Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.4 Ομοιοθεσία 1.6 Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
1.5
Ομοιότητα
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια.
  • Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Στο παρακάτω σχήμα, οι πλευρές του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ (ή Π΄) έχουν διπλάσιο μέγεθος από τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ (ή Π) και οι αντίστοι-χες γωνίες των τετραπλεύρων είναι ίσες.

εικονα

1. Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ (ή Π΄΄) που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο λ = 2.

2. Να συγκρίνετε το τετράπλευρο που σχεδιάσατε με το Π΄.

3. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα αρχικά τετράπλευρα Π και Π΄;


Μικροπείραμα 

A
Όμοια πολύγωνα

Αν έχουμε δύο ομοιόθετα πολύγωνα, τότε το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου ή είναι ίσα. Δύο πολύγωνα Π και Π΄ που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου ή είναι ίσα τα λέμε όμοια και συμβολίζουμε Π ≈ Π΄. Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι:

Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια.

Αν όμως ένα πολύγωνο Π΄, δεν είναι ομοιόθετο του Π ή δεν είναι εύκολο να εξηγήσουμε ότι είναι ομοιόθετο του Π, τότε πώς μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι είναι όμοιό του; Ας πάρουμε δύο τετράπλευρα ΑΒΓΔ (ή Π) και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ (ή Π΄), ώστε οι πλευρές του Π΄ να είναι διπλάσιες των πλευρών του Π και οι αντίστοιχες γωνίες τους να είναι ίσες. Αν σχεδιάσουμε ένα τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ (ή Π΄΄) ομοιόθετο του Π με λόγο λ = 2, τότε τα τετράπλευρα Π΄ και Π΄΄ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους ίσες. Το Π΄΄ ως ομοιόθετο του Π, με λόγο 2 είναι μεγέθυνση του, άρα και το ίσο του πολυγώνο Π΄ είναι μεγέθυνση του Π, οπότε τα τετράπλευρα Π και Π΄ είναι όμοια. Το ίδιο θα συνέβαινε αν το Π΄ ήταν σμίκρυνση του Π.

Τα αρχικά τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ τα σχεδιάσαμε, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

εικονα

και διαπιστώσαμε ότι είναι όμοια.

Γενικά

Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια.

Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές ομοίων πολύγώνων έχουν τον ίδιο λόγο εικονα , γι΄ αυτό λέγονται ομόλογες και ο λόγος τους λέγεται λόγος ομοιότητας. Είδαμε λοιπόν ότι δύο πολύγωνα είναι όμοια, αν είναι ή μπορεί να γίνουν ομοιόθετα και επομένως θα ισχύουν και γι´ αυτά οι ιδιότητες των ομοιοθέτων σχημάτων, δηλαδή:

Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Από τη σχέση (1) και γνωστή ιδιότητα των αναλογιών έχουμε:

εικονα

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας τους

Λόγος ομοιότητας - Κλίμακα

Οι χάρτες συνήθως παρουσιάζουν μια γεωγραφική περιοχή σε σμίκρυνση, δηλαδή παρουσιάζουν ένα σχήμα όμοιο με το πραγματικό. Το μέγεθος της σμί-κρυνσης καθορίζεται από την κλίμακα του χάρτη που αναγράφεται πάνω σ´ αυτόν. Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης στο χάρτη προς την αντίστοιχη πραγ-ματική απόσταση, δηλαδή είναι ο λόγος ομοιότητας των δύο σχημάτων. Για παράδειγμα κλίμακα 1 : 2000000 σημαίνει ότι, ο λόγος ομοιότητας του σχήματος στο χάρτη προς το πραγματικό είναι λ =εικονα οπότε 1 cm στο χάρτη είναι 20 km στην πραγματικότητα.

Μικροπείραμα 1 Εικόνα       Μικροπείραμα 2 Εικόνα       Μικροπείραμα 3 Εικόνα       Μικροπείραμα 4 Εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να αποδειχτεί ότι δύο κανονικά πεντάγωνα είναι όμοια.

