Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
2.5 Ανισότητες - Ανισώσεις με έναν άγνωστο 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
εικόνα
3.1
Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους και πώς παριστάνεται γραφικά.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Αν στο διπλάσιο ενός αριθμού x προσθέσουμε έναν αριθμό y, βρίσκουμε άθροισμα 6.

α) Να βρείτε ποια σχέση συνδέει τους αριθμούς x και y.

β) Ποια από τα ζεύγη (-1, 8), (0, 6), (-2, 7), (2, 2) (3, 0), (3, 5) επαληθεύουν την προηγούμενη σχέση;

γ) Σ´ένα σύστημα αξόνων να παραστήσετε με σημεία όσα από τα προηγούμενα ζεύγη επαληθεύουν τη σχέση. Με τη βοήθεια ενός χάρακα να εξετάσετε αν όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία ε.

δ) Πάνω στην ευθεία ε να πάρετε ένα οποιοδήποτε σημείο Μ και να εξετάσετε αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τη σχέση.


Μικροπείραμα 

Η εξίσωση αx + βy = γ

Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε εξίσωση με δύο αγνώστους x, y και η οποία είναι της μορφής αx + βy = γ.

Για παράδειγμα, η εξίσωση 2x + y = 6 είναι της μορφής αυτής, με α = 2, β = 1 και γ = 6. Παρατηρούμε ότι για x = 1 και y = 4 η εξίσωση 2x + y = 6 επαληθεύεται, αφού 2·1 + 4 = 6, ενώ για x = 3 και y = 5 δεν επαληθεύεται, αφού 2·3 + 5 = 11 ≠ 6. Το ζεύγος των αριθμών (1, 4) που επαληθεύει την εξίσωση 2x + y = 6, λέμε ότι είναι μία λύση της.

Γενικά

Λύση μιας εξίσωσης αx + βy = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) που την επαληθεύει.

Η εξίσωση όμως 2x + y = 6 δεν έχει λύση μόνο το ζεύγος (1, 4), αλλά έχει άπειρες λύσεις. Πράγματι, για οποιαδήποτε τιμή του x μπορούμε να προσδιορίσουμε την αντίστοιχη τιμή του y, ώστε το ζεύγος (x, y) να είναι λύση της και έτσι να σχηματίσουμε έναν πίνακα τιμών.

x -1 0 2 3
y 8 6 2 0

Για x = -1 έχουμε 2·(-1) + y = 6, οπότε y = 8.

Για x = 0 έχουμε 2·0 + y = 6, οπότε y = 6.

Για x = 2 έχουμε 2·2 + y = 6, οπότε y = 2.

Για x = 3 έχουμε 2·3 + y = 6, οπότε y = 0 κ.τ.λ.

Άρα τα ζεύγη (-1, 8), (0, 6), (2, 2), (3, 0), … είναι λύσεις της εξίσωσης 2x + y = 6.

εικόνα

Αν σ´ένα σύστημα αξό-νων προσδιορίσουμε τα σημεία που καθένα έχει συντεταγμένες μια λύση της εξίσωσης 2x + y = 6, παρατηρούμε ότι αυτά βρίσκονται σε μια ευθεία ε.

Αντιστρόφως, αν πάρουμε ένα οποιοδήποτε σημείο της ευθείας ε, π.χ. το Μ(4, -2), παρατηρούμε ότι οι συν-τεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση 2x + y = 6, αφού 2·4 + (-2) = 6. Άρα κάθε σημείο της ευθείας ε έχει συντεταγμένες (x, y) που είναι λύση της παραπάνω εξίσωσης.

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η εξίσωση 2x + y = 6 παριστάνει την ευθεία ε και συμβολίζεται ε: 2x + y = 6.

Μικροπείραμα 

Γενικά
  • Αν ένα σημείο ανήκει σε μια ευθεία, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.
  • Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μιας ευθείας, τότε το σημείο ανήκει στην ευθεία αυτή.
Ειδικές περιπτώσεις

Μικροπείραμα 

Η εξίσωση y = k.

εικόνα

Αν θεωρήσουμε την εξίσωση 0x + 2y = 6, που είναι της μορφής αx + βy = γ με α = 0, τότε μπορούμε να διαπιστώ- σουμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του x έχουμε y = 3.

Για παράδειγμα, τα ζεύγη (-1, 3), (1, 3), (3, 3), κ.τ.λ. είναι λύσεις της.

Επομένως, η εξίσωση 0x + 2y = 6 παριστάνει μια ευθεία ε της οποίας όλα τα σημεία έχουν την ίδια τεταγμένη y = 3 και τετμημένη οποιονδήποτε αριθμό. Άρα η ε είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x που τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0, 3). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία ε έχει εξίσωση y = 3

Γενικά

H εξίσωση y = k με k≠ 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0, k), ενώ η εξίσωση y = 0 παριστάνει τον άξονα x΄x

εικόνα

Η εξίσωση x = k

Av θεωρήσουμε την εξίσωση 3x + 0y = 6, που είναι της μορφής αx+βy = γ με β = 0, τότε μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι για οποιαδήποτε τιμή του y έχουμε x = 2. Για παράδειγμα, τα ζεύγη (2, -2), (2, 1), (2, 3), κ.τ.λ. είναι λύσεις της.

