Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
4.2 H συνάρτηση y = αx 2 + βx + γ με α ≠ 0 5.2 Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος

Εικόνα

5.1
Σύνολα
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω την έννοια του συνόλου και πώς παριστάνεται ένα σύνολο
  • Κατανοώ πότε δύο σύνολα είναι ίσα και πότε ένα σύνολο είναι υποσύνολο ενός συνόλου.
  • Μαθαίνω να βρίσκω την ένωση ή την τομή δύο συνόλων καθώς και το συμπλήρωμα ενός συνόλου.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Στην οθόνη ενός υπολογιστή γράψαμε τις λέξεις ελευθερία - ευτυχία.

1. Ποια γράμματα πληκτρολογήσαμε για κάθε λέξη;

2. Ποια είναι τα φωνήεντα και ποια τα σύμφωνα κάθε λέξης;

3. Ποια είναι τα κοινά φωνήεντα των δύο λέξεων;

4. Ποια είναι τα κοινά σύμφωνα των δύο λέξεων;

Η έννοια του συνόλου

Σε πολλές περιπτώσεις συνηθίζουμε να συλλέγουμε ή να επιλέγουμε διάφορα αντικείμενα και να τα ταξινομούμε σε ομάδες ή κατηγορίες. Για παράδειγμα, τα βιβλία μιας βιβλιοθήκης ανάλογα με το περιεχόμενο τους ταξινομούνται σε ιστορικά, λογοτεχνικά, ιατρικά κ.τ.λ. Σε κατηγορίες επίσης, ταξινομούμε τους αριθμούς (φυσικοί, ακέραιοι, ρητοί, άρρητοι, πραγματικοί, θετικοί, αρνητικοί κ.τ.λ.), τα γράμματα της αλφαβήτου (φωνήεντα, σύμφωνα, μικρά, κεφαλαία κ.τ.λ.) και κάθε ομάδα αντικειμένων τα οποία διακρίνονται μεταξύ τους με απόλυτη σαφήνεια. Ομάδες ή κατηγορίες, όπως οι παραπάνω, ονομάζονται στα Μαθηματικά, σύνολα.

Κάθε αντικείμενο που περιέχεται σ´ ένα σύνολο ονομάζεται στοιχείο του συνόλου.

Παράσταση συνόλου

Κάθε σύνολο συμβολίζεται μ´ ένα κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου (Α, Β, Γ, ...) και παριστάνεται με τους εξής τρόπους:

α) Με αναγραφή των στοιχείων του

Γράφουμε μία μόνο φορά καθένα από τα στοιχεία του και με οποιαδήποτε σειρά τα τοποθετούμε ανάμεσα σε δύο άγκιστρα. Π.χ. το σύνολο των γραμμάτων της λέξης ελευθερία είναι Α = {ε, λ, υ, θ, ρ, ι, α}, το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2004 είναι Β = {2, 0, 4}, κ.τ.λ.

Μερικές φορές χρησιμοποιούμε παρόμοιο συμβολισμό για να παραστήσουμε και ένα σύνολο που έχει πολλά ή άπειρα στοιχεία. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε μερικά στοιχεία του και για τα υπόλοιπα, που θα πρέπει να εννοούνται με σαφήνεια, χρησιμοποιούμε αποσιω-πητικά. Π.χ. το σύνολο των μικρών γραμμάτων της Ελληνικής αλφαβήτου είναι Α = {α, β, γ, ..., x, y, ω}, το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι Ν = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.

Στα προηγούμενα παραδείγματα παρατηρούμε ότι το στοιχείο β ανήκει στο σύνολο Α, ενώ δεν ανήκει στο σύνολο Ν. Αυτό συμβολίζεται αντίστοιχα ως εξής:

β ∈ A και β ∉ N

β) Με περιγραφή των στοιχείων του

Το σύνολο Α = {0, 2, 4, 6, 8, …}, που έχει ως στοιχεία τους άρτιους φυσικούς αριθμούς, μπορούμε να το παραστήσουμε και ως εξής:

Α = {άρτιοι φυσικοί αριθμοί} ή Α = {x N, όπου x άρτιος αριθμός}

Στην προηγούμενη περίπτωση λέμε ότι παριστάνουμε το σύνολο με περιγραφή των στοιχείων του.

