B3.5: Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

3.5.	Εμβαδόν κυκλικού δίσκου

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κυκλικού δίσκου, χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο σε όσο πιο μικρά μέρη μπορούμε. Κόβουμε τα κομματάκια αυτά και κατόπιν τα τοποθετούμε όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα:

Παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ένα σχήμα που «μοιάζει» με ορθογώνιο. Αν συνεχίσουμε να χωρίζουμε τον κυκλικό δίσκο ολοένα σε πιο μικρά ίσα μέρη, τότε το τελικό σχήμα θα προσεγγίζει όλο και περισσότερο ένα ορθογώνιο, του οποίου η «βάση» είναι ίση με το μισό του μήκους του κύκλου, δηλαδή με πρ, και το «ύψος» με την ακτίνα του κύκλου.

Επομένως, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ισούται με το εμβαδόν του ορθογωνίου που σχηματίζεται, δηλαδή με ρ • πρ.

Επομένως:

Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ, ισούται με Ε = πρ²

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

1
Αν το μήκος ενός κύκλου είναι 6,28 cm, να βρείτε το εμβαδόν του.

Λύση:

Το μήκος του κύκλου δίνεται από τον τύπο L=2πρ, δηλαδή 6,28=2 • 3,14 ρ, οπότε ρ=1 (cm).

Τότε, το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου είναι:

Ε = πρ² = 3,14 • 1² = 3,14 (cm²).

Στο διπλανό σχήμα η κίτρινη περιοχή που βρίσκεται ανάμεσα στους δύο κύκλους ονομάζεται κυκλικός δακτύλιος.

Αν το εμβαδόν του κίτρινου δακτυλίου είναι ίσο με το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δίσκου, ο οποίος έχει ακτίνα $ρ = \sqrt{2}$ cm,

να βρείτε την ακτίνα R του μεγάλου κύκλου.

Λύση:

Το εμβαδόν Ε του δακτυλίου ισούται με τη διαφορά των εμβαδών Ε₁= πR² και E₂= πρ² των δύο κυκλικών δίσκων.

Επομένως, Ε = Ε₁ – E₂ = πR² – πρ².

Αφού Ε = E₂, θα έχουμε:

πR² – πρ² = πρ² ή πR² = 2πρ² ή R² = 2ρ² ή R² = 2($\sqrt{2}$)² = 4.

Οπότε: R = 2 cm.

Μια πιτσαρία προσφέρει πίτσες κυκλικού σχήματος σε τρία μεγέθη: τη μικρή, τη μεσαία και τη μεγάλη. Η μικρή έχει διάμετρο 23 cm και κοστίζει 7 €. Η μεσαία έχει διάμετρο 28 cm και κοστίζει 8 € και 50 λεπτά. Η μεγάλη έχει διάμετρο 33 cm και κοστίζει 11 € και 90 λεπτά.

Ποια από τις τρεις πίτσες συμφέρει από άποψη τιμής;

Μικροπείραμα

Λύση:

Για να συγκρίνουμε τις 3 πίτσες, αρκεί να βρούμε το κόστος τού 1 cm² για κάθε πίτσα.

Το κόστος του 1 cm² για κάθε πίτσα είναι:

Επομένως, συμφέρει να αγοράσουμε τη μεσαία πίτσα.

Ένας κύκλος έχει εμβαδόν ίσο αριθμητικά με το μήκος του. Η ακτίνα του είναι ίση με:

Α: 4 Β: 2 Γ: 6 Δ: 5.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Ένας κύκλος έχει μήκος L = 4 cm. Το εμβαδόν του είναι:

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

Αν τριπλασιάσουμε την ακτίνα ενός κύκλου (Ο, ρ), τότε το εμβαδόν του:

Α: διπλασιάζεται Β: τριπλασιάζεται Γ: εξαπλασιάζεται Δ: εννιαπλασιάζεται.

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.

4.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Ακτίνα ρ κύκλου	5 cm		2,5 cm
Εμβαδόν κύκλου Ε		28,26 cm²		942 cm²

5.	Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Ακτίνα ρ	Μήκος L	Εμβαδόν Ε
1 cm
2 cm
3 cm
4 cm
ρ cm
2ρ cm
3ρ cm
4ρ cm

Τι παρατηρείτε;

1.	Ένας κύκλος (Ο, ρ) έχει διάμετρο 10 cm. Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου που έχει τετραπλάσια επιφάνεια από τον κύκλο (Ο, ρ).
2.	Να βρείτε το εμβαδόν του μπλε κυκλικού δακτυλίου, αν ρ=2 cm και R=3 cm. Μικροπείραμα
3.	Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το μήκος και το εμβαδόν του κύκλου.
4.	Ένας κύκλος έχει ακτίνα 10 cm. Να κατασκευάσετε κυκλικό δίσκο με διπλάσιο εμβαδόν.
5.	Ένα τετράγωνο έχει πλευρά 3 cm. Να βρεθεί (κατά προσέγγιση) η ακτίνα ενός κυκλικού δίσκου που είναι ισοδύναμος (δηλαδή έχει το ίδιο εμβαδόν) με το τετράγωνο.

6.	Λυγίζουμε ένα σύρμα μήκους 1,256 m, ώστε να σχηματίσει κύκλο. Να βρείτε το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που αντιστοιχεί στο συρμάτινο κύκλο.
7.	Να υπολογίσετε το εμβαδόν κυκλικού δίσκου που είναι περιγεγραμμένος σε τετράγωνο πλευράς α = 6 cm. Μικροπείραμα
8.	Ένας κυκλικός δίσκος έχει εμβαδόν 144π cm². Να βρείτε το μήκος του τόξου του κύκλου που αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία 60°.