Επομένως, η εξίσωση 3x + 0y = 6 παριστάνει μια ευθεία ε της οποίας όλα τα σημεία έχουν την ίδια τετμη-μένη x = 2 και τεταγμένη οποιονδή-ποτε αριθμό. Άρα η ε είναι μια ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y που τέμ-νει τον άξονα x΄x στο σημείο (2, 0).

Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η ευθεία ε έχει εξίσωση x = 2.

 

 

 

Γενικά

H εξίσωση x = k με k ≠ 0 παριστάνει μια ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο (k, 0), ενώ η εξίσωση x = 0 παριστάνει τον άξονα y΄y

Η εξίσωση αx + βy = γ με α = β = 0k

εικόνα
  • Η εξίσωση 0x + 0y = 7 δεν παριστάνει ευθεία, αφού κανένα ζεύγος αριθμών (x, y) δεν είναι λύση της (αδύνατη εξίσωση).
  • Η εξίσωση 0x + 0y = 0 επαληθεύεται για κάθε ζεύγος αριθμών (x, y). Για παράδειγμα, τα ζεύγη (-1, 0), (0, 1), (2, 1), (2, 2), κ.τ.λ. είναι λύσεις της (αόριστη εξίσωση). Τα σημεία όμως, που οι συντεταγμένες τους είναι λύσεις της εξίσωσης δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Άρα η εξίσωση 0x + 0y = 0 δεν παριστάνει ευθεία, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα.

 

 

Εξισώσεις, όπως οι 2x + y = 6, 0x + 2y = 6, 3x + 0y = 6, 0x + 0y = 7, 0x + 0y = 0, ονομάζονται γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους x, y. Όπως διαπιστώσαμε στα προηγούμενα παραδείγματα μόνο οι τρεις πρώτες παριστάνουν ευθεία. Στις εξισώσεις αυτές ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές των x,y είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Γενικά

Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ και παριστάνει ευθεία όταν α ≠ 0 ή β ≠ 0.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

α) Να σχεδιαστεί η ευθεία ε : 2x - 3y = 12.

β) Ένα σημείο Μ έχει τεταγμένη -2. Ποια πρέπει να είναι η τετμημένη του, ώστε το σημείο ν´ανήκει στην ευθεία ε;

Λύση

εικόνα

α) Για να σχεδιάσουμε την ευθεία
ε : 2x - 3y = 12 αρκεί να προσδιορίσουμε δύο σημεία της.
Για x = 0 έχουμε -3y =12, οπότε y = -4.
Για y = 0 έχουμε 2x = 12, οπότε x = 6.
Άρα η εξίσωση 2x - 3y = 12 παριστάνει ευθεία
ε που διέρχεται από τα σημεία Α(0, -4) και Β(6, 0).

β) Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε, αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της. Αφού το σημείο Μ έχει τεταγμένη y = -2 για την τετμημένη του x πρέπει να ισχύει 2x - 3(-2) = 12 ή 2x + 6 = 12 ή 2x = 6 ή x = 3. Άρα η τετμημένη του Μ είναι x = 3.

Μικροπείραμα     Μικροπείραμα 

2

Αν η ευθεία ε : αx - y = 1 διέρχεται από το σημείο Α(2, 5), τότε να προσδιοριστεί η τιμή του α και στη συνέχεια να βρεθούν τα κοινά σημεία της ε με τους άξονες.

Μικροπείραμα 

Λύση

Η ευθεία ε : αx - y = 1 διέρχεται από το σημείο Α(2, 5), οπότε οι συντεταγμένες του σημείου Α επαληθεύουν την εξίσωση αx - y = 1. Άρα έχουμε 2α - 5 = 1 ή 2α = 6 ή α = 3. Επομένως η ευθεία ε έχει εξίσωση 3x - y = 1.

Για x = 0 έχουμε 3·0 - y = = 1 ή -y = 1 ή y = -1, δηλαδή η ευθεία ε τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο (0, -1).

Για y = 0 έχουμε 3x - 0 = 1 ή 3x = 1 ή εικονα , δηλαδή η ευθεία ε τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο (εικόνα , 0).

3
εικόνα

Η περίμετρος του διπλανού σχήματος είναι 40 m.

α) Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τα x, y.

β) Αν η ελάχιστη τιμή του y είναι 10 m, ποια είναι η μέγιστη τιμή του x;

Μικροπείραμα 

Λύση

α) Η περίμετρος του σχήματος είναι 5x + y + 3x + y, άρα ισχύει

5x + y + 3x + y = 40 ή 8x + 2y = 40 ή 4x + y = 20 (1).

