Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
5.2 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα 1.1 Ισότητα τριγώνων Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
5.3
Έννοια της πιθανότητας
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας
  • Γνωρίζω τους βασικούς κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων. .
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Επιλέγουμε στην τύχη ένα αυτοκίνητο του οποίου ο αριθμός κυκλοφορίας είναι ζυγός και καταγράφουμε το τελευταίο ψηφίο του.

− Ο Γιώργος ισχυρίζεται ότι είναι πιθανότερο να είναι μικρότερο του 6 παρά να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 6. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του;

Κλασικός ορισμός πιθανότητας

Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα άρτιο μονοψήφιο φυσικό αριθμό, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = {0, 2, 4, 6, 8}.

Αν κάθε αριθμός επιλέγεται στην τύ-χη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων, τότε όλοι οι αριθμοί έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής και λέμε ότι τα δυνατά αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα.

Στο εξής, όταν λέμε ότι η επιλογή γίνεται στην τύχη θα εννοείται ότι όλα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα.

Το ενδεχόμενο να επιλέξουμε από τα στοιχεία του δειγματικού χώρου Ω αριθμό μικρότερο του 6, είναι το Α = {0, 2, 4} και πραγματοποιείται αν επιλέξουμε 0 ή 2 ή 4, ενώ το ενδεχόμενο να επιλέξουμε αριθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 6 είναι Β = {6, 8} και πραγματοποιείται αν επιλέξουμε 6 ή 8. Βλέπουμε λοιπόν ότι από τους 5 αριθμούς του δειγματικού χώρου Ω, 3 αριθμοί εξασφαλίζουν την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α και 2 αριθμοί εξασφαλίζουν την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου Α είναιεικόνα ή 60% και συμβολίζουμεP(A)=εικόνα ή 60%, ενώ η πιθανότητα της πραγματοποίησης του ενδεχομένου Β είναι P(B)=εικόνα ή 40%. Παρατηρούμε ότι σε κάθε περίπτωση ο αριθ-μητής του κλάσματος είναι το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για την πραγματοποίηση του ενδεχομένου, αφού Ν(Α) = 3 και Ν(Β) = 2, ενώ ο παρονομαστής του κλάσματος είναι το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων του πειράματος, αφού Ν(Ω) = 5.

Γενικά

Σ´ ένα πείραμα τύχης, με ισοπίθανα αποτελέσματα, πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζεται ο αριθμός

εικόνα 

Για παράδειγμα, από ένα κουτί που περιέχει 25 όμοιες μπάλες, από τις οποίες οι 11 είναι πράσινες και οι 14 είναι κόκκινες, αν βγάλουμε στην τύχη μία, τότε οι πιθανότητες των ενδεχομένων Π: Βγάζω πράσινη μπάλα και Κ: Βγάζω κόκκινη μπάλα είναι:

εικονα

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ακόμη ότι:

εικονα

Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Α είναι αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος από το 0 και μικρότερος ή ίσος από το 1, αφού το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων είναι μικρότερο ή ίσο από το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων. Δηλαδή ισχύει:

 0≤ P(A)≤ 1

Μικροπείραμα     Μικροπείραμα 

Βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων
εικόνα

Αν ρίξουμε ένα ζάρι, τότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} του οποίου τα 6 δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα. Έτσι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α = {1, 2} είναι

εικόνα

Γενικά

Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Α' ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α') = 1.

εικονα

Αν τώρα πάρουμε τα ενδεχόμενα Α = {1, 2}, Β = {2, 3, 5} και

προσδιορίσουμε την ένωση και την τομή τους, τότε έχουμε:

Α U Β = {1, 2, 3, 5} και Α ∩ Β = {2}.

εικονα

Γενικά

Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)

Τις προηγούμενες ιδιότητες χρησιμοποιούμε συχνά για να υπολογίσουμε πιθανότητες και γι´ αυτό λέμε ότι αποτελούν βασικούς κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων.

Μικροπείραμα 1    Μικροπείραμα 2    Μικροπείραμα 3    Μικροπείραμα 4 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Επιλέγουμε στην τύχη ένα μήνα του έτους. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: Ο μήνας αρχίζει από Μ.
Β: Ο μήνας είναι θερινός.
Γ: Ο μήνας έχει 31 ημέρες.

