4.5.	Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή

Ο Γιώργος έχει μια ταβέρνα σ' ένα μικρό νησί του Αιγαίου.

Τα κέρδη του, σε €, για το προηγούμενο έτος ήταν ανά μήνα: 0, 0, 100, 400, 1000, 1500, 2500, 5000, 1500,

250, 50, 0.

Τι μηνιαίο μισθό θα έπρεπε να παίρνει, αν ήταν υπάλληλος, ώστε να είχε το ίδιο ετήσιο εισόδημα;

Λύση

Ας εξετάσουμε πρώτα πόσα χρήματα κέρδισε ο Γιώργος όλη τη χρονιά.

Ο Γιώργος κέρδισε συνολικά 0 + 0 + 100 + 400 + 1000 + 1500 + 2500 + 5000 + 1500 + 250 + 50 + 0 = 12.300 €.

Αν το ποσό αυτό μοιραστεί εξίσου σε όλους τους μήνες, θα κέρδιζε κάθε μήνα.

Θα λέμε ότι ο μέσος όρος ή η μέση τιμή των κερδών του Γιώργου είναι 1025 €.

Για να βρούμε τη μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Ισχύει λοιπόν ότι:

Μικροπείραμα

Διάμεσος

Οι μηνιαίες αποδοχές εννέα εργαζομένων μιας επιχείρησης είναι (σε €):

700, 600, 2900, 950, 700, 800, 700, 2100, 900.

α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αποδοχών των εργαζομένων.

β) Να βρείτε την τιμή που «προσεγγίζει» καλύτερα τις αποδοχές των περισσότερων εργαζομένων.

Λύση

α) Η μέση τιμή των αποδοχών είναι:

β) Παρατηρούμε ότι οι περισσότεροι εργαζόμενοι (7 στους 9) έχουν αποδοχές μικρότερες (κάτω από 1000 €) από τη μέση τιμή που βρήκαμε (1150 €), ενώ μόνο δύο έχουν μεγαλύτερες αποδοχές (2100 και 2900 €). Αυτοί οι δύο μεγάλοι μισθοί φαίνεται ότι αυξάνουν τη μέση τιμή.

Τοποθετούμε κατά σειρά μεγέθους τις αποδοχές των 9 υπαλλήλων:

Παρατηρούμε ότι η τιμή 800 € βρίσκεται ακριβώς στη μέση, γιατί υπάρχουν 4 παρατηρήσεις μικρότερες ή ίσες του 800 και 4 παρατηρήσεις μεγαλύτερες ή ίσες του 800. Η μεσαία αυτή παρατήρηση «προσεγγίζει» καλύτερα τις αποδοχές των περισσότερων εργαζομένων.

Η προηγούμενη δραστηριότητα παρουσιάζει ένα μέγεθος της Στατιστικής το οποίο ονομάζουμε διάμεσο.

Ένας εύκολος τρόπος για να βρίσκουμε τη διάμεσο είναι ο εξής:

Γράφουμε τις παρατηρήσεις με σειρά μεγέθους:

600 700 700 700 800 900 950 2100 2900

Στη συνέχεια, διαγράφουμε την πρώτη και την τελευταία παρατήρηση:

~~600~~ 700 700 700 800 900 950 2100 ~~2900~~

Μετά διαγράφουμε τη δεύτερη και την προτελευταία:

~~600 700~~ 700 700 800 900 950 ~~2100 2900~~

Και συνεχίζουμε έτσι μέχρι να μείνει μόνο μία παρατήρηση, που είναι η διάμεσος:

~~600 700 700 700~~ 800 ~~900 950 2100 2900~~

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττός αριθμός, παίρνουμε ως διάμεσο τη μεσαία παρατήρηση.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που μένουν δύο «μεσαίες» παρατηρήσεις.

Αν έχουμε τις παρατηρήσεις: 15, 11, 11, 12, 16, 17, 13, 14, 16, 19, τις τοποθετούμε με σειρά μεγέθους και διαγράφουμε διαδοχικά από τα άκρα, προς τα μέσα:

Παρατηρούμε ότι περισσεύουν δύο μεσαίες παρατηρήσεις: το 14 και το 15.

Αυτό οφείλεται στο ότι το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 10 (δηλαδή άρτιος αριθμός), οπότε δεν υπάρχει μεσαία

παρατήρηση.

Σε αυτή την περίπτωση θα θεωρήσουμε ως διάμεσο τον αριθμό :

Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο, παίρνουμε ως διάμεσο το μέσο όρο των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.

Μικροπείραμα

Μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής

Μετά το τέλος ενός διαγωνίσματος ο καθηγητής δίνει στον Γυμνασιάρχη το διπλανό πίνακα με τους βαθμούς των μαθητών της τάξης.

