Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.3
Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Εικόνα
Εικόνα

  • Μαθαίνω τι είναι πολυώνυμο, ποιος είναι ο βαθμός ενός πολυωνύμου και διακρίνω αν δύο πολυώνυμα είναι ίσα.

  • Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυμα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
  • 1. Να γράψετε τρία όμοια μονώνυμα με δύο μεταβλητές και να βρείτε το άθροισμα τους.
  • 2. Να γράψετε τρία μονώνυμα με δύο μεταβλητές που δεν είναι όμοια. Μπορείτε τώρα να βρείτε ένα μονώνυμο ίσο με το άθροισμά τους;
  • 3. Να βρείτε το βαθμό κάθε μονωνύμου της προηγούμενης ερώτησης, ως προς κάθε μεταβλητή και ως προς τις δύο μεταβλητές.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Πολυώνυμα

 

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε, ότι το άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι μονώνυμο όμοιο με αυτά. Αν δύο τουλάχιστον μονώνυμα δεν είναι όμοια, τότε το άθροισμά τους δεν είναι μονώνυμο αλλά μια αλγεβρική παράσταση, που λέγεται πολυώνυμο. π.χ. εικόνα

Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.

Ειδικότερα, ένα πολυώνυμο που δεν έχει όμοιους όρους λέγεται

  • διώνυμο, αν έχει δύο όρους
  • τριώνυμο, αν έχει τρεις όρους.

 

Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

 

Δεχόμαστε ότι κάθε μονώνυμο είναι και πολυώνυμο. Συμφωνούμε, ακόμα, ότι κάθε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί και ως πολυώνυμο, οπότε λέγεται σταθερό πολυώνυμο. Ειδικότερα, ο αριθμός μηδέν λέγεται μηδενικό πολυώνυμο και δεν έχει βαθμό, ενώ κάθε άλλο σταθερό πολυώνυμο είναι μηδενικού βαθμού.

Το πολυώνυμο -3x + 2x2 + 5 έχει μία μεταβλητή την x και για συντομία συμβολίζεται P(x) ή Q(x) ή A(x) κ.τ.λ.

Το πολυώνυμο P(x) = -3x + 2x2 + 5 είναι δευτέρου βαθμού και μπορούμε να το γράψουμε έτσι, ώστε κάθε όρος του να είναι μεγαλύτερου βαθμού από τον επόμενό του.

Δηλαδή, P(x) = 2x2 - 3x + 5.

Τότε, λέμε, ότι γράφουμε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.

H αριθμητική τιμή του πολυώνυμου P(x) για x = 5, συμβολίζεται με P(5) και είναι:

P(5) = 2·52- 3·5 + 5 = 50 - 15 + 5 = 40.

Τα πολυώνυμα 3x2 - 5x + 1 και αx2 + βx + 1 είναι ίσα, αν α = 3 και β = -5.

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα.

Αναγωγή ομοίων όρων

 

εικόνα

Η αρχική αλγεβρική παράσταση, που είχε τέσσερις όρους, συμπτύχθηκε σε μία άλλη με δύο όρους.

Αν σε ένα πολυώνυμο υπάρχουν όμοια μονώνυμα, ή όπως λέμε όμοιοι όροι, τότε μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε με το άθροισμά τους. Η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

 

 

 

 

 

Πρόσθεση - Αφαίρεση πολυωνύμων

 

Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, τα πολυώνυμα A(x) = 3x3 - 2x2 - 7x - 5 και B(x) = 2x3 - x2 + x έχουν άθροισμα ή διαφορά που βρίσκουμε ως εξής:

A(x)+B(x) = (3x3 - 2x2 - 7x - 5) + (2x3 - x2 + x) =
= 3x3 - 2x2 - 7x - 5 + 2x3 - x2 + x =
5x3 - 3x2 - 6x - 5. 		(Απαλείφουμε τις παρενθέσεις)
(Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων)
Ομοίως, έχουμε  
A(x)-B(x) = (3x3 - 2x2 - 7x - 5) - (2x3 - x2 + x) =
= 3x3 - 2x2 - 7x - 5 - 2x3 + x2 - x =
= x3 - x2 - 8x - 5. 		 

Μικροπείραμα μικροπείραμα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

α) Να γραφεί το πολυώνυμο P(x) = 4x2 - 8x + αx3 - 5 κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x και να βρεθεί ο βαθμός του.

β) Αν το P(x) είναι ίσο με το πολυώνυμο Q(x) = βx2 + γx + δ, ποιες είναι οι τιμές των α, β, γ, δ;

 

Λύση

α) Το πολυώνυμο P(x) = 4x2 - 8x + αx3 - 5, κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x γράφεται P(x) = αx3 + 4x2 - 8x - 5. To P(x) είναι τρίτου βαθμού, αν α ≠ 0 και δευτέρου βαθμού, αν α = 0.

β) Τα πολυώνυμα P(x) = αx3 + 4x2 - 8x - 5 και Q(x) = βx2 + γx + δ είναι ίσα, αν α = 0, β = 4, γ = -8 και δ = -5.