 

Λύση

Ο δειγματικός χώρος Ω περιέχει 12 στοιχεία, οπότε το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων είναι Ν(Ω) = 12. Το ενδεχόμενο Α είναι Α ={Μάρτιος, Μάιος}, οπότε το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων για την πραγματοποίησή του είναι Ν(Α) = 2.

εικονα

2
εικονα

Μια ομάδα δίνει δύο αγώνες. Αν η πιθανότητα να κερδίσει τον πρώτο αγώνα είναι 45%, η πιθανότητα να κερδίσει τον δεύτερο αγώνα είναι 60% και η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο αγώνες είναι 27%, να βρεθούν οι πιθα- νότητες των ενδεχομένων:

α) Να μην κερδίσει τον πρώτο αγώνα.

β) Να κερδίσει έναν τουλάχιστον από τους δύο αγώνες.

Λύση

Ονομάζουμε Α το ενδεχόμενο να κερδίσει η ομάδα τον πρώτο αγώνα και ενδεχόμενο να κερδίσει τον δεύτερο αγώνα. Το ενδεχόμενο να κερδίσει και δύο αγώνες είναι Α ∩ Β, οπότε έχουμε:

εικονα

α) Το ενδεχόμενο να μην κερδίσει τον πρώτο αγώνα είναι το συμπλήρωμα του Α, δηλαδή το Α΄. Γνωρί-ζουμε όμως ότι Ρ(Α) + Ρ(Α΄) = 1, οπότε έχουμε:

εικονα

Άρα η πιθανότητα να μην κερδίσει τον πρώτο αγώνα είναι 55%.

β) Το ενδεχόμενο να κερδίσει η ομάδα έναν τουλάχι-στον από τους δύο αγώνες πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β, οπότε είναι το Α U Β.

Γνωρίζουμε όμως ότι Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β), οπότε έχουμε:

εικονα

Άρα η πιθανότητα να κερδίσει έναν τουλάχιστον από τους δύο αγώνες είναι 78%.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Σε ποιο από τα παρακάτω πειράματα τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα;

α) Από ένα κουτί που περιέχει 12 όμοιες μπάλες, από τις οποίες 4 είναι πράσινες, 4 κόκκινες και 4 άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της.

β) Από ένα κουτί που περιέχει 12 όμοιες μπάλες, από τις οποίες 5 είναι πράσινες, 5 κόκκινες και 2 άσπρες, επιλέγουμε μία και σημειώνουμε το χρώμα της.

γ) Από τη λέξη «χαρά» επιλέγουμε ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι.

δ) Από τη λέξη «χώρα» επιλέγουμε ένα γράμμα και σημειώνουμε ποιο είναι.

2

Αν επιλέξουμε τυχαία ένα γράμμα της αλφαβήτου, τότε η πιθανότητα να είναι φωνήεν είναι: Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

εικονα

3

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α)Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α μπορεί να είναι Ρ(Α) = 1,02. Εικόνα
β) Αν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι 80%, τότε γράφουμε Ρ(Α) = 80. Εικόνα
γ) Το βέβαιο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 1 και το αδύνατο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα 0. Εικόνα
δ) Αν η πιθανότητα να βρέξει είναι 32%, τότε η πιθανότητα να μη βρέξει είναι 68%. Εικόνα
4

Αν η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο Α είναι , τότε η πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί το Α είναι:

εικον

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

5

Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουνεικονα Ένας μαθητής υπολόγισε ότι εικοναΕίναι σωστή η απάντησή του; Να αιτιολογήσετε τον ισχυρισμό σας.

Μικροπείραμα 1    Μικροπείραμα 2   

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

Επιλέγουμε στην τύχη έναν ακέραιο αριθμό από το 1 έως και το 13. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι: α) άρτιος β) πολλαπλάσιο του 4;

2

Σε μια κλήρωση υπάρχουν 1200 λαχνοί από τους οποίους κερδίζει ο ένας. Πόσο % πιθανότητα έχει να κερδίσει κάποιος που αγόρασε 6 λαχνούς;

3

Σε μια τράπουλα 52 φύλλων υπάρχουν 12 φιγούρες. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα φύλλο, ποια είναι η πιθανότητα να μην είναι φιγούρα;

4

Σε ένα κουτί υπάρχουν 20 όμοιες μπάλες, από τις οποίες οι 8 είναι γαλάζιες, οι 7 είναι κίτρινες και οι 5 είναι άσπρες. Βγάζουμε στην τύχη μια μπάλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: Η μπάλα να είναι κίτρινη.
Β: Η μπάλα να μην είναι άσπρη.
Γ: Η μπάλα να είναι γαλάζια ή άσπρη.

