• Θυμάμαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου (κύρια - δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων.
• Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τρίγωνων.
• Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Σε κάθε τρίγωνο οι πλευρές και οι γωνίες του ονομάζονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Οι πλευρές ενός τριγώνου ΑΒΓ που βρίσκονται απέναντι από τις γωνίες του συμβολίζονται αντιστοίχως α, β, γ.

Για τις γωνίες κάθε τριγώνου ισχύει

Η γωνία του τριγώνου που περιέχεται μεταξύ δύο πλευρών λέγεται περιεχόμενη γωνία των πλευρών αυτών, π.χ. περιεχόμενη γωνία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ είναι η γωνία . Οι γωνίες του τριγώνου που έχουν κορυφές τα άκρα μιας πλευράς λέγονται προσκείμενες γωνίες της πλευράς αυτής π.χ. προσκείμενες γωνίες της πλευράς ΒΓ είναι οι και. Ένα τρίγωνο ανάλογα με το είδος των γωνιών του ονομάζεται:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα, ενώ οι άλλες δύο ονομάζονται κάθετες πλευρές.

Ένα τρίγωνο ανάλογα με τις σχέσεις που συνδέονται οι πλευρές του ονομάζεται:

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρά ΒΓ ονομάζεται βάση του και το σημείο Α κορυφή του.

Σ΄ ένα τρίγωνο, εκτός από τα κύρια στοιχεία, υπάρχουν και τα δευτερεύοντα στοιχεία, που είναι οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη.

Αν μετατοπίσουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ σε μια άλλη θέση και θεωρήσουμε ότι κατά τη μετατόπισή του αυτό δε μεταβάλλεται, τότε οι κορυφές του Α, Β, Γ θα πάρουν τις θέσεις των σημείων Α΄, Β΄, Γ΄ αντιστοίχως και το τρίγωνο ΑΒΓ θα πάρει τη θέση του τριγώνου Α΄Β΄Γ΄. Αφού τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, τότε οι αντίστοιχες πλευρές και γωνίες τους θα είναι ίσες, αφού και αυτές ταυτίζονται. Έτσι έχουμε:

ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΓ = ´ô, ΑΓ = Α΄Γ΄ και

=΄ , =΄ , = ΄ .

Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄, για τα οποία ισχύουν οι προηγούμενες ισότητες, λέμε ότι είναι ίσα. Δηλαδή

• Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι ίσα.

Ισχύει ακόμη και το αντίστροφο. Δηλαδή

• Αν δύο τρίγωνα είναι ίσα, τότε θα έχουν τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες μία προς μία.

Στο εξής σε κάθε μετατόπιση τριγώνου θα θεωρούμε ότι αυτό δε μεταβάλλεται. Αυτό σημαίνει ότι, αν έχουμε δύο ίσα τρίγωνα και μετατοπίσουμε κατάλληλα το ένα από αυτά, τότε τα τρίγωνα ταυτίζονται.

Για να αποδείξουμε ότι δύο τρίγωνα είναι ίσα δεν είναι απαραίτητο να αποδείξουμε ότι έχουν όλες τις πλευρές τους και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία.

Στη συνέχεια, θα μάθουμε προτάσεις με τις οποίες διαπιστώνουμε ότι και με λιγότερα στοιχεία είναι δυνατόν να διακρίνουμε αν δύο τρίγωνα είναι ίσα. Οι προτάσεις αυτές είναι γνωστές ως κριτήρια ισότητας τριγώνων.

1ο κριτήριο ισότητας (Π - Γ - Π)

Για δύο τρίγωνα ισχύει η παρακάτω βασική ιδιότητα ισότητας

Πράγματι, σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν δύο πλευρές ίσες ΑΒ = Α΄Β΄, ΑΓ = Α΄Γ΄ και την περιεχόμενη γωνία τους ίση =΄.

Αν μετατοπίσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, έτσι ώστε η γωνία να συμπέσει με την ίση της γωνία ΄ και η πλευρά ΑΒ να συμπέσει με την ίση της πλευρά Α΄Β΄, τότε η πλευρά ΑΓ θα συμπέσει με την ίση της πλευρά Α΄Γ΄ και οι κορυφές Β, Γ θα συμπέσουν με τις κορυφές Β΄, Γ΄ αντιστοίχως. Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, οπότε είναι ίσα.

