Μαθηματικά - Βιβλίο Μαθητή (εμπλουτισμένο)
1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 2.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις − συμπληρώσεις Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
1.10
Πράξεις ρητών παραστάσεων
Εικόνα
Εικόνα
  • Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ ρητές παραστάσεις.
  • Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ ρητές παραστάσεις.
A
Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση ρητών παραστάσεων
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1.  Να κάνετε τις πράξεις: εικόνα

2. Με ανάλογο τρόπο να κάνετε και τις παρακάτω πράξεις:

εικόνα

Πολλαπλασιασμός

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα ή για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες.

εικόνα

Με τον ίδιο τρόπο πολλαπλασιάζουμε και μια ακέραια με μια ρητή παράσταση ή δύο ρητές παραστάσεις.

Για παράδειγμα,

εικόνα

Όπως βλέπουμε στο προηγούμενο παράδειγμα, μετά τις πράξεις εκτελούμε και τις δυνατές απλοποιήσεις.

Διαίρεση

Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω κανόνα

εικόνα

Με τον ίδιο τρόπο διαιρούμε και δύο ρητές παραστάσεις. Για παράδειγμα,

εικόνα

Σύνθετα κλάσματα

εικόνα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

1 Να βρεθούν τα γινόμενα:εικόνα

 

Λύση

εικόνα
2

Να γίνουν οι πράξεις:εικόνα

 

Λύση

εικόνα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες

εικόνα
2

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

εικόνα
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

1 Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

εικόνα

2

Να κάνετε τις διαιρέσεις:

εικόνα

3

Να υπολογίσετε τα γινόμενα:

εικόνα

4

Να κάνετε τις διαιρέσεις:

εικόνα

5

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικονα

Β
Πρόσθεση - Αφαίρεση ρητών παραστάσεων
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
  • 1. Να κάνετε τις πράξεις:εικόνα
  • 2. Με ανάλογο τρόπο να κάνετε και τις παρακάτω πράξεις:

    εικόνα

Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες

εικόνα

Με τον ίδιο τρόπο προσθέτουμε ή αφαιρούμε και ρητές παραστάσεις που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα,

εικόνα

Αν όμως οι ρητές παραστάσεις δεν έχουν τον ίδιο παρονομαστή, τότε βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών και τις μετατρέπουμε σε ρητές παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή, όπως και στα αριθμητικά κλάσματα.

εικόναΓια παράδειγμα, αν θέλουμε να υπολογίσουμε το άθροισμα

εργαζόμαστε ως εξής:

  • Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές.
3x2 - 3x = 3x(x - 1) και 3x - 3 = 3(x -1)
  • Bρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών.
Ε.Κ.Π. = 6x(x-1)
  • Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα.
εικόνα
  • Εκτελούμε τις πράξεις και τις δυνατές απλοποιήσεις.
εικόνα

 

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ − ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
1

Να γίνουν οι πράξεις:

εικόνα

Λύση

εικόνα
2
εικόνα

Πούλησε κάποιος τα οικόπεδα Α και Β και από το καθένα εισέπραξε 50.000 ευρώ. Αν με τα χρήματα αυτά αγόρασε το διαμέρισμα Γ, να αποδειχθεί ότι κάθε m2 του διαμερίσματος στοιχίζει όσο ένα m2 του οικοπέδου Α και ένα m2 του οικοπέδου Β. (Οι διαστάσεις δίνονται σε m).

 

Λύση

εικόνα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ
1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες.

εικόνα

2

Ένας μαθητής έγραψε τις παρακάτω ισότητες και ο καθηγητής του είπε ότι σε κάποιο σημείο έκανε ένα λάθος. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος αυτό;

εικόνα

3

Να συμπληρώσετε τις ισότητες:

εικόνα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ − ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

2

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

3

Να απλοποιήσετε τα κλάσματα:

εικόνα

4

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

 

5

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

εικόνα

6

α) Να αποδείξετε ότι εικόνα

β) Να υπολογίσετε την παράσταση εικόνα

7

α) Αν εικόνανα αποδείξετε ότι Α2 + Β2 = 1.

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί εικόνα, αποτελούν μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
1

Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

Εικόνα

(Διαγωνισμός «Θαλής» Ε.Μ.Ε. 2002).

