• Μαθαίνω πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια.
• Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Στο παρακάτω σχήμα, οι πλευρές του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ (ή Π΄) έχουν διπλάσιο μέγεθος από τις πλευρές του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ (ή Π) και οι αντίστοιχες γωνίες των τετραπλεύρων είναι ίσες.

1. Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ (ή Π΄΄) που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο λ = 2.

2. Να συγκρίνετε το τετράπλευρο που σχεδιάσατε με το Π΄.

3. Ποιο συμπέρασμα προκύπτει για τα αρχικά τετράπλευρα Π και Π΄;

Μικροπείραμα

Αν έχουμε δύο ομοιόθετα πολύγωνα, τότε το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου ή είναι ίσα. Δύο πολύγωνα Π και Π΄ που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου ή είναι ίσα τα λέμε όμοια και συμβολίζουμε Π ≈ Π΄. Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι:

Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια.

Αν όμως ένα πολύγωνο Π΄, δεν είναι ομοιόθετο του Π ή δεν είναι εύκολο να εξηγήσουμε ότι είναι ομοιόθετο του Π, τότε πώς μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι είναι όμοιό του; Ας πάρουμε δύο τετράπλευρα ΑΒΓΔ (ή Π) και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ (ή Π΄), ώστε οι πλευρές του Π΄ να είναι διπλάσιες των πλευρών του Π και οι αντίστοιχες γωνίες τους να είναι ίσες. Αν σχεδιάσουμε ένα τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ (ή Π΄΄) ομοιόθετο του Π με λόγο λ = 2, τότε τα τετράπλευρα Π΄ και Π΄΄ είναι ίσα, γιατί έχουν και τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους ίσες. Το Π΄΄ ως ομοιόθετο του Π, με λόγο 2 είναι μεγέθυνση του, άρα και το ίσο του πολυγώνο Π΄ είναι μεγέθυνση του Π, οπότε τα τετράπλευρα Π και Π΄ είναι όμοια. Το ίδιο θα συνέβαινε αν το Π΄ ήταν σμίκρυνση του Π.

Τα αρχικά τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ τα σχεδιάσαμε, ώστε να ισχύουν οι σχέσεις:

και διαπιστώσαμε ότι είναι όμοια.

Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές ομοίων πολυγώνων έχουν τον ίδιο λόγο , γι΄ αυτό λέγονται ομόλογες και ο λόγος τους λέγεται λόγος ομοιότητας. Είδαμε λοιπόν ότι δύο πολύγωνα είναι όμοια, αν είναι ή μπορεί να γίνουν ομοιόθετα και επομένως θα ισχύουν και γι' αυτά οι ιδιότητες των ομοιοθέτων σχημάτων, δηλαδή:

Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Από τη σχέση (1) και γνωστή ιδιότητα των αναλογιών έχουμε:

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας τους

Οι χάρτες συνήθως παρουσιάζουν μια γεωγραφική περιοχή σε σμίκρυνση, δηλαδή παρουσιάζουν ένα σχήμα όμοιο με το πραγματικό. Το μέγεθος της σμίκρυνσης καθορίζεται από την κλίμακα του χάρτη που αναγράφεται πάνω σ' αυτόν. Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης στο χάρτη προς την αντίστοιχη πραγματική απόσταση, δηλαδή είναι ο λόγος ομοιότητας των δύο σχημάτων. Για παράδειγμα κλίμακα 1 : 2000000 σημαίνει ότι, ο λόγος ομοιότητας του σχήματος στο χάρτη προς το πραγματικό είναι λ = οπότε 1 cm στο χάρτη είναι 20 km στην πραγματικότητα.

Μικροπείραμα       Μικροπείραμα       Μικροπείραμα       Μικροπείραμα

Λύση

Οι πλευρές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες. Άρα τα κανονικά πεντάγωνα ΑΒΓΔΕ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄Ε΄ έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή ισχύει:

αφού και οι αριθμητές και οι παρονομαστές είναι μεταξύ τους ίσοι. Τα κανονικά πεντάγωνα έχουν και τις γωνίες τους ίσες εφόσον καθεμιά από αυτές είναι

Άρα τα κανονικά πεντάγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, οπότε είναι όμοια.

Γενικά

Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια.

2

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η αεροφωτογραφία ενός αγροκτήματος που έχει σχήμα ορθογωνίου και έχει περιφραχτεί με συρματόπλεγμα μήκους 270 m. Να βρεθούν οι πραγματικές διαστάσεις του αγροκτήματος. Με ποια κλίμακα έχει φωτογραφηθεί το αγρόκτημα;

 

Λύση

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ,ΔΕΖ, όπως και δύο πολύγωνα, είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.

Δηλαδή αν έχουν

Για να είναι λοιπόν δύο τρίγωνα όμοια πρέπει να ισχύουν όλες οι προηγούμενες ισότητες; Ευτυχώς όχι.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ που έχουν δύο γωνίες τους ίσες ($\hat{Α} = \hat{Δ}$ και $\hat{Β} = \hat{Ε}$).

Αν τοποθετήσουμε το τρίγωνο ΔΕΖ πάνω στο ΑΒΓ, ώστε η γωνία να συμπέσει με την ίση της γωνία , τότε η πλευρά ΕΖ θα συμπέσει με τη ´ô και οι γωνίες , ΄ θα είναι ίσες. Άρα ´ô // ΒΓ και από το Θεώρημα του Θαλή έχουμε:

Άρα το τρίγωνο Α´ô είναι ομοιόθετο του ΑΒΓ στην ομοιοθεσία με κέντρο Α και λόγο , οπότε Α´ô≈ ΑΒΓ. Επειδή τα τρίγωνα ΔΕΖ, Α´ô είναι ίσα, θα είναι και ΔΕΖ ≈ ΑΒΓ. Επομένως

Είδαμε λοιπόν, ότι αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες.

Λύση

Τα τρίγωνα ΠΒΓ και Π´ô είναι ορθογώνια, αφού = ΄ = 90º και έχουν τη γωνία κοινή. Επομένως, έχουν δύο γωνίες ίσες, οπότε είναι όμοια και θα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες, δηλαδή

Η σκιά καλύπτει το ισόγειο και 4 ορόφους, οπότε θα έχει ύψος ´ô = 5 · 3 = 15 m. Άρα η ισότητα (1) γίνεται 20 · ΒΓ = 120, οπότε το ύψος του δέντρου είναι ΒΓ = 6 m.

Λύση