• Θυμάμαι τι ονομάζεται συνάρτηση και τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
• Μαθαίνω να σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx² με α ≠ 0.
• Μαθαίνω να βρίσκω τον τύπο της συνάρτησης y = αx² από τη γραφική της παράσταση.

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε ότι μια ισότητα που συνδέει δύο μεταβλητές x, y καθορίζει μια διαδικασία, η οποία είναι συνάρτηση, όταν σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μια μόνο τιμή του y. Για παράδειγμα, η ισότητα y = x² καθορίζει μια συνάρτηση, αφού σε κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή του y.

Π.χ. Για x = 1 έχουμε y = 1² = 1,

για x = 2 έχουμε y = 2² = 4 κ.τ.λ.

Σ´ ένα σύστημα αξόνων, αν παραστήσουμε με σημεία τα ζεύγη (x, y), όπου y είναι η αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης για μια τιμή του x, τότε το σύνολο αυτών των σημείων αποτελεί τη γραφική παράστασή της.

Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x² κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της για διάφορες τιμές του x

.

Σ´ ένα σύστημα αξόνων παριστάνουμε με σημεία τα ζεύγη του προηγούμενου πίνακα και σχεδιάζουμε την καμπύλη που διέρχεται από τα σημεία αυτά. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται παραβολή και είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x².

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι:

− Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) και βρίσκεται από τον άξονα x΄x και πάνω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y ≥ 0.
− H συνάρτηση y = x² παίρνει ελάχιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.
− Για x = -3 ή x = 3 έχουμε y = 9 και τα σημεία (-3, 9) και (3, 9) της παραβολής είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y.Γενικά σε αντίθετες τιμές του x αντιστοιχεί η ίδια τιμή του y, που σημαίνει ότι η παραβολή y = x² έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Με τον ίδιο τρόπο σχεδιάζουμε και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης
y = -x², η οποία είναι επίσης μια παραβολή.

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι:

− Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) και βρίσκεται από τον άξονα x΄x και κάτω, που σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τιμή του x ισχύει y 0.

− H συνάρτηση y = -x² παίρνει μέγιστη τιμή y = 0, όταν x = 0.

− Σε αντίθετες τιμές του x αντιστοιχεί η ίδια τιμή του y, που σημαίνει ότι η παραβολή y = -x² έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Στα παρακάτω σχήματα έχουμε σχεδιάσει την παραβολή y = αx² για διάφορες τιμές του αριθμού α. Παρατηρούμε ότι:

α) Ο συντελεστής α δεν καθορίζει μόνο τη θέση της παραβολής y = αx² ως προς τον άξονα x΄x, αλλά καθορίζει και το «άνοιγμα» της. Όταν η απόλυτη τιμή του α αυξάνεται, τότε η παραβολή «κλείνει».

 

 

 

 

β) Αν σχεδιάσουμε τις παραβολές y = 2x² και y = -2x² στο ίδιο σύστημα αξόνων, τότε παρατηρούμε ότι είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον x΄x.

Γενικά:

Οι παραβολές y = αx² και y = -αx² είναι συμμετρικές ως προς άξονα συμμετρίας τον x΄x.

Λύση

Λύση

Σχηματίζουμε πίνακα τιμών της συνάρτησης y = -2x².

Με τη βοήθεια των τιμών αυτών σχεδιάζουμε την παραβολή. Από τη γραφική παράσταση προκύπτει ότι, για όλες τις τιμές του x, από το -2 έως και το 2 (-2 ≤ x ≤2) οι αντίστοιχες τιμές του y είναι από το -8 έως και το 0 (-8 ≤ y ≤ 0). Άρα, η μέγιστη τιμή του y είναι το 0, όταν x = 0 και η ελάχιστη τιμή του y είναι το -8, όταν x = -2   ή   x = 2.
Για $y = - \dfrac{9}{2}$ έχουμε:
$-\dfrac{9}{2}$ = $-2x^2$   ή   $x^2 = \dfrac{9}{4}$, οπότε    $x = \pm \dfrac{3}{2}$.
Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα $\left(-\dfrac{3}{2} , -\dfrac{9}{2}\right)$ και $\left(\dfrac{3}{2} , -\dfrac{9}{2}\right)$.
Τα σημεία αυτά μπορούν να βρεθούν και από τη γραφική παράσταση, αφού είναι τα κοινά σημεία της ευθείας ε : $y = -\dfrac{9}{2}$ και της παραβολής $y = –2x^2$.

Λύση

Το διάστημα S για g = 10 m/sec² δίνεται από τον

τύπο

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης S = 5t² είναι παραβολή με κορυφή το σημείο 0(0, 0) και διέρχεται από τα σημεία (1, 5), (2, 20) κ.τ.λ.

Ο χρόνος όμως δεν παίρνει αρνητικές τιμές, οπότε το διάγραμμα του διαστήματος - χρόνου είναι το τμήμα της προηγούμενης παραβολής που βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο.

Μικροπείραμα     Μικροπείραμα