5
εικονα

Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται η βαθμολογία των 25 μαθητών ενός τμήματος στα Μαθηματικά. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, να βρείτε την πιθανότητα να έχει βαθμό:
α) 15
β) μικρότερο του 14
γ) μεγαλύτερο ή ίσο του 16
δ) 19 ή 20

6

Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη;

7

Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: Φέρνουμε και τις δύο φορές 6.
Β: Φέρνουμε την ίδια ένδειξη και τις δύο φορές.
Γ: Φέρνουμε μία τουλάχιστον φορά 5.

8

Από τους 25 μαθητές μιας τάξης μόνο οι 12 έλυσαν μια άσκηση. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να μην έχει λύσει την άσκηση; Αν ο πρώτος μαθητής που επιλέξαμε δεν έλυσε την άσκηση και από τους υπόλοιπους επιλέξουμε στην τύχη ένα δεύτερο μαθητή, τότε ποια είναι η πιθανότητα να έχει λύσει την άσκηση;

9

Η πιθανότητα να μην πάει κάποιος στο θέατρο είναι τριπλάσια από την πιθανότητα να πάει. Ποια είναι τελικά η πιθανότητα να πάει στο θέατρο;

 

10

Για δύο ενδεχόμενα Α, Β ισχύουν εικόνα. Να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α ∩ Β).

 

11

Ανεικονα να βρείτε την πιθανότητα Ρ(Α ∩ Β).

 

12

Η πιθανότητα να γνωρίζει κάποιος Αγγλικά είναι 42%, να γνωρίζει Γαλλικά είναι 21% και να γνωρίζει και τις δύο γλώσσες είναι 15%. Ποια είναι η πιθανότητα να γνωρίζει μία τουλάχιστον από τις δύο γλώσσες;

 

13

Ο καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους 24 μαθητές ενός τμήματος, 18 είχαν κανόνα, 14 είχαν διαβήτη και 20 είχαν κανόνα ή διαβήτη. Αν επιλέξουμε στην τύχη ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη;

 

εικον

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
1

Δίνονται τα σύνολα Ω = {x ∈ Ν, όπου x < 8}, Α = {x ∈ Ω, όπου x άρτιος} και Β = {x ∈ Ω, όπου x διαιρέτης του 8}.

α) Να γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn.

β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα Α U Β, Α ∩ Β και τα Α΄, Β΄ ως προς βασικό σύνολο Ω.

γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα:

  • να ανήκει στο Α
  • να μην ανήκει στο Β
  • να ανήκει στο Α και στο Β
  • να ανήκει στο Α ή στο Β.
2

Σ´ ένα καταψύκτη υπάρχουν 12 παγωτά, από τα οποία 3 είναι βανίλια, 3 σοκολάτα, 3 φράουλα και 3 φιστίκι. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό με γεύση φράουλας που μόνο αυτό δεν της αρέσει; Δύο μέρες αργότερα 1 παγωτό βανίλια, 2 παγωτά σοκολάτα και 1 παγωτό φράουλα έχουν καταναλωθεί. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να πάρει η Μαρία τυχαία ένα παγωτό που να της αρέσει;

3

Τα 80 παιδιά της Γ΄ τάξης ενός Γυμνασίου επέλεξαν να διδαχτούν μια δεύτερη ξένη γλώσσα ανάμεσα στα Γαλλικά και τα Γερμανικά. Τα 18 από τα 30 αγόρια επέλεξαν τα Γερμανικά, ενώ 36 κορίτσια επέλεξαν τα Γαλλικά.

