Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.4
Ομοιοθεσία
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω να βρίσκω το ομοιόθετο ενός σχήματος.
  • Γνωρίζω με ποιες σχέσεις συνδέονται τα ομοιόθετα σχήματα. .
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να σχεδιάσετε ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικό του να πάρετε ένα σημείο Ο.

2. Πάνω στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΟΑ΄, ΟΒ΄, ΟΓ΄, ΟΔ΄ διπλάσια των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ. Να σχηματίσετε το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ και να συγκρίνετε τις πλευρές και τις γωνίες του με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου.

3. Πάνω στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΟΑ΄΄, ΟΒ΄΄, ΟΓ΄΄, ΟΔ΄΄, μισά των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ. Να σχηματίσετε το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ και να συγκρίνετε τις πλευρές και τις γωνίες τους με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του αρχικού τετραπλεύρου. Τι παρατηρείτε;

Το ομοιόθετο σημείου
εικόνα

Αν πάρουμε δύο σημεία Ο, Α και στην ημιευθεία ΟΑ πάρουμε ένα σημείο Α΄, τέτοιο ώστε ΟΑ΄ = 2·ΟΑ, τότε λέμε ότι το σημείο Α΄ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Ο και λόγο λ = 2. Αν Α΄΄ σημείο της ημιευθείας ΟΑ, τέτοιο ώστε ΟΑ΄΄ = εικονα $\cdot$ ΟΑ, τότε το Α΄΄ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Ο και λόγο λ =εικονα .

Η διαδικασία με την οποία βρίσκουμε το ομοιόθετο ενός σημείου με κέντρο Ο και λόγο λ ονομάζεται ομοιοθεσία. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο ομοιοθεσίας, ενώ ο αριθμός λ ονομάζεται λόγος ομοιοθεσίας. Είναι φανερό ότι το κέντρο Ο έχει ομοιόθετο τον εαυτό του.

Το ομοιόθετο ευθυγράμμου τμήματος
εικονα

Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2 το ομοιόθετο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι το ευθύγραμμο τμήμα Α΄Β΄, όπου Α΄, Β΄ τα ομοιόθετα των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Επειδή ΟΑ΄ = 2·ΟΑ και ΟΒ΄ = 2·ΟΒ, θα έχουμε εικονα, οπότε ΑΒ // Α΄Β΄.

 

 

Επομένως

Τα ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλα.

Αν συγκρίνουμε τα τμήματα Α΄Β΄ και ΑΒ, διαπιστώνου με ότι Α΄Β΄ = 2 ΑΒ ή      εικονα       
Αν Α΄΄Β΄΄ είναι ομοιόθετο του ΑΒ με κέντρο Ο και λόγο
λ =εικονα τότε: Α΄΄Β΄΄ =εικονα  · ΑΒ   ή      εικονα

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Το ομοιόθετο γωνίας
εικόνα

Για να βρούμε το ομοιόθετο μιας γωνίας xÂy με κέντρο Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ (π.χ. λ = 2), παίρνουμε ένα σημείο Β στην πλευρά Αx, ένα σημείο Γ στην πλευρά Αy και βρίσκουμε τα σημεία Β΄, Α΄, Γ΄ που είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των Β, Α, Γ. Ορίζεται έτσι η γωνία x΄Â΄y΄, που είναι ομοιόθετη της γωνίας xÂy. Αν συγκρίνουμε τις δύο γωνίες διαπιστώνουμε ότι είναι ίσες, δηλαδή xÂy = x΄Â΄y΄. Επομένως

 

 

 

Οι ομοιόθετες γωνίες είναι ίσες.

Το ομοιόθετο πολυγώνου
εικόνα

Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο λ = 2, το ομοιόθετο ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄, όπου Α΄, Β΄, Γ΄, Δ΄ είναι αντιστοίχως τα ομοιόθετα των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ. Οι πλευρές και οι γωνίες του τετραπλεύρου Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ομοιόθετες με τις αντίστοιχες πλευρές και γωνίες του ΑΒΓΔ, οπότε ισχύουν:

εικονα

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο λ = 2 είναι μεγέθυνση του ΑΒΓΔ.

Αν Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ είναι το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο λ =εικονα ομοίως ισχύουν:

εικονα

Το τετράπλευρο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄Δ΄΄ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο λ =εικονα είναι σμίκρυνση του ΑΒΓΔ.

Μικροπείραμα Εικόνα       Μικροπείραμα Εικόνα       Μικροπείραμα μικροπείραμα

Γενικά

 

  • Δύο ομοιόθετα πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες.
  • Οι αντίστοιχες πλευρές δύο ομοιόθετων πολυγώνων που δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες.
  • Αν το πολύγωνο Π΄ είναι ομοιόθετο του Π με λόγο λ, τότε το Π΄ είναι
    - μεγέθυνση του Π, όταν λ > 1
    - σμίκρυνση του Π, όταν 0 < λ < 1 και
    - ίσο με το Π, όταν λ = 1.

 

Το ομοιόθετο κύκλου
εικονα

Για να βρούμε το ομοιόθετο ενός κύκλου (Κ, ρ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο ένα θετικό αριθμό λ (π.χ. λ = 2), βρίσκουμε το ομοιόθετο του κέντρου Κ και το ομοιόθετο ενός σημείου Α του κύκλου, που είναι τα σημεία Κ΄ και Α΄ αντιστοίχως. Ορίζεται έτσι ένας κύκλος (Κ΄, ρ΄), όπου ρ΄ = Κ΄Α΄, που είναι ομοιόθετος του κύκλου (Κ, ρ). Το ευθύγραμμο τμήμα Κ΄Α΄ είναι ομοιόθετο του ΚΑ με κέντρο Ο και λόγο λ = 2, οπότε Κ΄Α΄ = 2 · ΚΑ, δηλαδή ρ΄ = 2ρ.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Με κέντρο ομοιοθεσίας ένα εσωτερικό σημείο Ο τετραγώνου ΑΒΓΔ, πλευράς 1,5 cm και λόγο λ = 3, να σχεδιαστεί το ομοιόθετό του και να αποδειχτεί ότι είναι τετράγωνο.

