Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.7 Διαίρεση πολυονύμων 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
1.8
Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω να βρίσκω: Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων. .
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Να αναλύσετε τους αριθμούς 12, 24, 300 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των αριθμών αυτών.

2. Με ανάλογο τρόπο να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των μονωνύμων 12x3y2, 24x2x3ω, 300x4y και των πολυωνύμων 3(x - y)(x + y), 18(x - y)2, 9(x - y).

Σε προηγούμενη τάξη μάθαμε να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. θετικών ακεραίων αριθμών που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 12, 24 και 300, αν αναλυθούν σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, γράφονται:

12 = 22·3 24 = 23·3 300 = 22·3·52

Άρα,

Ε.Κ.Π.(12 , 24 , 300) = 23 · 3 · 52 = 600 (Γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη).

Μ.Κ.Δ.(12, 24, 300) = 22·3 = 12 (Γινόμενο κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη).

Με ανάλογο τρόπο, μπορούμε να ορίσουμε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μεγαλύτερο από τους εκθέτες του.

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ( Μ.Κ.Δ. ) δύο ή περισσοτέρων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομάζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τους με εκθέτη καθενός το μικρότερο από τους εκθέτες του.

 

Στο εξής θα περιοριστούμε σε ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις με θετικούς ακέραιους συντελεστές. Στην περίπτωση αυτή, ως αριθμητικό παράγοντα του Ε.Κ.Π., θα θεωρούμε το Ε.Κ.Π. των αριθμητικών παραγόντων των παραστάσεων και ως αριθμητικό παράγοντα του Μ.Κ.Δ. θα θεωρούμε το Μ.Κ.Δ. των αριθμητικών παραγόντων των παραστάσεων.

Για παράδειγμα,

- τα μονώνυμα 12x3y2, 24x2y3ω, 300x4y έχουν

Ε.Κ.Π. = 600x4y3ω και Μ.Κ.Δ. = 12x2y ενώ

- τα πολυώνυμα 3(x - y)(x + y), 18(x - y)2, 9(x - y) έχουν

Ε.Κ.Π. = 18(x - y)2 (x + y) και Μ.Κ.Δ. = 3(x - y)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. και ο Μ.Κ.Δ. των μονωνύμων 6x3yω, 9x22, 3xy4.

 

Λύση

Οι συντελεστές 6, 9, 3 έχουν Ε.Κ.Π. = 18 και Μ.Κ.Δ. = 3, άρα τα μονώνυμα έχουν Ε.Κ.Π. = 18x3y4ω2 και Μ.Κ.Δ. = 3xy.
2

Να βρεθεί το Ε.Κ.Π. και ο Μ.Κ.Δ. των πολυωνύμων: Α = 12x3 - 12x2, B = 18x2 - 36x + 18 και Γ = 9x2 - 9x.

 

Λύση

H προτεραιότητα των πράξεων

  • Αναλύουμε τα πολυώνυμα σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
  • Υπολογίζουμε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των αριθμητικών παραγόντων.
  • Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των πολυωνύμων.

Α = 12x2 - 12 = 12(x2 - 1) = 12(x - 1)(x + 1)

Β = 18x2 - 36x + 18 = 18(x2 - 2x + 1) = 18(x - 1)2

Γ = 9x2 - 9x = 9x(x - 1)

Οι αριθμητικοί παράγοντες 12, 18, 9
έχουν Ε.Κ.Π. = 36 και Μ.Κ.Δ. = 3.

Τα πολυώνυμα Α, Β, Γ έχουν
Ε.Κ.Π. = 36x(x - 1)2(x + 1) και Μ.Κ.Δ. = 3(x- 1).

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε ζεύγος παραστάσεων της στήλης Α, το Ε.Κ.Π. τους από τη στήλη Β.

Στήλη Α Στήλη Β
    1. 6x2(x + 2)2
α. x4(x + 2)2, x(x + 2)3 2. x3(x + 2)3
β. x3(x + 2), x(x + 2)3 3. 6x2(x + 2)
γ. 6x2(x + 2), 2x(x + 2)2 4. x4(x + 2)3
α β γ
     
2

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, γράφοντας σε κάθε κενό το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων Α, Β.

εικόνα
3

Να συμπληρώσετε τον πίνακα αντιστοιχίζοντας σε κάθε παράσταση της στήλης Α, το αποτέλεσμά της από τη στήλη B

Στήλη Α Στήλη Β
α. 6x3(x + 1)2, 3x(x + 1)3 1. 6x2(x + 1)2
β. 2x2(x + 1)3, 3x4(x + 1)3 2. 3x(x + 1)2
γ. 3x2(x + 1), 6x3(x + 1)2 3. 3x2(x + 1)
δ. (24 : 23) · 22 4.  x2(x + 1)2
α β γ
     
4

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα γράφοντας σε κάθε κενό το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων Α, Β.

εικόνα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων:

α) 12x3y2ω2,      18x23,      24x2y3ω4

β) 15αxy3,     10αx2ω2,      5yω2

γ) 2x2(x + y)2,      3xy3(x + y)2,      8x2y(x - y)(x + y) )

2

Να βρείτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων:

α) 6(x2 - y2),       4(x - y)2,      12(x - y)3

β) α2 - 3α + 2,       α2 - 4,       α3 - 4α

γ) α3 - α2,      (α2 - α)(α2 - 1),      α3 - 2α2 + α