για τα εμβαδά τους Ε και Ε΄ ισχύει |
1
Στην πλευρά ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε σημείο Δ, τέτοιο ώστε ΑΔ =  ΑΒ. Από το Δ φέρουμε παράλληλη στη ΒΓ που τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε. Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ είναι 18 cm2, να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΕΓΒ.
Λύση
Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν τη γωνία Â κοινή και  1 = , γιατί είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων ΔΕ, ΒΓ που τέμνονται από την ΑΒ. Δηλαδή, τα τρίγωνα αυτά έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε είναι όμοια με λόγο ομοιότητας  . Άρα για τα εμβαδά (ΑΔΕ) και (ΑΒΓ) ισχύει
Το τραπέζιο ΔΕΓΒ έχει εμβαδόν (ΔΕΓΒ) = 18 cm2 - 8 cm2 = 10 cm2.
2
Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε τις ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ κατά ίσα τμήματα και σχηματίζουμε το τετράπλευρο ΑΕΖΗ. Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΕΖΗ από το εμβαδόν του ΑΒΓΔ;
Λύση
Το τετράπλευρο ΑΕΖΗ είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Α και λόγο 2.
Άρα ΑΕΖΗ ≈ ΑΒΓΔ, οπότε
Επομένως, (ΑΕΖΗ) = 4(ΑΒΓΔ), δηλαδή το τετράπλευρο ΑΕΖΗ έχει τετραπλάσιο εμβαδόν από το τετράπλευρο ΑΒΓΔ.
|
1
Αν τα πολύγωνα Π1, Π2 είναι όμοια, να συμπληρώσετε τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά τους Ε1, Ε2.
2
Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:
α) Αν τριπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός τετραγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται ....................... φορές μεγαλύτερο.
β) Αν διπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται ......................... φορές μεγαλύτερο.
γ) Αν ένας ρόμβος έχει πλευρά 6 cm και ένας άλλος όμοιος του ρόμβος έχει πλευρά 3 cm, τότε ο δεύτερος ρόμβος έχει εμβαδόν ....................... φορές μικρότερο από το εμβαδόν του πρώτου ρόμβου.
3
Ένα ορθογώνιο Π1 είναι όμοιο με το ορθογώνιο Π2 με λόγο ομοιότητας  . Ο Γιάννης ισχυρίζεται ότι το εμβαδόν του Π1, είναι το 16% του εμβαδού του Π2. Έχει δίκιο;
|
1
Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ // ΒΓ. Να υπολογίστε το λόγο 
2
Στο διπλανό σχήμα είναι ΔΕ // ΒΓ. Αν το τρίγωνο ΑΔΕ έχει εμβαδόν 18 cm2, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.
3
Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ = 1 cm και ΓΔ = 5 cm, οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Ο. Να υπολογίσετε πόσες φορές το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.
4
Αν Δ, Ε, Σ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως, τότε να υπολογίσετε τους λόγους:
5
Αν Ε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, ΔΖ // ΒΓ και ΔΗ // ΑΓ, τότε να αποδείξετε ότι για τα εμβαδά Ε1, Ε2, Ε3 ισχύουν: 
6
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να φέρετε το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Να υπολογίσετε τους λόγους:
7
Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε τυχαίο σημείο Ο. Αν Δ, Ε, Ζ είναι αντιστοίχως τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, τότε να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο ΔΕΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ.
β) το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας είναι ίσο με τα του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ.
8
Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 40 cm2. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου που θα προκύψει, αν φωτοτυπηθεί:
α) μεγέθυνση 120%
β) σμίκρυνση 75%.
9
Αν κάθε πλευρά ενός τετραγώνου αυξηθεί κατά 30%, τότε να βρείτε πόσο % θα αυξηθεί το εμβαδόν του.
10
Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου οικοπέδου μειώθηκαν κατά 20%, γιατί αυξήθηκε το πλάτος των διπλανών δρόμων. Να βρείτε πόσο % μειώθηκε το εμβαδόν του οικοπέδου.
Μικροπείραμα 
|
1
 Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ του διπλανού σχήματος είναι ισοσκελή, να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.
2
 Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημεία Ζ, Ε των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντιστοίχως, τέτοια ώστε ΑΖ = ΒΕ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΖ = ΑΕ β) ΔΖ ⊥ ΑΕ.
3
Σε ευθεία ε να πάρετε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Προς το ίδιο μέρος της ευθείας να κατασκευάσετε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΖ και ΒΓΗ. Να αποδείξετε ότι ΑΗ = ΓΖ.
4
Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ΒΓ = ´ô,  και οι διχοτόμοι ΒΜ και Β΄Μ΄ είναι ίσες. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα.
5
Στο διπλανό σχήμα είναι ΒΔ // ΑΓ και ΔΕ // ΓΒ.
α) Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΔ και ΟΕ.
β) Να αποδείξετε ότι ΟΒ2 = ΟΑ · ΟΕ.
6
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 6 cm. Να βρείτε την πλευρά ενός άλλου ισοπλεύρου τριγώνου που έχει διπλάσιο εμβαδόν.
7
Οι διαγώνιοι τετραγώνου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ο. Από το μέσον Μ του ΟΒ να φέρετε ΜΕ ⊥ ΑΔ και ΜΖ ⊥ ΓΔ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ΜΕΔΖ.
8
Με πλευρά τη διαγώνιο ΑΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς x, να σχηματίσετε το τετράγωνο ΑΓΕΖ.
α) Να υπολογίσετε το λόγο
β) Αν (ΑΓΕΖ) = 200 cm2, να υπολογίσετε την πλευρά x.
9
Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ΔΕ // ΒΓ και  Να υπολογίσετε το x.
10
Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι ΔΕ // ΒΓ, ΔΣ // ΑΓ και ΕΗ // ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:
|
- Ίσα τρίγωνα λέγονται τα τρίγωνα που έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
- Κριτήρια ισότητας τριγώνων. Δύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
- Δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση (Π - Γ - Π).
- Μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (Γ - Π - Γ).
- Τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (Π - Π - Π).
- Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν:
- Δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία.
- Μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.
- Παράλληλες ευθείες, αν ορίζουν ίσα τμήματα σε μια ευθεία που τις τέμνει, τότε θα ορίζουν ίσα τμήματα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία που τις τέμνει.
- Λόγος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι ο αριθμός λ για τον οποίο ισχύει ΓΔ = λ · ΑΒ.
- Τα ευθύγραμμα τμήματα α, γ είναι ανάλογα προς ταευθύγραμμα τμήματα β, δ, όταν ισχύει
- Θεώρημα Θαλή. Τρεις ή περισσότερες ευθείες, αν τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τα τμήματα που ορίζονται στη μία είναι ανάλογα προς τα αντίστοιχα τμήματα που ορίζονται στην άλλη.
- Ομοιόθετο ενός σημείου Α ως προς το κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται το σημείο Α΄ της ημιευθείας ΟΑ για το οποίο ισχύει ΟΑ΄ = λ · ΟΑ.
- Τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα.
- Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες.
- Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
- Όμοια πολύγωνα λέγονται τα πολύγωνα που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου.
- Δύο πολύγωνα είναι όμοια, όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες και αντιστρόφως.
- Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια.
- Δύο τρίγωνα που έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια και θα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.
- Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε:
- Ο λόγος των περιμέτρων τους είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους.
- Ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.
|
|