2

Για κάθε θετικό ακέραιο ν, να αποδείξετε ότι:

α) (α - β + 3γ)2ν+1 + (β - α - 3γ)2ν+1 = 0

β) (x - y - ω) - (y + ω - x) = 0

3

Αν ισχύει εικόνανα βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:

εικόνα

4

Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = -2x2 + 2x + 800.

α) Να αποδείξετε ότι P(1 - x) = P(x).

β) Να βρείτε την αριθμητική τιμή P(100) και P(-99).

5

α) Να αποδείξετε ότι α3 + β3 + γ3 - 3αβγ = (α + β + γ)(α2 + β2 + γ2 - αβ - βγ - γα) (Ταυτότητα Euler).

β) Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι α3 + β3 + γ3 = 3αβγ.

γ) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση (x - y)3 + (y - ω)3 + (ω - x)3.

6

Αν εικόνακαι τότε να αποδείξετε ότι:

εικόνα

β) (3α + 1)2 + (3β + 1)2 + 9(α + β) = 40

7

Αν για τους αριθμούς x, y ισχύει μια από τις παρακάτω ισότητες να αποδείξετε ότι οι αριθμοί x, y είναι ίσοι ή αντίθετοι.

α) x4 - 2y2 = x2(y2 - 2)

β) x3 + y3 = x2y + xy2

8

α) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα x2 + 4x + 3, x2 + 2x - 3.

β) Να υπολογίσετε την παράσταση εικόνα

9

Δίνονται οι παραστάσεις Α = x(x + 3) και Β = (x + 1)(x + 2).

α) Να αποδείξετε ότι Β = Α + 2 και ΑΒ + 1 = (Α + 1)2.

β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1.

10

α) Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 16πx4 + 8πx2 + π. Να βρείτε την ακτίνα του.

β) Να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών δύο κύκλων με ακτίνες 4x και 4x2 - 1.

11

α) Αν ο αριθμός κ είναι ακέραιος, να αποδείξετε ότι ο αριθμός κ2 + κ είναι άρτιος.

β) Να αποδείξετε ότι η διαφορά κύβων δύο διαδοχικών ακεραίων, αν διαιρεθεί με το 6, δίνει υπόλοιπο 1.

γ) Να αποδείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο περιττών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 8.

12

α) Να κάνετε τη διαίρεση (x6 - 1) : (x - 1) και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 76 - 1 είναι πολλαπλάσιο του 6.

β) Να κάνετε τη διαίρεση (x5 + 1) : (x + 1) και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 215 + 1 είναι πολλαπλάσιο του 9.

13

α) Να αποδείξετε ότι εικόνα

Στην προηγούμενη ισότητα να αντικαταστήσετε το χ διαδοχικά με τις τιμές 2, 3, 4,………, 2008 και να αποδείξετε ότι εικόνα

  14 - Μικροπείραμα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ − ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

  • Αλγεβρική Παράσταση είναι μια έκφραση που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές π.χ.  2x2 - 3xy + 4
  • Αριθμητική Τιμή μιας παράστασης είναι ο αριθμός που προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές της με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις.
  • Μονώνυμο λέγεται μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία μεταξύ των αριθμών και των μεταβλητών της σημειώνεται μόνο η πράξη του πολλαπλασιασμού.
    π.χ. -3x2y (-3 συντελεστής, x2y κύριο μέρος του μονώνυμου).
  • Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος, π.χ. -3x2y, 7χ2y, -x2y