 

Λύση

εικονα

Στις ημιευθείες ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, ΟΔ παίρνουμε αντιστοίχως τα τμήματα
ΟΑ΄ = 3 · ΟΑ, ΟΒ΄ = 3 · ΟΒ, ΟΓ΄ = 3 · ΟΓ, ΟΔ΄ = 3 · ΟΔ. Το
τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και λόγο
λ = 3, οπότε:

εικονα

Άρα, Α΄Β΄ = 3 · ΑΒ = 3 · 1,5 = 4,5 cm.
Ομοίως έχουμε ´ô = Γ΄Δ΄ = Δ΄Α΄ = 4,5 cm
Επειδή τα ομοιόθετα σχήματα έχουν τις αντίστοιχες γωνίες του ίσες, το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ που είναι ομοιόθετο του ΑΒΓΔ θα έχει τις γωνίες του ορθές. Επομένως το τετράπλευρο Α΄Β΄Γ΄Δ΄ είναι τετράγωνο, αφού έχει τις πλευρές του ίσες και τις γωνίες του ορθές. Άρα
Το ομοιόθετο ενός τετραγώνου είναι τετράγωνο

Μικροπείραμα μικροπείραμα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1
εικονα

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά. Στην ομοιοθεσία με κέντρο Ο και λόγο

α) λ = 5 το ομοιόθετο του Α είναι το ....

β) λ = 2 το ομοιόθετο του Β είναι το .....

γ) λ = εικονατο ομοιόθετο του Γ είναι το .....

δ) λ =εικονα το ομοιόθετο του Ε είναι το .....

2

Σε ποια από τα παρακάτω σχήματα τα πολύγωνα είναι ομοιόθετα;

εικονα

4

Να συμπληρώσετε τον πίνακα της επόμενης σελίδας:

εικονα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 3 cm.

α) Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με κέντρο Α και λόγο: i) λ = εικόναii) λ = 2.

β) Να υπολογίσετε τις πλευρές των τετραγώνων που σχεδιάσατε.

2

Να κατασκευάσετε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με κάθετες πλευρές ΑΒ = 12 cm και ΑΓ = 9 cm. Με κέντρο την κορυφή Α και λόγο λ =εικονα να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ και να υπολογίσετε τις πλευρές του.

 

3
εικονα

Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του τριγώνου ΑΒΓ του διπλανού σχήματος με κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο Ο εκτός του τριγώνου και λόγο λ = 3.Να υπολογίσετε τις πλευρές και τις γωνίες του νέου τριγώνου.

4

Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο ενός κύκλου (Ο, ρ) με κέντρο ομοιοθεσίας Ο και λόγο λ = 3. Να αποδείξετε ότι ο νέος κύκλος θα έχει τριπλάσιο μήκος και εννεαπλάσιο εμβαδόν.

5

Να τοποθετήσετε στο σχήμα τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν, Ρ αν γνωρίζετε ότι: εικονα

- Το Κ είναι ομοιόθετο του Α με κέντρο Γ και λόγοεικονα .

- Το Α είναι ομοιόθετο του Λ με κέντρο Κ και λόγο 2.

- Το ΛΜ είναι ομοιόθετο του ΑΒ με κέντρο Γ και λόγοεικονα .

- Το ΑΒ είναι ομοιόθετο του ΚΝ με κέντρο Γ και λόγο 3

6

Οι διαγώνιοι παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ. Να σχεδιάσετε το ομοιόθετο του ΑΒΓΔ με λόγο 2 και κέντρο ομοιοθεσίας:

α) το σημείο Κ

β) το σημείο Α

γ) ένα εξωτερικό σημείο του παραλληλογράμμου.

Να συγκρίνετε τα τρία ομοιόθετα σχήματα και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.

7

Σ΄ ένα τετραγωνισμένο χαρτί να χαράξετε ένα σύστημα αξόνων και να πάρετε τα σημεία Α(-1, 1), Β(2, 2) και Γ(0, -2).

α) Να σχεδιάσετε τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄ ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο την αρχή των αξόνων και λόγο λ = 2. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Με ποια σχέση συνδέονται οι συντεταγμένες των κορυφών των δύο τριγώνων;

β) Να σχεδιάσετε τρίγωνο Α΄΄Β΄΄Γ΄΄ ομοιόθετο του ΑΒΓ με κέντρο το σημείο Κ(1, 1), λόγο λ = 2 και να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του. Ισχύει η ανάλογη σχέση για τις συντεταγμένες των κορυφών αυτών των τριγώνων;

8

Στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ τριγώνου ΑΒΓ να ορίσετε τα σημεία Δ, Ε αντιστοίχως, ώστε ΑΔ = εικοναΑΒ και ΑΕ = εικοναΑΓ. Να αποδείξετε ότι ΔΕ // ΒΓ και ΔΕ = εικοναΒΓ.

8
εικονα

Να κατασκευάσετε το ομοιόθετο του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ στην ομοιοθεσία κατά την οποία τα σημεία Α΄, Β΄ είναι ομοιόθετα των κορυφών Α, Β αντιστοίχως.