 

Λύση

εικονα

Οι πλευρές ενός κανονικού πολυ- γώνου είναι ίσες. Άρα τα κανονικά πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄Ε΄ έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή ισχύει:

εικονα

αφού και οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι μεταξύ τους ίσοι. Τα κανονικά πεντάγωνα έχουν και τις γωνίες τους ίσες εφόσον καθεμιά από αυτές είναι

εικονα

Άρα τα κανονικά πεντάγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, οπότε είναι όμοια.

Γενικά

Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια.

2
εικονα

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η αεροφωτογραφία ενός αγροκτήμα- τος που έχει σχήμα ορθογωνίου και έχει περιφραχτεί με συρματόπλεγμα μηκους 270 m. Να βρεθούν οι πραγματικές διαστάσεις του αγροκτήματος. Με ποια κλίμακα έχει φωτογραφηθεί το αγρόκτημα;

 

Λύση

Το ορθογώνιο ΑΒΓΔ της αεροφωτογραφίας είναι σμίκρυνση του πραγματικού αγροκτήματος Α΄Β΄Γ΄Δ΄, οπότε είναι όμοιο προς αυτό.

Άρα εικονα

Ο λόγος ομοιότητας λ είναι ίσος με το λόγο των περι-μέτρων τους. Η περίμετρος του ΑΒΓΔ είναι 2·4 + 2·5 = = 18 cm, ενώ του Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ίση με το μήκος του συρματοπλέγματος, δηλαδή 270 m ή 27000 cm.

Άρα εικονα

Επομένως έχουμε: Α΄Δ΄ = 1500·ΑΔ = 1500·4 = = 6000 cm ή Α΄Δ΄ = 60 m.

Δ΄Γ΄ = 1500·ΔΓ = 1500·5 = = 7500 cm ή Δ΄Γ΄ = 75 m

Δηλαδή, οι πραγματικές διαστάσεις του αγροκτήματος είναι 60 m και 75 m. Η κλίμακα φωτογράφισης είναι ίση με το λόγο ομοιότητας λ = εικοναδηλαδή 1 : 1500. ;

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Δύο τετράγωνα είναι όμοια. Εικόνα
β)Δύο ορθογώνια είναι όμοια. Εικόνα
γ) Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, τότε είναι όμοια. . Εικόνα
δ)Δύο ρόμβοι είναι σχήματα όμοια. Εικόνα
ε) Αν δύο πολύγωνα είναι ίσα, τότε είναι όμοια. Εικόνα
στ) Δύο κανονικά πολύγωνα είναι όμοια. Εικόνα
2
εικονα

Ποια από τα πολύγωνα του διπλανού σχήματος είναι όμοια;

3

Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις διαστάσεις των αντιστοίχων παραλληλογράμμων και να βρείτε ποια απ´ αυτά είναι όμοια.

εικονα
4
εικονα

Αν τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι όμοια, να συμπληρώσετε τις προτάσεις:

α) Ο λόγος ομοιότητας του ΑΒΓΔ προς το Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι......................

β) Ο λόγος ομοιότητας του Α΄Β΄Γ΄Δ΄ προς το ΑΒΓΔ είναι ......................

γ) Αν η γωνία εικονα είναι 110ο, τότε και η γωνία ....... είναι 110º.

δ) Ο λόγος εικονα είναι ίσος με ………

ε) Η πλευρά ΒΓ είναι ίση με………cm.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι όμοια; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

εικονα

2

Αν τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι όμοια, να βρείτε το x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις:

εικονα

3

Ένα παραλληλόγραμμο έχει πλευρές 24 cm και 18 cm. Ένας μαθητής θέλοντας να κατασκευάσει ένα παραλληλόγραμμο όμοιο μ´ αυτό αλλά που να έχει τη μεγαλύτερη πλευρά 20 cm, σκέφτηκε να μειώσει και την άλλη πλευρά κατά 4 cm. Ήταν σωστή η σκέψη του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

4

Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέμνο-ται στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που προκύπτει αν ενώσουμε τα μέσα των ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ είναι παραλληλόγραμμο όμοιο με το ΑΒΓΔ.

