4.4.	Ομαδοποίηση παρατηρήσεων

Μεταβλητή

Εξετάσαμε τους μαθητές ενός Γυμνασίου ως προς το βάρος τους.

Τα αποτελέσματα (στρογγυλοποιημένα σε κιλά) είναι:

Επειδή οι διαφορετικές τιμές που βρήκαμε είναι πάρα πολλές (από 41 έως 81 κιλά) και ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων που πρέπει να κατασκευάσουμε είναι πολύ μεγάλος, χωρίζουμε τις παραπάνω παρατηρήσεις σε «ομάδες» που λέγονται «κλάσεις», ως εξής:

Στην 1η κλάση τοποθετούμε όσους μαθητές ζυγίζουν 40 - 46 κιλά,

στη 2η όσους ζυγίζουν 46 - 52,

στην 3η 52 - 58,

στην 4η 58 - 64,

στην 5η 64 - 70,

στην 6η 70 - 76 και στην 7η 76 - 82 κιλά.

(Αν κάποια παρατήρηση συμπίπτει με το δεξιό άκρο μιας κλάσης, την τοποθετούμε στην αμέσως επόμενη κλάση).

Να κάνετε διαλογή των παραπάνω παρατηρήσεων και να κατασκευάσετε πίνακα κατανομής συχνοτήτων.

Λύση

Σύμφωνα με τα δεδομένα συμπληρώνουμε τον επόμενο πίνακα κατανομής συχνοτήτων:

Η διαδικασία, που είδαμε στην προηγούμενη δραστηριότητα, ονομάζεται ομαδοποίηση των παρατηρήσεων.

Χωρίσαμε, δηλαδή, το διάστημα από 40 κιλά έως 81 κιλά, στο οποίο ανήκουν οι παρατηρήσεις, σε υποδιαστήματα.

Τα υποδιαστήματα αυτά λέγονται κλάσεις. Στη δραστηριότητα θεωρήσαμε κλάσεις πλάτους 6 κιλών.

Γραφική παρουσίαση ομαδοποιημένων παρατηρήσεων

Μια ομαδοποιημένη κατανομή παριστάνεται με ιστόγραμμα, που αποτελείται από συνεχόμενα ορθογώνια, τα οποία έχουν ύψος ίσο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα της αντίστοιχης κλάσης.

Έτσι, το ορθογώνιο της κλάσης 40 - 46 έχει ύψος 8. Οι αριθμοί 40 και 46 λέγονται άκρα της κλάσης. Επίσης, ο αριθμός 43

λέγεται κέντρο της κλάσης 40 - 46.

Παρατήρηση:

Από τη στιγμή που έχουμε κάνει ομαδοποίηση των παρατηρήσεων, οι συχνότητες και οι σχετικές συχνότητες που έχουμε βρει στον παραπάνω πίνακα κατανομής συχνοτήτων, δεν αναφέρονται σε μεμονωμένους αριθμούς, αλλά στις κλάσεις.

Έτσι, λέμε ότι η κλάση 58 - 64 έχει συχνότητα 20 και σχετική συχνότητα 25% χωρίς να γνωρίζουμε τη συχνότητα καθεμιάς από τις τιμές 58, 59, 60,...,63 που ανήκουν στην κλάση αυτή. Έτσι, θεωρούμε ότι 20 μαθητές που έχουν βάρος 58 - 64 κιλά αντιπροσωπεύονται από το κέντρο της κλάσης, δηλαδή τον αριθμό

Μικροπείραμα

Σε μια εθνική οδό η Τροχαία έλεγξε 50 αυτοκίνητα ως προς την ταχύτητα που είχαν αναπτύξει.

Τα αποτελέσματα φαίνονται στον διπλανό πίνακα.

α) Να κατασκευάσετε πίνακα σχετικών συχνοτήτων και ιστόγραμμα συχνοτήτων.

β) Αν το όριο ταχύτητας στο συγκεκριμένο σημείο της Εθνικής οδού είναι 120 km/h,

τι ποσοστό των οδηγών παρανόμησε;

(Θεωρούμε ότι παρανόμησαν ακόμα και οι οδηγοί που έτρεχαν με 120 km/h )

Λύση:

α) Η συχνότητα της κλάσης 60 - 80 είναι 5, οπότε η σχετική συχνότητα της κλάσης

αυτής είναι:

Ομοίως, βρίσκουμε και τις υπόλοιπες σχετικές συχνότητες. Χρησιμοποιώντας τις

συχνότητες της 2ης στήλης του διπλανού πίνακα κατασκευάζουμε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

β) Παρανόμησαν όσοι οδηγοί ανήκουν στις τρεις τελευταίες κλάσεις,

δηλαδή 12 + 7 + 3 = 22 οδηγοί, δηλαδή ποσοστό

1.	Δίνονται τα ομαδοποιημένα δεδομένα του παρακάτω πίνακα.

Κλάσεις	0 – 5	5 – 10	10 – 15	15 – 20
Συχνότητες	3	5	8	4

Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

		Α	Β	Γ	Δ
1.	Το πλάτος της κάθε κλάσης είναι:	4	5	2	20
2.	Το κέντρο της κλάσης 5 – 10 είναι:	5	15	7,5	10
3.	Η συχνότητα της κλάσης 5 – 10 είναι:		8		5

Δίνονται οι βαθμοί που πήραν 20 μαθητές σ' ένα διαγώνισμα:

Nα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Κλάσεις	0 – 4	4 – 8	8 – 12	12 – 16	16 – 20
Συχνότητες
Σχετικές Συχνότητες

Στο παρακάτω ιστόγραμμα δίνονται οι ηλικίες 120 ατόμων που εργάζονται σ' ένα υπουργείο. Τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Το ορθογώνιο της κλάσης 40 – 50 δεν είναι συμπληρωμένο.

α) Να βρείτε τις συχνότητες των κλάσεων.

β) Να συμπληρώσετε το ιστόγραμμα.

Μικροπείραμα

Σε μια έρευνα ρωτήθηκαν 50 άτομα για τον αριθμό των ημερών που ξεκουράστηκαν τον τελευταίο μήνα.

Προέκυψαν οι παρατηρήσεις

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους.

β) Να γίνει το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Η βαθμολογία 30 μαθητών σ' ένα διαγώνισμα στο κεφάλαιο της Στατιστικής είναι:

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους.

β) Να γίνει το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Ο αριθμός των τροχαίων παραβάσεων στην Εθνική Οδό, που έγινε

κατά τη διάρκεια ενός μήνα ανά ημέρα, ήταν:

α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους.

β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Από μία έρευνα που έγινε σε 80 εργαζόμενους μιας επιχείρησης για το πόσες ημέρες ήταν άρρωστοι τον περασμένο χρόνο, βρέθηκαν τα αποτελέσματα που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:

Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.