2

Μια βιοτεχνία ρούχων για να κατασκευάσει x πουκάμισα ξοδεύει ημερησίως 500 € για μισθούς υπαλλήλων, 10 € για τα υλικά που απαιτεί κάθε πουκάμισο (ύφασμα, κλωστές, …) και εικονα € για τα υπόλοιπα έξοδά της (μεταφορικά, ηλεκτρικό ρεύμα …). Πόσα ξοδεύει ημερησίως για την κατασκευή x πουκαμίσων; Ποια θα είναι τα έξοδα της βιοτεχνίας, αν κατασκευάσει 50 πουκάμισα;

 

Λύση

Τα έξοδα των υλικών για την κατασκευή ενός πουκάμισου είναι 10 €, οπότε για τα x πουκάμισα τα έξοδα των υλικών θα είναι 10x €. Το συνολικό ποσό σε €, που ξοδεύει ημερησίως η βιοτεχνία είναι εικόνα

3

Αν P(x) = x2 - 3x + 4, να προσδιοριστεί το πολυώνυμο Q(x) = P(2x) - P(-x).

Λύση

Το πολυώνυμο P(2x) προκύπτει, αν στο P(x) θέσουμε, όπου x το 2x, οπότε έχουμε:

P(2x) = (2x)2 - 3(2x) + 4 = 4x2 - 6x + 4

Το πολυώνυμο P(-x) προκύπτει, αν στο P(x) θέσουμε, όπου x το -x, οπότε έχουμε:

Ρ(-x) = (-x)2 - 3(-x) + 4 = x2 + 3x + 4. Άρα:

Q(x) = P(2x) - P(-x) = (4x2 - 6x + 4) - (x2 + 3x + 4) = 4x2- 6x + 4 - x2 - 3x - 4 = 3x2 - 9x

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι πολυώνυμα;

εικόνα

2

Ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι 2ου βαθμού ως προς x;

  1. 7 - 3x - 2x2
  2. 3x2 - 5x - 3x2 + 10
  3. 4x3 + x2 - 3x3 + 2x - x3 + 6
  4. 2xy - 3y + 9
3

Ένας μαθητής θέλοντας να υπολογίσει το άθροισμα και τη διαφορά των πολυωνύμων
4x3 - 8x2 + x + 7 και x3 - 6x + 2 έγραψε

εικόνα

Είναι σωστός ο τρόπος που εφάρμοσε; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας

4

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Το πολυώνυμο που πρέπει να προσθέσουμε στο 2x2 + 5x + 7 για να βρούμε άθροισμα 8x2 + 4x - 5 είναι το:

  1. 6x2 + x - 2
  2. 10x2 + 9x + 2
  3. 6x2 - x - 12
  4. -6x2 + x + 12.
5

Τα πολυώνυμα Α(x), B(x) και Γ(x) έχουν βαθμούς 2, 3 και 2 αντιστοίχως.

α) Να βρείτε το βαθμό του πολυώνυμου Α(x) + B(x).

β) Αν το πολυώνυμο Α(x) + Γ(χ) δεν είναι το μηδενικό, τι βαθμό μπορεί να έχει;

Μικροπείραμα μικροπείραμα
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

Να γράψετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x.

α) P(x) = 3x - 5x2 + x4 + 10 + 2x3     β) Q(x) = -6x + 2x3 + 1

γ) A(x) = -3x2 + 7 + 2x3 + 7x       δ) B(x) = x - x4 - 5

2

Δίνεται το πολυώνυμο Α = -2xy2 + y3 + 2x3 - xy2.

α) Να βρείτε την αριθμητική του τιμή για x = 2 και y = -1.

β) Να γράψετε το πολυώνυμο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του y. Ποιος είναι ο βαθμός του ως προς x και y;

3

Αν P(x) = 2x2 + 2x - 9, να αποδείξετε ότι:

α) P(-3) = P(2)       β) 3P(1) + P(3) = 0

4
εικόνα

Η επιφάνεια ενός σταδίου αποτελείται από δύο ημικυκλικούς δίσκους και ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, που έχει μήκος 100 μέτρα και πλάτος 2x μέτρα.

α) Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του.

β) Να υπολογίσετε την περίμετρο και το εμβαδόν του, αν το πλάτος του είναι ίσο με 60 μέτρα.

5

Να κάνετε τις πράξεις:

εικόνα
6

Av A(x) = 2x3 - x2 + x - 4, B(x) = -3x3 + 5x - 2 και T(x) = 4x2 - 3x + 8, να βρείτε τα πολυώνυμα:

α) A(x) - B(x)

β) A(x) + T(x)

γ) Γ(x) - [A(x) + B(x)]

7

Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω ισότητες:

α) (… …- 4x… …) + (x2… …+ 4) = -6x2 - 8x + 7

β) (-x3… …+ 8) - (… …+ x2… …) = x3 - x2 + 5x + 9

8

Να συμπληρώσετε το παρακάτω τετράγωνο ώστε να είναι μαγικό. (Τα τρία πολυώνυμα οριζοντίως, καθέτως και διαγωνίως έχουν το ίδιο άθροισμα)

εικόνα εικόνα

9

Αν P(x) = (-5x2 + 4x - 3) - (x2 - 2x + 1) + (3x2 + x) και Q(x) = αx2 + βx + γ, να βρείτε τις τιμές των α, β, γ, ώστε τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) να είναι ίσα

10

Ένας ποδηλάτης ξεκινάει από το σημείο Α και σε χρόνο t sec κατεβαίνει το δρόμο ΑΒ με επιτάχυνση α = 2 m/sec2. Όταν φτάσει στο σημείο Β, συνεχίζει να κινείται στο δρόμο ΒΓ για 10 sec με σταθερή ταχύτητα. Να βρείτε την παράσταση που εκφράζει την απόσταση που διήνυσε ο ποδηλάτης. Ποια απόσταση διήνυσε ο ποδηλάτης, αν t = 5 sec;