1.7 Διαίρεση πολυονύμων

Μαθαίνω να βρίσκω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(χ) με το πολυώνυμο δ(χ).
Μαθαίνω να γράφω την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του Δ(x) με το δ(x).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. Αν τοποθετήσουμε σε μια αίθουσα 325 καθίσματα σε σειρές και κάθε σειρά περιέχει 19 καθίσματα, πόσες σειρές θα σχηματίσουμε και πόσα καθίσματα θα περισσέψουν;

Να γράψετε την ισότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

2. Να βρείτε το πολυώνυμο Δ(x) το οποίο διαιρούμενο με το πολυώνυμο δ(x) = x² - χ, δίνει πηλίκο π(x) = 2x² - 3χ - 1 και υπόλοιπο υ(x) = 7χ - 4.

Ξέρουμε ότι, αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ ≠ 0 και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο μοναδικούς φυσικούς αριθμούς π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο), για τους οποίους ισχύει:

Δ = δπ + υ με υ < δ

Αν υ = 0, είναι Δ = δ · π και τότε λέμε ότι έχουμε τέλεια διαίρεση. Στην περίπτωση αυτή λέμε ακόμα ότι ο δ διαιρεί το Δ ή ότι ο δ είναι παράγοντας του Δ.

Για παράδειγμα, αν Δ = 325 και δ = 19, τότε με τη διαίρεση 325 : 19, βρίσκουμε τους αριθμούς π = 17 και υ = 2, για τους οποίους ισχύει

325 = 1917 + 2 με 2 < 19

Ομοίως, αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) (διαιρετέος) και δ(x) (διαιρέτης) με δ(x) ≠ 0 και κάνουμε τη διαίρεση Δ(x) : δ(x), τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) (πηλίκο) και υ(x) (υπόλοιπο), για τα οποία ισχύει:

Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x) (Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης)

όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x).Στο παράδειγμα που ακολουθεί, περιγράφεται η διαδικασία της διαίρεσης του πολυωνύμου Δ(x) = 2x² - 5x³ + 2x⁴ - 4 + 8x με το πολυώνυμο δ(x) = x² - x.

εικόνα

Στο προηγούμενο παράδειγμα, η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι:

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των βαθμών διαιρέτη και πηλίκου είναι ίσο με το βαθμό του διαιρετέου. Ομοίως η διαίρεση (8x⁴ + 8x³ + 17x - 5) : (2x² + 3x - 1), γίνεται ως εξής:

εικόνα

Στην τελευταία διαίρεση, όπου το υπόλοιπο είναι μηδέν, η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι:

εικόνα

Τα πολυώνυμα δ = 2x² + 3x - 1 και π = 4x² - 2x + 5 λέγονται παράγοντες ή διαιρέτες του πολυωνύμου Δ = 8x⁴ + 8x³ + 17x - 5.

Γενικά

Ένα πολυώνυμο δ είναι διαιρέτης ή παράγοντας ενός πολυωνύμου Δ, αν η διαίρεση Δ : δ είναι τέλεια, δηλαδή αν υπάρχει πολυώνυμο π, τέτοιο ώστε να ισχύει Δ = δ · π.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

α) Να γίνει η διαίρεση (4x⁴ + 3x² - 1) : (2x - 1).

β) Να αναλυθεί το πολυώνυμο 4x⁴ + 3x² - 1 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.

Λύση

β) Από την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης, έχουμε:

4x⁴ + 3x² - 1 = (2x-1)(2x³ + x² + 2x + 1).

Παρατηρούμε ότι το πηλίκο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:

2x³ + x² + 2x + 1 =

x²(2x + 1) + (2x + 1) =

(2x + 1)(x² + 1).

Επομένως, το πολυώνυμο

4x⁴ + 3x² - 1 αναλύεται σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής:

4x⁴ + 3x² - 1 = (2x - 1)(2x + 1)(x² + 1).

Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο δ = 3x + 2α είναι διαιρέτης του πολυωνύμου Δ = 3x³ - 4αx² - α²x + 2α³.