εικονα

γ) Με διάγραμμα Venn

Ένα σύνολο μπορούμε να το παραστήσουμε εποπτικά και με το εσωτερικό μιας κλειστής γραμμής. Π.χ. το σύνολο των φωνηέντων της Ελληνικής αλφαβήτου φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα, το οποίο ονομάζεται διάγραμμα Venn.

Ίσα σύνολα

Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {α, ε, ι, υ} και Β = {φωνήεντα της λέξης ευτυχία}, παρατηρούμε ότι το σύνολο Β με αναγραφή των στοιχείων του γράφεται Β = {ε, υ, ι, α} και έχει τα ίδια ακριβώς στοιχεία με το σύνολο Α. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα σύνολα Α, Β είναι ίσα και γράφουμε Α = Β.

Γενικά

Δύο σύνολα είναι ίσα, όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.

Υποσύνολο συνόλου
εικόνα

Αν πάρουμε τα σύνολα

Α = {α, ε, ι, υ} και Β = {ε, λ, υ, θ, ρ, ι, α},

παρατηρούμε ότι κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β.Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β και το συμβολίζουμε Α Β.

Γενικά

Ένα σύνολο Α ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.

Άμεσες συνέπειες του προηγούμενου ορισμού είναι και οι προτάσεις:

− Για κάθε σύνολο Α ισχύει A ⊆ Α.

− Αν A ⊆ Β και Β ⊆ Γ, τότε A ⊆ Γ.

Οι γνωστοί μας αριθμοί και τα αντίστοιχα σύνολά τους συμβολίζονται ως εξής:

εικονα

Φυσικοί αριθμοί Ν = {0, 1, 2, 3, 4, …}

Ακέραιοι αριθμοί Ζ = {… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Ρητοί αριθμοί Q = { , όπου α, β ακέραιοι, με β ≠ θ}

Πραγματικοί αριθμοί R = {ρητοί ή άρρητοι αριθμοί}

 

Τα σύνολα με τα οποία ασχολούμαστε κάθε φορά είναι συνήθως υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου, που ονομάζεται βασικό σύνολο. Αυτό παριστάνεται με το εσωτερικό ενός ορθογωνίου και συμβολίζεται με Ω. Π.χ. με βασικό σύνολο Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} μπορούμε να δημιουργήσουμε διάφορα υποσύνολά του, όπως A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} κ.τ.λ.

Κενό σύνολο

Το σύνολο Α = {ημέρα της εβδομάδας που αρχίζει από Μ} δεν περιέχει κανένα στοιχείο, αφού δεν υπάρχει ημέρα της εβδομάδας που να αρχίζει από Μ. Στην περίπτωση αυτή το σύνολο Α ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται∅.

Γενικά

Κενό σύνολο ονομάζεται το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ∅ .

Δεχόμαστε ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.

Κενό σύνολο

α) Ένωση συνόλων

Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {1, 2, 3}, Β = {2, 3, 4, 5}, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται ένωση των συνόλων Α και Β και συμβολίζεται Α U Β.

Άρα Α U Β = {1, 2, 3, 4, 5}.

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι ένα στοιχείο ανήκει στην ένωση δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει στο σύνολο Α ή στο σύνολο Β, δηλαδή αν ανήκει σ´ ένα τουλάχιστον από αυτά.

β) Τομή συνόλων

εικονα

Αν πάρουμε τα σύνολα Α = {1, 2, 3}, Β = {2, 3, 4, 5}, τότε μπορούμε να σχηματίσουμε ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά στοιχεία των δύο συνόλων. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται τομή των συνόλων Α, Β και συμβολίζεται Α ∩ Β. Άρα

Α ∩ Β = {2, 3}.

Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι ένα στοιχείο ανήκει στην τομή δύο συνόλων Α, Β, αν ανήκει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β.

 

γ) Συμπλήρωμα συνόλου

εικονα

Αν πάρουμε το σύνολο Α = {1, 2, 3, 4} και ως βασικό σύνολο Ω θεωρήσουμε το σύνο- λο Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, τότε μπορούμε να σχηματίσου με ένα νέο σύνολο που έχει ως στοιχεία όλα τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α. Το νέο αυτό σύνολο ονομάζεται συμπλήρωμα του Α ως προς το Ω και συμβολίζεται Α΄. Άρα

Α΄ = {0, 5, 6, 7, 8, 9}.

Όπως φαίνεται και από το παρακάτω διάγραμμα Venn, ισχύουν:

A U A΄ = Ω και Α ∩ Α΄ = Ø

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: Α = {x ∈ Z, όπου -3 ≤ x < 2}, Β = {περιττοί φυσικοί αριθμοί} και Γ = {x ∈ R, όπου x3 = x}.

