Ευθείες και Επίπεδα

Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου - γνωστές ήδη από την εμπειρία μας - είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.

Τα επίπεδα τα έχουμε συνδέσει στο φυσικό κόσμο με την αίσθηση των επιφανειών.

Η επιφάνεια του μαυροπίνακα, ενός λείου πατώματος, ενός καθρέπτη μάς δίνουν την αίσθηση του επιπέδου.

Ωστόσο, το επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα και για να το παραστήσουμε, σχεδιάζουμε ένα παραλληλόγραμμο για να χωράει στην επιφάνεια του χαρτιού. Το ονομάζουμε, επίσης μ' ένα από τα τελευταία μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου (p, q, r).

Μία ευθεία ε ορίζεται κατά μοναδικό τρόπο από τα δύο σημεία Α και Β. Αν θεωρήσουμε ένα τρίτο σημείο Γ που δεν ανήκει στην ευθεία ε, τότε τα τρία αυτά σημεία Α, Β, και Γ ορίζουν ένα επίπεδο p. Προφανώς, η ευθεία ε και το σημείο Γ ορίζουν το ίδιο επίπεδο.

Γι' αυτό ακριβώς το λόγο, οι φωτογράφοι για μεγαλύτερη σταθερότητα στηρίζουν τις φωτογραφικές μηχανές τους σε τρίποδο και έτσι εξηγείται η τρίτη ρόδα στα ποδήλατα των μικρών παιδιών.

Σχετικές θέσεις δύο επιπέδων

Σε ένα κλειστό βιβλίο οι δύο επιφάνειες που ορίζουν τα εξώφυλλά του, μας δίνουν την αίσθηση ότι όσο και αν τις προεκτείνουμε, δεν τέμνονται ποτέ.

Τα δύο επίπεδα που δημιουργούνται έτσι, λέγονται παράλληλα.

Αν τώρα ανοίξουμε το βιβλίο, παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο επίπεδα που τα κοινά τους σημεία ανήκουν σε μια ευθεία. Λέμε, τότε, ότι τα επίπεδα τέμνονται. Η ευθεία αυτή λέγεται τομή των δύο επιπέδων.

Επομένως:

Οι δυνατές θέσεις δύο διαφορετικών επιπέδων είναι:
	Να είναι παράλληλα.
	Να τέμνονται κατά μία ευθεία.

Σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο χώρο

Γνωρίζουμε ότι δύο διαφορετικές ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο μπορούν να είναι παράλληλες ή να τέμνονται. Όμως, όπως φαίνεται στον διπλανό κύβο, υπάρχουν ευθείες στο χώρο που δε βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Οι ευθείες αυτές λέγονται ασύμβατες.

Επομένως:

Όταν έχουμε δύο διαφορετικές ευθείες ε και ζ, οι μόνες δυνατές θέσεις που μπορεί να έχουν είναι:
	Να είναι παράλληλες, δηλαδή να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο.
	Να τέμνονται, δηλαδή να έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
	Να είναι ασύμβατες, δηλαδή να ανήκουν σε διαφορετικά επίπεδα και να μην έχουν κανένα κοινό σημείο.

Μικροπείραμα

Σχετικές θέσεις ευθείας και επιπέδου

Όπως ξέρουμε, από δύο σημεία ορίζεται μοναδική ευθεία. Όταν τα σημεία αυτά ανήκουν σε ένα επίπεδο, τότε ολόκληρη η ευθεία ανήκει στο επίπεδο αυτό.

Η ευθεία αυτή λέγεται ευθεία του επιπέδου.

Αν μια ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με ένα επίπεδο, τότε είναι παράλληλη στο επίπεδο αυτό.

Είναι, όμως, δυνατό μια ευθεία να τέμνει ένα επίπεδο μόνο σε ένα σημείο. Το σημείο Γ ονομάζεται ίχνος της ε στο επίπεδο p.

Οι δυνατές θέσεις μιας ευθείας και ενός επιπέδου είναι:
	Η ευθεία να περιέχεται στο επίπεδο.
	Η ευθεία να είναι παράλληλη στο επίπεδο.
	Η ευθεία να τέμνει το επίπεδο σε ένα σημείο.

Ευθεία κάθετη σε επίπεδο

Ας θεωρήσουμε μια ευθεία ε που τέμνει το επίπεδο p στο σημείο Α. Αν η ε είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου p, που διέρχεται από το σημείο Α, τότε θα λέμε ότι η ευθεία ε είναι κάθετη στο επίπεδο p.

Αποδεικνύεται ότι:

Απόσταση σημείου από επίπεδο

Αν αφήσουμε ένα σώμα να πέσει από την κορυφή Α του κεκλιμένου πύργου της Πίζας, θα παρατηρήσουμε ότι διαγράφει τροχιά κάθετη προς το έδαφος. Το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, που φέρουμε προς το επίπεδο p από ένα σημείο Α που δεν ανήκει στο επίπεδο, λέγεται απόσταση του σημείου Α από το επίπεδο p. Παρατηρούμε ότι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.

Απόσταση παράλληλων επιπέδων

Η επιφάνεια p του τραπεζιού ορίζει ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο q του δαπέδου. Το ύψος του τραπεζιού εκφράζει την απόσταση οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου του τραπεζιού p από το επίπεδο του δαπέδου q.

Η απόσταση αυτή ονομάζεται απόσταση των παράλληλων επιπέδων p και q.