5
εικονα

Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι εικοναΑΓ, ΕΖ // ΑΔ και ΗΘ // ΑΒ. Να αποδείξετε ότι:

α) Το παραλληλόγραμμο ΑΕΚΗ είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ.

β) Το παραλληλόγραμμο ΑΕΚΗ είναι όμοιο με το ΚΘΓΖ.

Μικροπείραμα 

6
εικονα

Ένας μαθητής ξεκίνησε το πρωί από το σπίτι του Μ και αφού ακολούθησε τη διαδρομή που φαίνεται στο σχέδιο της επόμενης σελίδας έφτασε στο σχολείο του Σ. Το μεσημέρι επέστρεψε σπίτι του από άλλο δρόμο προκειμένου να περάσει και από το σπίτι ενός φίλου του που βρισκόταν στο σημείο Φ. Αν η συνολική διαδρομή που έκανε ο μαθητής ήταν 640 m, να βρείτε πόσο απέχουν τα σπίτια των δύο φίλων. Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου;

A
Όμοια τρίγωνα

εικοναΔύο τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ, όπως και δύο πολύγωνα, είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Δηλαδή αν έχουν εικονα

Για να είναι λοιπόν δύο τρίγωνα όμοια πρέπει να ισχύουν όλες οι προηγούμενες ισότητες; Ευτυχώς όχι.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ που έχουν δύο γωνίες τους ίσες (εικονα = εικονα και Β = Ε).

Αν τοποθετήσουμε το τρίγωνο ΔΕΖ πάνω στο ΑΒΓ, ώστε η γωνία εικονανα συμπέσει με την ίση της γωνία εικονα, τότε η πλευρά ΕΖ θα συμπέσει με τη ´ô και οι γωνίες εικονα, εικονα΄ θα είναι ίσες. Άρα ´ô // ΒΓ και από το Θεώρημα του Θαλή έχουμε:

εικονα

Άρα το τρίγωνο Α´ô είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ στην ομοιοθεσία με κέντρο Α και λόγοεικονα , οπότε Α´ô≈ ΑΒΓ. Επειδή τα τρίγωνα ΔΕΖ, Α´ô είναι ίσα, θα είναι και ΔΕΖ ≈ ΑΒΓ. Επομένως

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Είδαμε λοιπόν, ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Ένας προβολέας Π βρίσκεται στο
έδαφος και φωτίζει ένα δέντρο ΒΓ. Η σκιά του δέντρου στο απέναντι κτίριο φτάνει μέχρι την οροφή του 4ου ορόφου. Αν το ισόγειο και κάθε όροφος έχουν ύψος 3 m και η απόσταση του δέντρου από τον προβολέα είναι 8 m, ενώ από το κτίριο είναι 12 m, να βρεθεί το ύψος του δέντρου.

 

 

Λύση

εικονα

Τα τρίγωνα ΠΒΓ και Π´ô είναι ορθογώνια, αφού εικονα = εικονα΄ = 90º και έχουν τη γωνία εικονα κοινή. Επομένως, έχουν δύο γωνίες ίσες, οπότε είναι όμοια και θα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή

εικονα

Η σκιά καλύπτει το ισόγειο και 4 ορόφους, οπότε θα έχει ύψος ´ô = 5·3 = 15 m. Άρα η ισότητα (1) γίνεται εικονα 20·ΒΓ = 120, οπότε το ύψος του δέντρου είναι ΒΓ = 6 m.

2

Σ´ ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΒΓ = 10 cm και ΑΓ = 8 cm να χαραχθεί το ύψος ΑΔ. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι όμοια και να γραφούν οι ίσοι λόγοι. Να υπολογιστούν τα τμήματα ΔΓ και ΔΒ.

 

Λύση

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΓ είναι ορθογώνια, αφού εικονα = εικονα = 90º και έχουν τη γωνία Γ κοινή. Δηλαδή, έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε είναι όμοια και θα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες. Οι ομόλογες πλευρές των τριγώνων είναι οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες τους.

εικονα

Άρα 10·ΔΓ = 64, οπότε ΔΓ = 6,4 cm. Επειδή ΒΓ = 10 cm και ΔΓ = 6,4 cm έχουμε ΒΔ = 10 - 6,4 δηλαδή ΒΔ = 3,6 cm.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια;

εικόνα
2
εικονα

Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος είναι όμοια.