 

Λύση

Τα στοιχεία του συνόλου Α είναι οι ακέραιοι αριθμοί x, για τους οποίους ισχύει -3 ≤ x < 2, οπότε Α = {-3, -2, -1, 0, 1}.

Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι οι περιττοί φυσικοί αριθμοί, οπότε Β = {1, 3, 5, 7, …}.

Τα στοιχεία του συνόλου Γ είναι οι λύσεις της εξίσωσης x3 = x ή x3 - x = 0 ή x(x2 - 1) = 0 ή x(x - 1)(x + 1) = 0.

Άρα x = 0 ή x = -1 ή x = 0, οπότε Γ ={-1, 0, 1}.

2

Με βασικό σύνολο Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} θεωρούμε τα σύνολα Α = {x ∈ Ω, όπου x άρτιος} και Β = {x∈ Ω, όπου x ψηφίο του αριθμού 1821}.

α) Να παρασταθούν τα σύνολα Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να γίνει το διάγραμμα Venn.

β) Να προσδιοριστούν τα σύνολα Α U Β, Α ∩ Β, Α΄ και Β΄.

γ) Να επαληθευτεί ότι (Α U Β)΄ = Α΄ ∩ Β΄ και (Α ∩ Β)΄ = Α΄ U Β΄.

Λύση

εικόνα

α) Τα σύνολα Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους είναι:

Α = {0, 2, 4, 6, 8} και Β = {1, 8, 2}.

Το διάγραμμα Venn φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

β) Έχουμε ότι:

Α U Β = {0, 1, 2, 4, 6, 8}, Α ∩ Β = {2, 8},

Α΄ = {1, 3, 5, 7, 9} και Β΄ = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

γ) Επειδή Α ∩ Β = {0, 1, 2, 4, 6, 8}, έχουμε ότι (Α U Β)΄ = {3, 5, 7, 9}. Επίσης

Α΄ ∩ Β΄ = {3, 5, 7, 9}, οπότε (Α U Β)΄ = Α΄ η Β΄.

Επειδή Α ∩ Β = {2, 8}, έχουμε ότι (Α ∩ Β)΄ = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. Επίσης

Α΄ U Β΄ = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}, οπότε (Α ∩ Β)΄ = Α΄ U Β΄.

3

Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:

A = ( −2)2 · ( −3) + 2 · 32 − 52 · ( −2) : 5 − 6   B = (2 · 5 − 32) + 2 · (23 − 4) − 12 : ( −3)

Λύση

H προτεραιότητα των πράξεων

  • Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.
  • Στη συνέχεια κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις.
  • Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις.
  • Όταν η παράσταση περιέχει και παρενθέσεις, εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που αναφέραμε παραπάνω.

Α = ( −2)2 · ( −3) + 2 · 32 − 52 · ( −2) : 5 − 6  =     
= 4 · ( −3) + 2 · 9 −25 · ( −2) : 5 − 6 =
= −12 + 18 + 50 : 5 − 6 =
= −12 + 18 + 10 − 6 =
= 10

Β = (2 · 5 − 32) + 2 · (23 − 4) − 12 : ( −3) =
= (2 · 5 − 9) + 2 · (8 − 4) − 12 : ( −3) =
= 10 − 9 + 2 · 4 − 12 : ( −3) =
= 1 + 8 + 4 =
= 9 + 4 =
= 13

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) Τα σύνολα Α = {1, 2, 3} και Β = {3, 2, 1} είναι ίσα. Εικόνα
β) Τα σύνολα Α = {6, 7} και Β = {67} είναι ίσα. Εικόνα
γ) Αν Α = {α, β} και Β = {α, γ, δ, ε}, τότε Α ⊆ Β. Εικόνα
δ) Το σύνολο Α = {x ∈ R, όπου 0x = 2} είναι το κενό σύνολο. Εικόνα
ε) Α U Α΄ = Ω. Εικόνα
στ) Α ∩ Α΄ = ∅. Εικόνα
2

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοι-χίζοντας σε κάθε σύνολο της στήλης Α, το ίσο του σύνολο από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β
    1. {0, 1, 2}
α. {x  ∈   R, όπου x2 = 4} 2.
β. {x   ∈   Ν, όπου x2 = 4} 3. {-2, 2}
γ. {x    ∈  Ζ, όπου 3x = 4} 4.  {2}
δ. {x  ∈    Ν, όπου x < 2} 5. {1, 2}
α β γ δ
       
3

Από το διάγραμμα Venn του παρακάτω σχήματος να προσδιορίσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

εικόνα

Ω = ……………………………………

Α = ……………… Β = ………………

Α΄ = …………….. Β΄ = ……………..

