Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
5.3 Έννοια της πιθανότητας 1.2 Λόγος ευθυγράμμων τμημάτων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
εικόνα 

εικονα

εικονα

1.1
Ισότητα τριγώνων
Εικόνα
Εικόνα
  • Θυμάμαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου (κύρια - δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων.
  • Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τρίγωνων.
  • Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Αν μετατοπίσουμε κατάλληλα το τρίγωνο ΑΒΓ, χωρίς αυτό να μεταβληθεί, τότε θα ταυτιστεί με ένα από τα τρίγωνα Τ1, Τ2, Τ3, Τ4.

εικόνα

1. Να αποτυπώσετε το τρίγωνο ΑΒΓ σε διαφανές χαρτί και να βρείτε με ποιο από τα τρίγωνα Τ1, Τ2, Τ3, Τ4 ταυτίζεται.

2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

εικονα

Κύρια και δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

 

εικονα

Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες του εικονασυμβολίζονται αντιστοίχως α, β, γ.

Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ισχύει

εικονα

Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία των πλευρών αυτών, π.χ. περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ είναι η γωνία εικόνα. Οι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς αυτής π.χ. προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οιεικόνα καιεικόν α. Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται:

εικονα

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές.

Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομάζεται:

εικονα

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρά ΒΓ ονομάζεται βάση του και το σημείο Α κορυφή του.

Σ΄ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύοντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη.

εικονα

Ίσα τρίγωνα
εικόνα

Αν μετατοπίσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σε μια άλλη θέση και θεωρήσουμε ότι κατά τη μετατόπισή του αυτό δε μεταβάλλεται, τότε οι κορυφές του Α, Β, Γ θα πάρουν τις θέσεις των σημείων Α΄, Β΄, Γ΄ αντιστοίχως και το τρίγωνο ΑΒΓ θα πάρει τη θέση του τριγώνου Α΄Β΄Γ΄. Αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, τότε οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους θα είναι ίσες, αφού και αυτές ταυτίζονται. Έτσι έχουμε:

ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΓ = ´ô, ΑΓ = Α΄Γ΄ και

εικονα =εικονα΄ , εικονα =εικονα΄ , εικονα = εικονα΄ .

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄, για τα οποία ισχύουν οι προηγούμενες ισότητες, λέμε ότι είναι ίσα. Δηλαδή

  • Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα.

Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. Δηλαδή

  • Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Στο εξής σε κάθε μετατόπιση τριγώνου θα θεωρούμε ότι αυτό δε μεταβάλλεται. Αυτό σημαίνει ότι, αν έχουμε δύο ίσα τρίγωνα και μετατοπίσουμε κατάλληλα το ένα από αυτά, τότε τα τρίγωνα ταυτίζονται.

Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα δεν είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι έχουν όλες τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία.

Στη συνέχεια, θα μάθουμε προτάσεις με τις οποίες διαπιστώνουμε ότι και με λιγότερα στοιχεία είναι δυνατόν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα. Οι προτάσεις αυτές είναι γνωστές ως κριτήρια ισότητας τριγώνων.

Κριτήρια ισότητας τριγώνων

1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π)

Για δύο τρίγωνα ισχύει η παρακάτω βασική ιδιότητα ισότητας

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, τότε είναι ίσα.

εικόναΠράγματι, σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν δύο πλευρές ίσες ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄ και την περιεχόμενη γωνία τους ίση εικόνα =εικόνα΄.

Αν μετατοπίσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, έτσι ώστε η γωνία εικόνα να συμπέσει με την ίση της γωνία εικόνα΄ και η πλευρά ΑΒ να συμπέσει με την ίση της πλευρά Α΄Β΄, τότε η πλευρά ΑΓ θα συμπέσει με την ίση της πλευρά Α΄Γ΄ και οι κορυφές Β, Γ θα συμπέσουν με τις κορυφές Β΄, Γ΄ αντιστοίχως. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, οπότε είναι ίσα.

εικοναΓια παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν δύο πλευρές ίσες (ΑΒ = ΔΕ = 4 cm, ΒΓ = ΕΖ = = 5 cm) και την περιεχόμενη γωνία τους ίση (εικονα = εικονα = 70º). Επομένως, τα τρίγωνα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

ΑΓ = ΔΖ, εικονα= εικονα και εικονα= εικονα.

