Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων 2.2 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
exofyllo
2.1
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις − συμπληρώσεις)
Εικόνα
Εικόνα
  • Θυμάμαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθμού.
  • Αναγνωρίζω αν μια εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα.
Ιδιότητες των ριζών
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
εικόνα

Ένας ταχυδρόμος ξεκινάει από το χωριό Α και αφού επισκεφθεί διαδοχικά τα χωριά Β και Γ, επιστρέφει στο χωριό Α. Η διαδρομή ΒΓ είναι 1 km μεγαλύτερη από την ΑΒ και η ΓΑ είναι 1 km μεγαλύτερη από τη ΒΓ. Μπορείτε να υπολογίσετε πόσο απέχουν τα χωριά μεταξύ τους, αν γνωρίζετε ότι η συνολική απόσταση που διήνυσε ο ταχυδρόμος ήταν:

α) 15 km;

β) το τριπλάσιο της πρώτης διαδρομής;

γ) το τριπλάσιο της δεύτερης διαδρομής;

Στην προηγούμενη τάξη μάθαμε να λύνουμε εξισώσεις, όπως 3x = 12, -4y + 11 = 0, κ.τ.λ. Στις εξισώσεις αυτές υπάρχει ένας άγνωστος και ο μεγαλύτερος εκθέτης του αγνώστου είναι ο αριθμός 1. Σε καθεμιά από τις προη-γούμενες περιπτώσεις λέμε ότι έχουμε εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο (πρωτοβάθμια εξίσωση).

Η εξίσωση 3x = 12, της οποίας ο συντελεστής του αγνώστου είναι διάφορος του μηδενός επαληθεύεται για μία μόνο τιμή του αγνώστου, την x = 4. O αριθμός 4, που επαληθεύει την εξίσωση 3x = 12, ονομάζεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης.

Υπάρχουν όμως και εξισώσεις, όπως οι 0x = -3 ή 0x = 0, στις οποίες ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν.

Η εξίσωση 0x = -3 δεν επαληθεύεται για καμιά τιμή του x, αφού το γινόμενο 0x είναι πάντοτε ίσο με το μηδέν και δεν είναι δυνατόν να είναι ίσο με -3. Μια τέτοια εξίσωση, που δεν έχει λύση, ονομάζεται αδύνατη.

Η εξίσωση όμως, 0x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ονομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε ότι:

  • Αν α ≠ 0, τότε; η εξίσωση αx + β = 0 έχει μοναδική λύση τηνεικόνα
  • Αν α = 0, τότε η εξίσωση αx + β = 0 γράφεται 0x = -β και
    - αν β ≠ 0, δεν έχει λύση (αδύνατη), ενώ
    - αν β = 0, κάθε αριθμός είναι λύση της (ταυτότητα ή αόριστη)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

 1   Να λυθεί η εξίσωση: εικόνα

 

Λύση

  • Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.
  • Απαλείφουμε τους παρονομαστές.
  • Κάνουμε τις πράξεις και βγάζουμε τις παρενθέσεις.
  • Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους.
  • Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
  • Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με το συντελεστή του αγνώστου.

εικόνα

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση την x = - 2

2

Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3(x + 2) - 3 = 3x + 5 β) 2(x - 1) - x = x - 2

 

Λύση

α) 3(x + 2) - 3 = 3x + 5
3x + 6 - 3 = 3x + 5
3x - 3x = 5 - 6 + 3
0x = 2 0x = 0

H εξίσωση αυτή δε
επαληθεύεται για καμία τιμή
του x, οπότε είναι αδύνατη.

β) 2(x - 1) - x = x - 2
2x - 2 - x = x - 2
2x - x - x = 2 - 2
0x = 0

Η εξίσωση αυτή επαληθεύεται
για κάθε τιμή του x, οπότε είναι ταυτότητα.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

1 Να αντιστοιχίσετε σε κάθε εξίσωση της στή- λης Α το σωστό συμπέρασμα από τη στήλη Β

Στήλη Α Στήλη Β
α. 3x = 7 1. Έχει μοναδική λύση
β. 0x = 0 2. Είναι αδύνατη
γ. 0x = 5 3. Είναι ταυτότητα
δ. 5x = 0    
α β γ
     
2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

α) Η εξίσωση   εικόνα             έχει λύση   την x = 6. Εικόνα
β) Η εξίσωση 4x = 0 είναι αδύνατη. Εικόνα
γ) Η εξίσωση 0x = 0 έχει λύση οποιονδήποτε αριθμό. Εικόνα
δ)Η εξίσωση 0x = 6 έχει λύση την x = 6. Εικόνα

ε) Η εξίσωση 5(x + 1) = 5x + 5 είναι ταυτότητα.

Εικόνα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1

Να λύσετε τις εξισώσεις:

α) -3(x + 2) - 2(x - 1) = 8 + x

β) 4y - 2(y - 3) = 2y + 1

γ) 5(-ω + 2) - 4 = 6 - 5ω

δ) (2x + 1)2 + 5 = 4(x2 - 10)

2

Να λύσετε τις εξισώσεις:

εικόνα

3

To τριπλάσιο ενός αριθμού ελαττούμενο κατά 5 είναι ίσο με το μισό του αριθμού αυξημένο κατά 10. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός;   Μικροπείραμα     Μικροπείραμα 

4

Ρώτησαν κάποιον πόσα ευρώ έχει στο πορτοφόλι του κι εκείνος απάντησε: «Αν είχα όσα έχω και τα μισά ακόμα και δέκα παραπάνω, θα είχα εκατό». Μπορεί, άραγε, με τα χρήματα αυτά να αγοράσει ένα παντελόνι που κοστίζει 65 €;

5

Ο καθηγητής των Μαθηματικών είπε στους μαθητές του:

- Σκεφτείτε έναν αριθμό και διπλασιάστε τον.

- Στο αποτέλεσμα να προσθέσετε τον αριθμό 10.

- Το άθροισμα που βρήκατε να το διαιρέσετε με το 2 και από το πηλίκο να αφαιρέσετε τον αριθμό που σκεφτήκατε αρχικά.

- Κάθε μαθητής πρέπει να έχει βρει αποτέλεσμα τον αριθμό 5, ανεξάρτητα από ποιον αριθμό σκέφτηκε αρχικά.

Μπορείτε να εξηγήσετε τον ισχυρισμό του καθηγητή;

 

6
εικόνα

Ένας ποδηλάτης ξεκινά από την πόλη Α και κινείται προς την πόλη Β με μέση ταχύτητα 16 km/h. Μια ώρα αργότερα, μια φίλη του ξεκινά από την πόλη Β και με μέση ταχύτητα 12 km/h κινείται προς την πόλη Α για να τον συνα- ντήσει. Αν ηαπόσταση των δύο πόλεων είναι 44 km, σε πόσες ώρες από την εκκίνηση του ποδηλάτη θα συναντηθούν;