Για παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν δύο πλευρές ίσες (ΑΒ = ΔΕ = 4 cm, ΒΓ = ΕΖ = 5 cm) και την περιεχόμενη γωνία τους ίση ( = = 70º). Επομένως, τα τρίγωνα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

ΑΓ = ΔΖ, = και = .

Παρατηρούμε ότι οι ίσες γωνίες , βρίσκονται απέναντι από τις ίσες πλευρές ΑΒ, ΕΔ.

Μικροπείραμα       Μικροπείραμα       Μικροπείραμα

Γενικά:

Σε ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες.

2ο κριτήριο ισότητας (Γ - Π - Γ).

Σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν μία πλευρά ίση ΒΓ = ´ô και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες =΄ και =΄. Αν μετατοπίσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ, έτσι ώστε η πλευρά του ΒΓ να συμπέσει με την ίση της πλευρά Β΄Γ΄ και η γωνία να συμπέσει με τη ίση της γωνία ΄, τότε η γωνία θα συμπέσει με την ίση της γωνία ΄ και η κορυφή Α θα συμπέσει με την κορυφή Α΄.

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ ταυτίζονται, οπότε είναι ίσα. Επομένως

Για παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν μία πλευρά ίση (ΑΓ = ΔΕ = 8 cm) και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες ( = = 60º, = = 40º). Επομένως τα τρίγωνα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

= , ΑΒ = ΔΖ, ΒΓ = ΕΖ.

Παρατηρούμε ότι οι ίσες πλευρές ΑΒ, ΔΖ βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες , . Γενικά:

Μικροπείραμα       Μικροπείραμα       Μικροπείραμα

3ο κριτήριο ισότητας (Π - Π - Π)

Σχεδιάζουμε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ που να έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες

(ΑΒ = Α΄Β΄, ΒΓ = ´ô, ΑΓ = Α΄Γ΄).

Αν μετατοπίσουμε κατάλληλα το τρίγωνο ΑΒΓ, τότε αυτό ταυτίζεται με το τρίγωνο Α΄Β΄Γ΄, οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Επομένως

Για παράδειγμα, τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ του διπλανού σχήματος είναι ίσα, αφού έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, ΑΒ = ΔΕ = 3 cm, ΑΓ = ΔΖ = 6 cm και ΒΓ = ΕΖ = 5 cm. Άρα θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, δηλαδή

= , = και = .

Μικροπείραμα       Μικροπείραμα

Τα προηγούμενα κριτήρια ισότητας τριγώνων μπορούμε να τα εφαρμόσουμε και στα ορθογώνια τρίγωνα.

Στο σχήμα 1 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα, γιατί έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση, αφού αυτή είναι ορθή.

Στο σχήμα 2 τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν την υποτείνουσα και μια κάθετη πλευρά ίση και όπως προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα θα έχουν και την τρίτη πλευρά τους ίση. Άρα τα τρίγωνα θα είναι ίσα, αφού έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες μία προς μία.

Οι δύο αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο εξής κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα.

Στο σχήμα 3 τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία.

Στα σχήματα 4 και 5 τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, οπότε θα έχουν και την τρίτη γωνία τους ίση, αφού το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180^ο. Άρα είναι ίσα γιατί έχουν μία πλευρά ίση και τις προσκείμενες στην πλευρά αυτή γωνίες ίσες μία προς μία.

Ο τρεις αυτές περιπτώσεις συνοψίζονται στο εξής κριτήριο ισότητας των ορθογωνίων τριγώνων. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία αντίστοιχη πλευρά ίση και μία αντίστοιχη οξεία γωνία ίση, τότε είναι ίσα.

Από τα προηγούμενα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων διαπιστώνουμε ότι:

Λύση

α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΔΓ και παρατηρούμε ότι έχουν:

• ΑΔ = ΑΔ, κοινή πλευρά
• ΑΒ = ΑΓ από την υπόθεση
• ₁ = ₂, αφού ΑΔ διχοτόμος της γωνίας . Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και την περιεχόμενη γωνία τους ίση.

β) Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΔΓ είναι ίσα, θα έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε = , ΒΔ = ΔΓ και ₁ = ₂. Αφού είναι ₁ = ₂ και ₁ + ₂ = 180º, θα έχουμε ₁ = ₂ = 90º, οπότε η διχοτόμος ΑΔ είναι και ύψος. Η διχοτόμος ΑΔ είναι και διάμεσος, αφού ΒΔ = ΔΓ.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι:

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο:

α) Οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες.