Παρατηρούμε ότι οι ίσες γωνίες εικονα, εικονα βρίσκονται απένα-ντι από τις ίσες πλευρές ΑΒ, ΕΔ.

Μικροπείραμα 1 Εικόνα       Μικροπείραμα 2 Εικόνα       Μικροπείραμα 3 Εικόνα

Γενικά:

Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες.

2ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ).

εικόνα

Σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν μία πλευρά ίση ΒΓ = ´ô και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες εικόνα=εικόνα΄ και εικονα =εικονα΄. Αν μετατοπίσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, έτσι ώστε η πλευρά του ΒΓ να συμπέσει με την ίση της πλευρά Β΄Γ΄ και η γωνία εικόνα να συμπέσει με τη ίση της γωνία εικόνα΄, τότε η γωνία εικονα θα συμπέσει με την ίση της γωνία εικονα΄ και η κορυφή Α θα συμπέσει με την κορυφή Α΄.

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, οπότε είναι ίσα. Επομένως

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

εικονα

Για παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν μία πλευρά ίση (ΑΓ = ΔΕ = 8 cm) και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες ( εικονα = εικονα = 60º, εικονα =εικόνα = 40º). Επομένως τα τρίγωνα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

εικόνα = εικονα, ΑΒ = ΔΖ, ΒΓ = ΕΖ.

Παρατηρούμε ότι οι ίσες πλευρές ΑΒ, ΔΖ βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες εικονα, εικόνα. Γενικά:

Μικροπείραμα 1 Εικόνα       Μικροπείραμα 2 Εικόνα       Μικροπείραμα 3 

Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές.

3ο κριτήριο ισότητας (Π - Π - Π)

εικονα

Σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες

(ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΓ = ´ô, ΑΓ = Α΄Γ΄).

Αν μετατοπίσουμε κατάλληλα το τρίγωνο ΑΒΓ, τότε αυτό ταυ- τίζεται με το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Επομένως

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

εικονα

Για παράδειγμα, τα τρίγω- να ΑΒΓ και ΔΕΖ του δι- πλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, ΑΒ = ΔΕ = 3 cm, ΑΓ = ΔΖ = 6 cm και ΒΓ = ΕΖ = 5 cm. Άρα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

εικονα = εικονα, εικόνα =εικόνα και εικονα = εικονα.

Μικροπείραμα 1 Εικόνα       Μικροπείραμα 2 Εικόνα

Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων

Τα προηγούμενα κριτήρια ισότητας τριγώνων μπορούμε να τα εφαρμόσουμε και στα ορθογώνια τρίγωνα.

εικονα

Στο σχήμα 1 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα, γιατί έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, αφού αυτή είναι ορθή.

Στο σχήμα 2 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά ίση και όπως προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουν και την τρίτη πλευρά τους ίση. Άρα τα τρίγωνα θα είναι ίσα, αφού έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Οι δύο αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο εξής κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

εικονα

Στο σχήμα 3 τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία.

Στα σχήματα 4 και 5 τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση, αφού το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180ο. Άρα είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία.

Ο τρεις αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο εξής κριτήριο ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα.

Από τα προηγούμενα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων διαπιστώνουμε ότι:

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν

  • δύο αντίστοιχες πλευρές ίσες μία προς μία ή
  • μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) φέρνουμε τη διχοτόμο ΑΔ. α) Να συγκρι- θούν τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ. β) Να αποδειχθεί ότι Β = Γ και ότι η διχο- τόμος ΑΔ είναι διάμεσος και ύψος.

 

Λύση

εικονα

α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ και παρατηρούμε ότι έχουν:

  • ΑΔ = ΑΔ, κοινή πλευρά
  • ΑΒ = ΑΓ από την υπόθεση
  • εικονα1 = εικονα2, αφού ΑΔ διχοτόμος της γωνίας εικονα. Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση.

β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, θα έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε εικονα = εικονα, ΒΔ = ΔΓ και εικονα1 = εικονα2. Αφού είναι εικονα1 = εικονα2 και εικονα1 + εικονα2 = 180º, θα έχουμε εικονα1 = εικονα2 = 90º, οπότε η διχοτόμος ΑΔ είναι και ύψος. Η διχοτόμος ΑΔ είναι και διάμεσος, αφού ΒΔ = ΔΓ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:

α) Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες.

β) Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρνουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν.

Μικροπείραμα Εικόνα      

2
εικόνα

Στο διπλανό σχήμα είναι εικονακαι ΑΓ = ΓΔ. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ = ΔΕ.

Λύση

Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΓΔΕ και παρατηρούμε ότι έχουν:

  • ΑΓ = ΓΔ από την υπόθεση
  • εικονα = εικονα από την υπόθεση
  • εικονα1 =εικονα2 γιατί είναι κατακορυφήν γωνίες

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΓΔΕ είναι ίσα, γιατί έχουν μια πλευρά ίση και τις προσκείμενες σε αυτή την πλευρά γωνίες ίσες μία προς μία. Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και όλα τα υπόλοι-πα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε ΑΒ = ΔΕ.

3

Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Λύση

εικονα

Φέρουμε τη μεσοκάθετο ε ενός ευθύ- γραμμου τμήματος ΑΒ που το τέμνει στο σημείο Μ. Αν Σ είναι τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου, θα αποδείξουμε ότι ΣΑ = ΣΒ. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΜΣ, ΒΜΣ και παρατηρούμε ότι έχουν:

  • ΣΜ = ΣΜ, κοινή πλευρά και
  • ΑΜ = ΜΒ,αφού το Μ είναι μέσον του ΑΒ.

Άρα τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και τα υπόλοιπα αντί-στοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε ΣΑ = ΣΒ.

 

Χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας

Χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος

Από το προηγούμενο παράδειγμα συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Αποδεικνύεται ακόμη ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος.

Μικροπείραμα Εικόνα      

4

Να αποδειχθεί ότι κάθε σημείο της διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.

Λύση

Φέρνουμε τη διχοτόμο Οz της γωνίας xÔy και πάνω σ´ αυτήν παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο Α. Αν ΑΒ, ΑΓ είναι οι αποστάσεις του σημείου Α από τις πλευρές της γωνίας, θα αποδείξουμε ότι ΑΒ = ΑΓ. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΑΒ, ΟΑΓ και παρατηρούμε ότι έχουν:

  • ΟΑ = ΟΑ κοινή πλευρά και
  • Ô1 = Ô2, αφού η Oz είναι διχοτόμος της γωνίας xÔy.

Άρα τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν αντίστοιχα μια πλευρά και μια οξεία γωνία ίση.

Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε ΑΒ = ΑΓ.

Χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μιας γωνίας

Από το προηγούμενο παράδειγμα συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

Αποδεικνύεται ακόμη ότι :

Κάθε εσωτερικό σημείο μιας γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου της.

Μικροπείραμα Εικόνα      

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1
εικονα

Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ του παρακάτω σχήματος και να συμπληρώσετε τις ισότητες

εικονα = ....., εικονα = ...... και ΒΓ = .......

2
εικονα

Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος, αν και έχουν δύο πλευρές ίσες και μια γωνία ίση.

3
εικονα

Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του διπλανού σχήμα- τος και να συμπλη- ρώσετε τις ισότητες ΑΒ = ..... και ΑΓ = .....

4
εικονα

Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων του παρακάτω σχήματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

5
εικονα

Είναι ίσα τα τρίγωνα του παρακάτω σχήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

6
εικονα

Να εξηγήσετε γιατί είναι ίσα τα τρίγωνα του σχήματος της επόμενης σελίδας και να συμπληρώσετε τις ισότητες

εικονα= ..... , εικονα = ..... και εικονα = .....

7

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Εικόνα
β) Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Εικόνα
γ) Σε δύο τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες. Εικόνα
δ) Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες γωνίες βρίσκονται ίσες πλευρές. Εικόνα
ε) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε θα έχουν και την τρίτη τους γωνία ίση. Εικόνα
στ) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία, τότε θα έχουν και την τρίτη τους πλευρά ίση Εικόνα
8
εικονα

Είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα του διπλανού σχήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

9
εικονα

Να βρείτε το ζεύγος των ίσων τριγώνων. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

10
εικονα

Τα ορθογώνια τρίγωνα του διπλανού σχήματος έχουν δύο πλευρές ίσες. Να εξηγήσετε γιατί δεν είναι ίσα.

11
εικονα

Να αιτιολογήσετε γιατί είναι ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1
εικονα

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.