3

Να γράψετε τους ίσους λόγους στα παρακάτω ζεύγη των ομοίων τριγώνων

εικονα
4

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια. Εικόνα
β) Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία οξεία γωνία ίση, είναι όμοια. Εικόνα
γ)Δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες. Εικόνα
δ)Δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια. . Εικόνα
ε) Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν μία γωνία 40º,
είναι όμοια.
Εικόνα
στ) Ο λόγος των περιμέτρων δύο ομοίων τριγώνων, είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους. Εικόνα
5
εικονα

α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΣΗ είναι όμοια.

β) Αν δύο πολύγωνα αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό ομοίων τριγώνων, είναι πάντοτε όμοια;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να υπολογίσετε το χ σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις:

εικονα

Μικροπείραμα 

2

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90º) και ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι όμοια. Αν ΔΒ = 4 cm και ΔΓ = 9 cm, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΔ.

 

3

3 Στις κάθετες πλευρές ΑΒ = 8 cm και ΑΓ = 12 cm ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τα σημεία Δ και Ε, ώστε ΑΔ = 2 cm και ΑΕ = 3 cm. Να αποδείξετε ότι:

α) ΔΕ // ΒΓ

β) τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΑΒΓ είναι όμοια.

4
εικκοα

Να βρείτε το πλάτος ΑΒ του ποταμού, αν ΑΓ = 12 m, ΓΔ = 15 m, ΕΔ = 60 m και εικονα

5
εικονα

Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ, ΒΕΔ είναι όμοια και να υπολογίσετε το x.

6
εικονα

Μπροστά στο μάτι μας και σε απόσταση 0,4 m κρατάμε κατακόρυφα ένα ραβδί ΑΒ = 0,5 m. Αν μετακινηθούμε και σταθούμε σε ένα σημείο Ζ τέτοιο, ώστε οι ευθείες ΟΑ, ΟΒ να καταλήγουν στη βάση και στην κορυφή της κεραίας ενός ραδιοφωνικού σταθμού, διαπιστώνουμε ότι η απόσταση μας από την κεραία είναι ΓΖ = 16,8 m. Μπορείτε να υπολογίσετε το ύψος της κεραίας;

7
εικονα

Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΕΖ // ΔΓ, ΒΗ // ΑΔ και ΕΘ // ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΗΕ, ΕΘΓ είναι όμοια και να υπολογίσετε το x.

8
εικονα

Ο γιος έχει ύψος 1,36 m. Ποιο είναι το ύψος του πατέρα του;

εικόνα

Η θεωρία των ομοίων σχημάτων ήταν γνωστή από τα μέσα του 7ου αιώνα π.Χ. Με τη βοήθεια της θεωρίας αυτής ο Θαλής ο Μιλήσιος (624 - 547 π.Χ.), ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, κατόρθωσε να υπολογίσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπος από το μήκος της σκιάς της, αποσπώντας το θαυμασμό του βασιλιά της Αιγύπτου, του Άμασι.

Δε γνωρίζουμε ακριβώς τις τεχνικές που χρησιμοποίη-σε ο Θαλής σ´ αυτό το επίτευγμα του. Ο Πλούταρχος, ωστόσο, μας διηγείται τα εξής:

εικονα

«Αφού έστησε το ραβδί του ο Θαλής στο τέλος της σκιάς της πυραμίδας από τα δύο όμοια τρίγωνα που προκύπτουν από την επαφή της ακτίνας του ήλιου, απέ-δειξε ότι o λόγος που είχε η σκιά της πυραμίδας προς τη σκιά της ράβδου ήταν ο ίδιος με το λόγο που είχε το ύψος της πυραμίδας προς το μήκος της ράβδου».

 

 

 

 

Ο Διογένης ο Λαέρτιος, μάλιστα, ισχυρίζεται ότι ο Θαλής μέτρησε τη σκιά της πυραμίδας, όταν το μήκος της ράβδου έγινε ίσο με το μήκος της σκιάς της.

εικονα