β) Η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος που φέρνουμε από την κορυφή προς τη βάση του συμπίπτουν.

Μικροπείραμα      

2

Στο διπλανό σχήμα είναι και ΑΓ = ΓΔ. Να αποδειχθεί ότι ΑΒ = ΔΕ.

Λύση

Λύση

Φέρουμε τη μεσοκάθετο ε ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ που το τέμνει στο σημείο Μ. Αν Σ είναι τυχαίο σημείο της μεσοκαθέτου, θα αποδείξουμε ότι ΣΑ = ΣΒ. Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΜΣ, ΒΜΣ και παρατηρούμε ότι έχουν:

• ΣΜ = ΣΜ, κοινή πλευρά και
• ΑΜ = ΜΒ, αφού το Μ είναι μέσον του ΑΒ.

Άρα τα ορθογώνια αυτά τρίγωνα είναι ίσα, γιατί έχουν δύο αντίστοιχες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, θα έχουν και τα υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα, οπότε ΣΑ = ΣΒ.

 

Χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος

Από το προηγούμενο παράδειγμα συμπεραίνουμε λοιπόν ότι:

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του.

Αποδεικνύεται ακόμη ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι σημείο της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος.

Μικροπείραμα      

Λύση

Μικροπείραμα      

1

Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ = ΑΓ και ΑΔ = ΑΕ. Να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.

 

2

Στο διπλανό σχήμα η Οδ είναι διχοτόμος της γωνίας xÔy. Αν ΟΑ = ΟΒ και Σ τυχαίο σημείο της διχοτόμου, να αποδείξετε ότι ΣΑ = ΣΒ.

Μικροπείραμα

4

Στο διπλανό σχήμα είναι ΟΑ = ΟΓ και ΟΒ = ΟΔ. Να αποδείξετε ότι ΒΓ = ΑΔ.

5

Κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ είναι 8 cm. Αν είναι ΑΖ = ΒΔ = ΓΕ = 3 cm, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο.

Μικροπείραμα      

6

Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών ΑΒ, ΑΓ ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ να πάρετε αντιστοίχως τμήματα ΒΔ = ΓΕ. Να αποδείξετε ότι.

9

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος έχουν τις διχοτόμους ΑΔ και Α΄Δ΄ ίσες. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΒ = Α΄Β΄

β) τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ είναι ίσα..

10

Στο διπλανό σχήμα το σημείο Α ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ ενός κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Ο. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΑΓ είναι ίσα.

Μικροπείραμα

11

Αν Ο, Α είναι τα κέντρα των κύκλων του διπλανού σχήματος, να αποδείξετε ότι η ΑΟ διχοτομεί τη γωνία ΒΑΓ.

Μικροπείραμα      

12

Τα ισοσκελή τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ του διπλανού σχήματος έχουν κοινή βάση ΒΓ. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τις γωνίες .

13

Στα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ του διπλανού σχήματος οι διάμεσοι ΑΜ και Α΄Μ΄ είναι ίσες. Αν ΑΒ = Α΄Β΄ και ΒΜ = Β΄Μ΄, τότε να αποδείξετε ότι:

14

Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ το σημείο Μ είναι μέσο της βάσης ΒΓ. Αν είναι ΒΔ = ΓΕ, να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΜΔΕ είναι ισοσκελές β) τα τρίγωνα ΑΔΜ και ΑΕΜ είναι ίσα.

15

Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) να φέρετε ΑΔ ⊥ ΑΒ και ΑΕ ⊥ ΑΓ. Αν είναι ΑΔ = ΑΕ, να αποδείξετε ότι ΒΔ = ΓΕ.

19

Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν  = Â΄ και ΑΒ = Α΄Β΄. Αν τα ύψη τους ΑΔ και Α΄Δ΄ είναι ίσα, να αποδείξετε ότι:

20

Αν οι χορδές ΑΒ, ΓΔ ενός κύκλου είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και τα αποστήματά τους ΟΜ, ΟΝ είναι ίσα. Ισχύει το αντίστροφο;

21

Στο διπλανό σχήμα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν οι χορδές ΑΓ και ΑΔ είναι ίσες, να αποδείξετε ότι και οι χορδές ΒΓ και ΒΔ είναι ίσες.

Μικροπείραμα