  • η Πρόσθεση και η Αφαίρεση μονωνύμων έχει σαν αποτέλεσμα μονώνυμο, εφόσον αυτά είναι όμοια.
    Άθροισμα ομοίων μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο με αυτά, που έχει συντελε­στή το άθροισμα των συντελεστών τους.
    π.χ. 2x2y + 3x2y - x2y = 4x2y
    Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η αντικατάσταση των ομοίων μονωνύμων με το άθροισμά τους.
    π.χ. 6x2 + 2x - 4x2 + 3x = 2x2 + 5x
  • ο Πολλαπλασιασμός και η Διαίρεση μονωνύμων γίνονται είτε τα μονώνυμα είναι όμοια είτε όχι.
    Γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο με συντελεστή το γινόμενο των συντελε­στών τους και κύριο μέρος το γινόμενο όλων των μεταβλητών τους, με εκθέτη καθε­μιάς το άθροισμα των εκθετών τους.
    π.χ. (3x2y) · (-2xy3) = - 6x3y4
    Πηλίκο δύο μονωνύμων είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του πρώτου με το δεύτερο.
    π.χ. Εικόνα
  • Πολυώνυμο λέγεται το άθροισμα μονωνύμων, που δύο τουλάχιστον από αυτά δεν είναι όμοια.
    π.χ. 3x2y - 5xy + 2 (Το μονώνυμα 3x2y, 5xy, 2 λέγονται όροι του πολυωνύμου).

  1. Για να προσθέσουμε - αφαιρέσουμε πολυώνυμα βγάζουμε τις παρενθέσεις και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
  2. Για να πολλαπλασιάσουμε
    α) μονώνυμο με πολυώνυμο πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου, προσθέτου-με τα εξαγόμενα, και στη συνέχεια κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
    β) πολυώνυμο με πολυώνυμο πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου, προσθέτουμε τα εξαγόμενα, και στη συνέχεια κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.
  3. Αν έχουμε δύο πολυώνυμα Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 και κάνουμε τη διαίρεση Δ(x) : δ(x), τότε βρίσκουμε ένα μοναδικό ζεύγος πολυωνύμων π(x) και υ(x) για τα οποία ισχύει: Δ(x) = δ(x)π(x) + υ(x) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης) όπου το υ(x) ή είναι ίσο με μηδέν ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Αν υ(x) = 0, τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και τα δ(x) και π(x) λέγονται παράγοντες ή διαιρέτες του Δ(x).

 

 

 

Β. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

  • Οι ισότητες που περιέχουν μεταβλητές και οι οποίες αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών τους ονομάζονται ταυτότητες.

    Αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι:

    Τετράγωνο αθροίσματος (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2
    Τετράγωνο διαφοράς (α - β)2 = α2 - 2αβ + β2
    Κύβος αθροίσματος (α + β)3= = α3 + 3α2β + 3αβ2+ β3
    Κύβος διαφοράς (α - β)3 = α3 - 3α2β + 3αβ2 - β3
    Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά (α + β)(α - β) = α2 - β2
    Διαφορά κύβων (α - β)(α2 + αβ + β2) = α3 - β3
    Άθροισμα κύβων (α + β)(α2 - αβ + β2) = α3 + β3

 

Γ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

  1. Παραγοντοποίηση είναι ο μετασχηματισμός μιας παράστασης από άθροισμα σε γινόμενο. Η παραγοντοποίηση γίνεται σε παράσταση που υπάρχει:

Κοινός παράγοντας
σ’ όλους τους όρους

αx + βx = x(α + β)

Κοινός παράγοντας σε ομάδες όρων της παράστασης

αx + αy + βx + βy =
= α(x + y) + β(x + y) =
= (α + β)(x + y)

Διαφορά τετραγώνων

α2 - β2 = (α + β)(α - β)

Άθροισμα -
Διαφορά κύβων

α3 + β3 =
= (α + β)(α2 - αβ + + β2)=
= α3 - β3 = (α - β)(α2 + αβ + β2)

Ανάπτυγμα τετραγώνου

α2 + 2αβ + β2 = (α + β)2   
= α2 - 2αβ + β2 = (α - β)2

Τριώνυμο της μορφής
x2 + (α + β)x + αβ

x2 + (α + β)x + αβ =
= (x + α)(x + β)

Δ. ΡΗΤΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

  1. Μια αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα με όρους πολυώνυμα, λέγεται ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση.

εικόνα

Οι μεταβλητές μιας ρητής παράστασης δεν μπορούν να πάρουν τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Για να απλοποιήσουμε μια ρητή αλγεβρική παράσταση, παρα-γοντοποιούμε και τους δύο όρους της και διαγράφουμε τον κοινό παράγοντα. Οι πράξεις με τις ρητές παραστά-σεις γίνονται όπως και οι πράξεις των αριθμητικών κλασμάτων.