β) Αν η ελάχιστη τιμή του y είναι 10 m, τότε η μεταβλητή y παίρνει τιμές από 10 και πάνω, δηλαδή ισχύει y ≥ 10. Από την ισότητα (1) έχουμε y = 20 - 4x, οπότε πρέπει 20 - 4x ≥ 10 ή -4x ≥ 10 - 20 ή -4x ≥ -10 ή x ≤ 2,5. Άρα η μεταβλητή x παίρνει τιμές από 2,5 και κάτω, οπότε η μέγιστη τιμή της είναι 2,5 m.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Ποια από τα ζεύγη (3, 2), (1, 5), (0, 6), (-3, 10), (-2, 8) είναι λύσεις της εξίσωσης 4x + 3y = 18;

Μικροπείραμα 

2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Το σημείο (3, -2) ανήκει στην ευθεία ε : 3x - y = 7. Εικόνα
β) H ευθεία ε : 5x + y = -10 τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο (-2, 0). Εικόνα
γ) Η ευθεία ε : 2x + 5y = 0 διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Εικόνα
δ) H ευθεία ε : 3x + y = 6 τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο (0, 3). Εικόνα
3

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ευθεία ε των παρακάτω σχημάτων μία από τις εξισώσεις:

εικόνα 

4

Οι ευθείες δ1, δ2 διχοτομούν τις γωνίες των αξόνων. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

εικόνα

i) Η εξίσωση της δ1 είναι:
α) x = 1 β) y = 1 γ) y = x δ) y = -x

ii) Η εξίσωση της δ2 είναι:
α) x = -1 β) y = -1 γ) y = x δ) y = -x

5

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.

i) H ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4, -3) και είναι παράλληλη στον άξονα x΄x έχει εξίσωση:

α) y = 4   β) x = 4   γ) x = -3   δ) y = -3   ε) 4x - 3y = 0

ii) H ευθεία που διέρχεται από το σημείο (4, -2) και είναι παράλληλη στον άξονα y΄y έχει εξίσωση:

α) y = 4   β) x = 4   γ) x = -2   δ) y = -2 ε) 4x - 2y = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις ευθείες:

α) ε1 : 2x - y = 2

β) ε2 : -4x + 2y = 10 γ) ε3: 10x - 5y = 20 Τι παρατηρείτε;

2

Δίνεται η ευθεία ε : 6x + 2y = 8 - 2λ

α) Να βρείτε τον αριθμό λ, ώστε η ευθεία ε να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

β) Για λ = 4 να σχεδιάσετε την ευθεία ε.

Μικροπείραμα 

3

Αν η ευθεία ε : 4x + 3y = 12 τέμνει τους άξονες x΄ και y΄y στα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε:

α) Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων.

Μικροπείραμα 

4

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες ε1 : 2x = -4, ε2 : 3y = 6 και να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου

. β) Ποια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από το προηγούμενο σημείο; ζ1 : 2x - y = 6, ζ2 : 3x + y = 10 και ζ3 : -5x + 3y = 16

5

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να σχεδιάσετε τις ευθείες με εξισώσεις: x = -1, x = 5, y = -2 και y = 3

β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου που σχηματίζεται.

Μικροπείραμα 

6

α) Να βρείτε την τιμή του λ, ώστε η εξίσωση (λ - 2)x +(λ - 1)y = 6 να παριστάνει ευθεία που είναι:

α) παράλληλη στον άξονα x΄x

β) παράλληλη στον άξονα y΄y.

Να σχεδιάσετε την αντίστοιχη ευθεία σε κάθε περίπτωση.

Μικροπείραμα 

7
εικόνα

Κάποιος περπάτησε από το σημείο Α στο σημείο Β με ταχύτητα 4 km/h και μετά κολύμπησε με ταχύ- τητα 2 km/h μέχρι να φτάσει στο σημείο Γ. Αν ο συνολικός χρόνος που μεσολάβησε μέχρι να φτάσει στο σημείο Γ είναι μια ώρα, τότε: α) Να βρείτε τη γραμμική εξίσωση με την οποία συνδέονται οι αποστάσεις x, y. β) Αν περπάτησε 3 km, πόσο χρόνο κολύμπησε;

8

Σ´ένα ξενώνα υπάρχουν x δίκλινα και y τρίκλινα δωμάτια. Αν ο ξενώνας έχει συνολικά 25 κρεβάτια, τότε να βρείτε τη γραμμική εξίσωση που συνδέει τα x, y. Να χαράξετε σε τετραγωνισμένο χαρτί την αντίστοιχη ευθεία και από το σχήμα να διαπιστώσετε πόσα δίκλινα και πόσα τρίκλινα δωμάτια είναι δυνατό να έχει ο ξενώνας.

Μικροπείραμα