Πώς θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το μέσο όρο των βαθμών όλης της τάξης;

Λύση

Είναι φανερό ότι δε μπορούμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια τη μέση τιμή των βαθμών, γιατί δε γνωρίζουμε τι βαθμό ακριβώς πήρε κάθε μαθητής. Γνωρίζουμε ότι 6 μαθητές πήραν βαθμό από 8 μέχρι 12, αλλά αγνοούμε τον ακριβή βαθμό του καθενός.

Θα βρούμε μία τιμή που προσεγγίζει τη μέση τιμή, δηλαδή θα κάνουμε μια εκτίμηση της μέσης τιμής.

Θεωρούμε ότι όλοι οι βαθμοί μιας κλάσης αντιπροσωπεύονται από το κέντρο της κλάσης.

Δηλαδή, υποθέτουμε ότι οι 6 μαθητές που έχουν πάρει βαθμούς από 8 μέχρι 12, έχουν όλοι τον ίδιο βαθμό, ίσο με το

κέντρο της κλάσης, δηλαδή βαθμό

Ομοίως, θεωρούμε ότι οι 10 μαθητές που έχουν πάρει βαθμό από 12 έως 16, έχουν όλοι τον ίδιο βαθμό ίσο με:

Κατασκευάζουμε, λοιπόν, τον διπλανό πίνακα:

Στην περίπτωση αυτή, οι 25 μαθητές έχουν πάρει συνολικά 322 βαθμούς, οπότε η μέση τιμή των βαθμών είναι:

Eπομένως, για να βρούμε τη μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής:

	Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων.
	Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.
	Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα.
	Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων.

Η Έλενα εξετάστηκε πέντε φορές σ' αυτό το τρίμηνο στο μάθημα της Ιστορίας και πήρε τους βαθμούς: 16, 14, 18, 18 και 14.

Τι βαθμό πρέπει να πάρει ως γενικό βαθμό τριμήνου;

Λύση:

H μέση τιμή των βαθμών της Έλενας είναι:

Μικροπείραμα

Ο διπλανός πίνακας δείχνει τον αριθμό των τερμάτων που πέτυχε μια ομάδα ποδοσφαίρου στους 15 πρώτους αγώνες πρωταθλήματος.

α) Πόσα τέρματα έχει πετύχει συνολικά η ομάδα αυτή και στους 15 αγώνες;

β) Ποιος είναι ο μέσος αριθμός τερμάτων που πετυχαίνει η ομάδα αυτή σε κάθε αγώνα;

Λύση:

α)

Σε 1 αγώνα έχει πετύχει 0 τέρματα, άρα σύνολο	1 • 0 = 0
Σε 4 αγώνες έχει πετύχει 1 τέρμα, άρα σύνολο	4 • 1 = 4
Σε 3 αγώνες έχει πετύχει 2 τέρματα, άρα σύνολο	3 • 2 = 6
Σε 5 αγώνες έχει πετύχει 3 τέρματα, άρα σύνολο	5 • 3 = 15
Σε 2 αγώνες έχει πετύχει 4 τέρματα, άρα σύνολο	4 • 2 = 8

Οπότε, συνολικά έχει πετύχει:

1 • 0 + 4 • 1 + 3 • 2 + 5 • 3 + 4 • 2 = 0 + 4 + 6 + 15 + 8 = 33 τέρματα.

β) Αφού σε 15 αγώνες έχει πετύχει συνολικά 33 τέρματα, ο μέσος όρος για κάθε αγώνα είναι:

Σε μία τάξη υπάρχουν 8 μαθητές και 12 μαθήτριες. Το μέσο ύψος των 8 μαθητών είναι 168 cm και το μέσο ύψος των 12 μαθητριών είναι 162 cm.

Ποιο είναι το μέσο ύψος όλων των μαθητών της τάξης;

Λύση:

Το άθροισμα των υψών των 8 μαθητών (σε cm) είναι:	8 • 168 = 1344.
Το άθροισμα των υψών των 12 μαθητριών (σε cm) είναι:	12 • 162 = 1944.
Το άθροισμα των υψών και των 20 μαθητών (σε cm) είναι:	1344 + 1944 = 3288.

Επομένως, το μέσο ύψος (σε cm) είναι:

Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων:

α) 3 5 2 7 3 2 4 6 6 4 3

β) 12 15 14 17 13 18 15 16 13 17 12 11

Λύση:

α) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά:

2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 7

Το πλήθος τους είναι 11 (περιττός). Διαγράφοντας τις ακραίες παρατηρήσεις ανά δύο:

~~2 2 3 3 3~~ 4 ~~4 5 6 6 7~~

περισσεύει η 6η κατά σειρά παρατήρηση, η οποία ισούται με τη διάμεσο.

β) Τοποθετούμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά.

11 12 12 13 13 14 15 15 16 17 17 18

Το πλήθος τους είναι 12 (άρτιος). Διαγράφοντας τις ακραίες παρατηρήσεις ανά δύο:

~~11 12 12 13 13~~ 14 15 ~~15 16 17 17 18~~

περισσεύουν δύο παρατηρήσεις: η 6η (14) και η 7η (15). Η διάμεσος είναι ο μέσος

όρος αυτών των δύο παρατηρήσεων, δηλαδή ο αριθμός:

Να κυκλώσετε τις σωστές απαντήσεις:

Το άθροισμα 50 παρατηρήσεων είναι 100. Η μέση τιμή είναι:

Η μέση τιμή 100 παρατηρήσεων είναι 28,2. Το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι:

Α: 2,82 Β: 282 Γ: 2820 Δ: 0,282

Η μέση τιμή μιας κατανομής είναι 3 και το άθροισμα των παρατηρήσεων είναι 60. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:

Από τις παρακάτω παρατηρήσεις, που είναι τοποθετημένες σε αύξουσα σειρά μεγέθους, λείπει η 5η κατά σειρά παρατήρηση

2 3 5 7………………14 14 15

α) Αν η διάμεσος είναι 7, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10

β) Αν η διάμεσος είναι 8, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10

γ) Αν η διάμεσος είναι 8,5, η παρατήρηση που λείπει είναι: Α: 7 Β: 8 Γ: 9 Δ: 10

Δίνεται η κατανομή συχνοτήτων του διπλανού πίνακα. Η μέση τιμή είναι ίση με:

Τιμές	Συχνότητες
10	2
20	3
30	4

1.	Να υπολογιστεί η μέση τιμή των παρατηρήσεων κάθε γραμμής. α) 7 7 7 7 7 7 β)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 γ) -3 -2 -2 0 1 1 1 δ)
2.	Να βρείτε τη διάμεσο των παρατηρήσεων κάθε γραμμής: α) 4 3 2 1 -1 -2 β) 2 2 4 2 3 3 1 γ)100 101 99 98 101 102 103 δ) -5 -2 0 1 3 -4
3.	Η βαθμολογία σε 14 μαθήματα του πρώτου τετραμήνου δύο μαθητών της Β' Γυμνασίου είναι: α) Να βρείτε τον μέσο όρο της βαθμολογίας κάθε μαθητή. β) Να εκτιμήσετε ποιος μαθητής έχει καλύτερη επίδοση. γ) Να βρείτε τη διάμεσο της βαθμολογίας κάθε μαθητή.
4.	Το ύψος των 12 παικτών της ομάδας μπάσκετ της ΑΕΚ είναι σε cm: 192, 197, 197, 198, 198, 200, 200, 201, 201, 204, 205, 206. α) Να βρείτε το μέσο ύψος της ομάδας. β) Να βρείτε τη διάμεσο των υψών της ομάδας. γ) Αν ο παίκτης με ύψος 192 cm αντικατασταθεί από άλλον ύψους 200 cm, ποιο είναι το νέο μέσο ύψος της ομάδας;
5.	Η θερμοκρασία το μεσημέρι κάθε ημέρας του Νοεμβρίου στον Άλιμο είναι: α) Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων. β) Να βρείτε τη μέση θερμοκρασία και τη διάμεσο των θερμοκρασιών.

Σε μία πόλη 200 παιδιά παρουσιάζουν αλλεργική αντίδραση σ' ένα φάρμακο, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:

α) Να γίνει ο πίνακας συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων της κατανομής.

β) Να βρείτε τη μέση ηλικία των παιδιών.

Οι ηλικίες ενός δείγματος 200 φιλάθλων που παρακολουθούν έναν αγώνα τένις είναι:

Να βρείτε τη μέση τιμή της ηλικίας των φιλάθλων.

Μια ένωση καταναλωτών κατέγραψε την τιμή πώλησης ενός προϊόντος (σε €) σε 20 διαφορετικά σημεία πώλησης:

α) i) Να τοποθετήσετε τα δεδομένα αυτά σε πίνακα συχνοτήτων.

ii) Να βρείτε τη μέση τιμή πώλησης Μ του προϊόντος.

β) i) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κλάσεις, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

ii)Να βρείτε τη μέση τιμή πώλησης Μ' των ομαδοποιημένων

παρατηρήσεων του πίνακα αυτού.

iii)Ποια είναι η πραγματική μέση τιμή (Μ ή Μ');

Μικροπείραμα