 

2
εικονα

Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας xÔy. Αν ΟΑ = ΟΒ και Σ τυχαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ.

Μικροπείραμα 

3

Στη βάση ΒΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε σημεία Δ, Ε, ώστε ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ.

 

4
εικονα

Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΔ.

5
εικονα

Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm. Αν είναι ΑΣ = ΒΔ = ΓΕ = 3 cm, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

Μικροπείραμα Εικόνα      

6
εικόνα

Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ενός ισο- σκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι. εικονα

7

Σ´ ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ η διαγώνιος ΑΓ διχοτομεί τις γωνίες εικονα

Να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΑΔ και ΒΓ = ΓΔ.

8

Να αποδείξετε ότι οι απέναντι πλευρές ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες.

9
εικονα

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος έχουν τις διχοτόμους ΑΔ και Α΄Δ΄ ίσες. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΒ = Α΄Β΄

β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα. .

10
εικονα

Στο διπλανό σχήμα το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ ενός κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα.

Μικροπείραμα 

11
εικονα

Αν Ο, Α είναι τα κέντρα των κύκλων του διπλανού σχήματος, να αποδείξετε ότι η ΑΟ διχοτομεί τη γωνία ΒΑΓ.

Μικροπείραμα Εικόνα      

12
εικονα

Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες εικονα.

13
εικονα

Στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος οι διάμεσοι ΑΜ και Α΄Μ΄ είναι ίσες. Αν ΑΒ = Α΄Β΄ και ΒΜ = Β΄Μ΄, τότε να αποδείξετε ότι:

εικονα

14
εικονα

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν είναι ΒΔ = ΓΕ, να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές β) τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.

15
εικόνα

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) να φέρετε ΑΔ ⊥ ΑΒ και ΑΕ ⊥ ΑΓ. Αν είναι ΑΔ = ΑΕ, να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.

16

Σε τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι εικόνακαι ΑΒ = ΑΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΓΔ και ότι η ΑΓ είναι μεσοκάθετος του ΒΔ.

17

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Â = 90º) να φέρετε τη διχοτόμο ΒΔ. Αν ΔΕ⊥ΒΓ, να αποδείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ.

18

Μια ευθεία (ε) διέρχεται από το μέσον Μ ενός τμήματος ΑΒ. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β ισαπέχουν από την ευθεία (ε).

19
εικονα

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν  = Â΄ και ΑΒ = Α΄Β΄. Αν τα ύψη τους ΑΔ και Α΄Δ΄ είναι ίσα, να αποδείξετε ότι .

εικονα

20
εικονα

Αν οι χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και τα αποστήματά τους ΟΜ, ΟΝ είναι ίσα και αντιστρόφως.

21
εικονα

Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν οι χορδές ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και οι χορδές ΒΓ και ΒΔ είναι ίσες.

22 - Μικροπείραμα Εικόνα      

εικόνα

Υπολογισμός της απόστασης ενός πλοίου από τη στεριά

Αν ένα πλοίο βρίσκεται στη θέση Α στη θάλασσα, εμείς στεκόμαστε στη θέση Β στη στεριά και θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση ΑΒ, τότε:

 

εικονα
  • Ξεκινάμε από το σημείο Β και περπατώντας πάνω στην παραλία κάθετα στην ΑΒ διανύουμε μιαν απόσταση ΒΓ. Στο σημείο Γ βάζουμε ένα σημάδι, π.χ. στερεώνουμε ένα ραβδί και συνεχίζοντας πάνω στην ίδια ευθεία διανύουμε την απόσταση ΓΔ = ΒΓ.



  • Στο σημείο Δ αφου βάλουμε ένα σημάδι, π.χ. μια πέτρα, κάνουμε στροφή και περπατώντας κάθετα στη ΒΔ σταματάμε όταν βρεθούμε σ´ ένα σημείο Ε, από το οποίο τα σημεία Α και Γ φαίνονται να είναι πάνω στην ίδια ευθεία.

 

Η ζητούμενη απόσταση ΑΒ είναι ίση με την απόσταση ΔΕ την οποία μπορούμε να μετρήσουμε, αφού είναι πάνω στη στεριά.

Τη μέθοδο αυτή, λέγεται, ότι εφάρμοσε πριν από 2.500 χρόνια περίπου ο Θαλής ο Μιλήσιος.

 

 

 

εικονα