Α U Β = ………… Α U Β = ………… .

4

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοι-χίζοντας σε κάθε σύνολο της στήλης Α, το ίσο του σύνολο από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β
    1. {α, β, γ, δ, ε}
α. {β} 2.
β. {α, β, ε} 3. {β, γ, ε}
γ. {α, β, γ, δ, ε} 4. {α, δ}
δ. {γράμματα της λέξης δάδα} 5. {α, γ, δ, ε}
ε. 6. {γ, δ}
α β γ ε δ
         
5

Με βάση το παρακάτω διάγραμμα Venn να καθορίσετε το χρώμα ή τα χρώματα των παρακάτω συνόλων:

εικόν

α) Α U Β:………………………………

β) Α ∩ Β: ………………………………

γ) Α΄:………………………………

δ) Β΄:………………………………

ε) (Α U Β)΄: ………………………………

στ) (Α ∩ Β)΄: ………………………………

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

1 Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

α) Α = {x ∈ R, όπου x2 = 25}

β) Α = {x ∈ N, όπου x2 = 25}

γ) Γ = {x ∈ Ζ, όπου -2 < x < 4}

δ) Δ = {x ∈ Ν, όπου x διαιρέτης του 12}

2

Ποιο από τα σύνολα Α = {0, 2, 4}, Β = {-1, 0}, Γ = {1, 2, 3}, Δ = {(1, 2), (4, 5)} είναι υποσύνολο του συνόλου Κ = {0, 1, 2, 3, 4, 5} και ποιο είναι ίσο με το σύνολο Λ = {άρτιοι φυσικοί αριθμοί μικρότεροι του 6} ή με το σύνολο Μ = {x ∈ R, όπου x2 + x = 0};

3

Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο:

Α = {ψηφία του αριθμού 2123}

και να βρείτε όλα τα υποσύνολά του.

Μικροπείραμα

4

Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων του το σύνολο:

Α = {(x, y), όπου x, y∈ N και x + y = 4}

5

Να παραστήσετε με περιγραφή των στοιχείων τους τα παρακάτω σύνολα:

α) Α = {1, 3, 5, 7, 9, ...}

β) Β = {ι, σ, τ, ο, ρ, α}

γ) Γ = {0, 2}

6

Με βασικό σύνολο Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, θεωρούμε τα σύνολα Α = {1, 2, 4, 5} και Β = {2, 4, 6}. Να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn και να προσδιορίσετε τα σύνολα:

α) Α U Β

β) Α ∩ Β

γ) Α΄

δ) Β΄

Μικροπείραμα

7

Δίνονται τα σύνολα:

Α = {γράμματα της λέξης άλγεβρα},

Β = {γράμματα της λέξης φρεγάτα} και

Γ = {γράμματα της λέξης ελάφι}.

α) Να γράψετε τα σύνολα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn.

β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα Β U Γ, Α ∩ Β, Α ∩ Γ.

γ) Να επαληθεύσετε ότι Α ∩ (Β U Γ) = (Α ∩ Β) U (Α ∩ Γ).

Μικροπείραμα

8

Θεωρούμε τα σύνολα:

Α = {θεατές της τελετής έναρξης των Ολυμπιακών Αγώνων του 2004}.

Β = {θεατές της τελετής λήξης των Ολυμπιακών Αγώνων του 2004}.

Σε ποιο σύνολο ανήκει εκείνος που:

α) Παρακολούθησε και τις δύο τελετές.

β) Παρακολούθησε μία τουλάχιστον τελετή.

γ) Παρακολούθησε την τελετή έναρξης και όχι την τελετή λήξης.

δ) Δεν παρακολούθησε την τελετή έναρξης αλλά ούτε και την τελετή λήξης.

9

Δίνονται τα σύνολα Α = {αθλητές στίβου} και Β = {φοιτητές Πανεπιστημίου} Τι συμπεραίνετε για εκείνον που ανήκει στο σύνολο:

α) Α U Β

β) Α ∩ Β

γ) Α΄

δ) Β΄

ε) Α ∩ Β΄

στ) Α΄ ∩ Β

ζ) Α΄ ∩ Β΄