Λύση

Το πολυώνυμο δ είναι διαιρέτης του πολυωνύμου Δ, αν το υπόλοιπο της διαίρεσης Δ : δ είναι μηδέν. Κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ

Σύμφωνα με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης έχουμε:3x³ - 4αx² - α²x + 2α³ = (3x + 2α)(x² - 2αx + α²), που σημαίνει ότι το πολυώνυμο 3x + 2α είναι διαιρέτης του πολυωνύμου 3x³ - 4αx² - α²x + 2α³

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το 4x + 7 είναι πολυώνυμο:
1. 1ου βαθμού
2. 2ου βαθμού
3. 3ου βαθμού
4. σταθερό.
Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το x² - 4x + 9 δεν μπορεί να είναι:
1. 5
2. 3x - 2
3. x² + 3
4. 4x.
Αν ένα πολυώνυμο P(x) διαιρούμενο με το 2x² + x + 5 δίνει πηλίκο x⁴ + x - 2, τότε ο βαθμός του P(x) είναι:
1. 4
2. 6
3. 8
4. οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Βαθμός Διαιρετέου	Βαθμός Διαιρέτη	Βαθμός Πηλίκου
8	3
7		2
	6	3

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες:

α) Το πηλίκο της διαίρεσης του (2x + 1)(x + 3) με το 2x + 1 είναι το x + 3.
β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου με το x + 6 είναι το x² + 2.
γ) Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο 6ου βαθμού με ένα πολυώνυμο 2ου βαθμού, τότε το πηλίκο είναι πολυώνυμο 3ου βαθμού.
δ) Το x - 4 είναι παράγοντας του x² - 16.
ε) Το πηλίκο της διαίρεσης (x³ + 1) : (x + 1) είναι το x² - x + 1.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Να κάνετε τις διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης σε κάθε περίπτωση.

α) (2x³ + x² - 3x + 6) : (x + 2)

β) (6x³ - x² - 10x + 5) : (3x + 1)

γ) (6x⁴ - x² + 2x - 7) : (x - 1)

δ) (4x³ + 5x - 8) : (2x - 1)

ε) (x⁵ - x⁴ + 3x² + 2) : (x² - x + 2)

στ) (9x⁴ - x² + 2x - 1) : (3x² - x + 1)

ζ) (8x⁴ - 6x² - 9) : (2x² - 3)

η) (3x⁵ - 2x³ - 4) : (3x² - 1) )

Να συμπληρώσετε τα κενά, ώστε να είναι οι διαιρέσεις σωστές.

εικόνα

Ποιο πολυώνυμο διαιρούμενο με το x² - x + 1 δίνει πηλίκο 2x + 3 και υπόλοιπο 3x + 2;

Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x) είναι διαιρέτης του πολυώνυμου P(x), όταν:

α) P(x) = 6x³ - 7x² + 9x - 18 και Q(x) = 2x - 3

β) P(x) = 2x⁴ - x² + 5x - 3 και Q(x) = x² + x - 1.

α) Να κάνετε τη διαίρεση (x⁴ -2x³ - 8x² + 18x - 9) : (x² - 9)

β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο x⁴ - 2x³ - 8x² + 18x - 9.

α) Να αποδείξετε ότι ο x + 1 είναι παράγοντας του πολυώνυμου x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.

Ένας μαθητής ήθελε να παραγοντοποιήσει την παράσταση α³ + β³ και θυμήθηκε ότι αναλύεται σε γινόμενο δύο παραγόντων, από τους οποίους ο ένας είναι ο α + β. Επειδή είχε ξεχάσει τον άλλο παράγοντα, πώς θα μπορούσε να τον βρει;

Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = (x³ + 2)(x² - 5) + 4x² - 6x + 7. Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

α) P(x) : (x³ + 2)

β) P(x) : (x² - 5)

Να κάνετε τη διαίρεση (6x³ + α) : (x - 1) και να βρείτε την τιμή του α, για την οποία η διαίρεση είναι τέλεια.

Αν ένας παράγοντας του πολυώνυμου 2x³ - x² - 4x + 3 είναι o (x - 1)², να βρείτε τον άλλο παράγοντα

Για την πλακόστρωση του δαπέδου ενός δωματίου που έχει σχήμα ορθογωνίου, χρησιμοποιήσαμε 45 πλακάκια τύπου Α, 56 πλακάκια τύπου Β και 16 πλακάκια τύπου Γ. Αν το πλάτος του δωματίου είναι 5x + 4y, ποιο είναι το μήκος του;