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

εικονα

β) Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί. Να βρείτε την πιθανότητα:

  • να είναι αγόρι
  • να έχει επιλέξει τα Γερμανικά
  • να είναι αγόρι και να έχει επιλέξει τα Γαλλικά
  • να είναι κορίτσι ή να έχει επιλέξει τα Γερμανικά.
4

Από το σύνολο {25º, 36º, 65º, 92º} που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενός τριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο;

5

Από το σύνολο {8, 12, 16, 20} επιλέγουμε τυχαία τρεις διαφορετικούς αριθμούς. Ποια η πιθανότητα οι τρεις αυτοί αριθμοί να εκφράζουν τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου;

6

Από το σύνολο {1, 2, 3, 4} επιλέγουμε τυχαία δύο αριθμούς τον ένα μετά τον άλλο και με αυτούς σχη-ματίζουμε ένα κλάσμα. Ο πρώτος είναι ο αριθμητής και ο δεύτερος είναι ο παρονομαστής του κλάσμα-τος. Να βρείτε την πιθανότητα ώστε το κλάσμα α) να εκφράζει ακέραιο αριθμό β) να είναι μικρότερο της μονάδας.

7

εικόνα

8

Ο Νίκος ισχυρίζεται ότι, όταν ρίχνουμε δύο ζάρια, η πιθανότητα να έχουν άθροισμα 8 είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να έχουν άθροισμα 7. Είναι σωστός ο ισχυρισμός του;

 

Το τρίγωνο του Πασκάλ και οι Πιθανότητες

Ο Πασκάλ χρησιμοποίησε το αριθμητικό τρίγωνο (τρίγωνο Πασκάλ) προκειμένου να προσδιορίσει το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων κατά τη ρίψη ενός νομίσματος. Για παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα νόμισμα μία, δύο, τρεις φορές, τότε τα δυνατά αποτελέσματα και το πλήθος τους φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

εικόνα

Να βρείτε:

α) Το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων σε 5 ρίψεις του νομίσματος.

β) Την πιθανότητα να φέρουμε την ίδια ένδειξη και τις 5 φορές.

γ) Την πιθανότητα να φέρουμε όλες τις φορές γράμματα, αν ρίξουμε το νόμισμα 6 φορές.

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ − ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Α. ΣΥΝΟΛΑ

  • Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που καθορίζονται με απόλυτη σαφήνεια και διακρίνονται το ένα από το άλλο.
  • Ένα σύνολο μπορεί να παρασταθεί με αναγραφή ή με περιγραφή των στοιχείων του και με το διάγραμμα Venn.
  • Ίσα ονομάζονται δύο σύνολα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.
  • Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β και συμβολίζεται Α ⊆ Β.
  • Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται

εικόνα

  • Ένωση δύο συνόλων Α, Β ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων και συμβολίζεται Α U Β.
  • Τομή δύο συνόλων Α, Β ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία και των δύο συνόλων και συμβολίζεται Α ∩ Β.
  • Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α ως προς ένα βασικό σύνολο Ω ονομάζεται ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται Α΄.

 

 

Β. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ − − ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

  • Πείραμα τύχης ονομάζεται κάθε πείραμα που όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του με απόλυτη βεβαιότητα.
  • Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελε-σμάτων του και συμβολίζεται με Ω.
  • Ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω. Ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται, όταν το αποτέλεσμα του πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο του ενδεχομένου.
  • Βέβαιο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το ενδεχόμενο που πραγματοποιείται σε οποιαδήποτε εκτέλεση του πειράματος.
  • Αδύνατο ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το ενδεχόμενο που δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος.

εικονα

  • Ασυμβίβαστα ονομάζονται δύο ενδεχόμενα Α και Β, όταν Α ∩ Β = ∅.

Γ. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

  • Κλασικός ορισμός της πιθανότητας
    Σ´ ένα πείραμα τύχης με ισοπίθανα αποτελέσματα πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α ονομάζουμε τον αριθμό
    εικονα
    − Για κάθε ενδεχόμενο Α ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει 0 ≤ Ρ(Α) ≤ 1.
    −Ισχύουν Ρ(Ω) = 1 και Ρ(Ø) = 0.
  • Βασικοί κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων
    Σ´ ένα πείραμα τύχης
    − για οποιοδήποτε ενδεχόμενο Α ισχύει Ρ(Α) + Ρ(Α΄) = 1
    − για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ισχύει Ρ(Α U Β) + Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β).