B3.1: Εγγεγραμμένες γωνίες

3.1.	Εγγεγραμμένες γωνίες

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί τα θέατρα, όπως η Επίδαυρος, έχουν «κυκλικό» σχήμα;

Γιατί από κάθε κάθισμα, που βρίσκεται πάνω στον κύκλο, ο θεατής «βλέπει τη σκηνή με την ίδια γωνία φ».

Οι γωνίες που βλέπουμε στο διπλανό σχήμα έχουν την κορυφή τους (θεατής) πάνω στον κύκλο και οι δύο πλευρές τους τέμνουν τον κύκλο.

Μικροπείραμα

Μια γωνία που η κορυφή της Α ανήκει στον κύκλο (Ο, ρ) και οι πλευρές της Ax, Ay τέμνουν τον κύκλο, λέγεται εγγεγραμμένη γωνία στον κύκλο (Ο, ρ).

Το τόξο του κύκλου (Ο, ρ) που περιέχεται στην εγγεγραμμένη γωνία λέγεται αντίστοιχο τόξο της.

Επίσης, λέμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία βαίνει στο τόξο .

Στο Πανεπιστήμιο γίνεται μάθημα στο Αμφιθέατρο. Δύο φοιτητές, ο Αντώνης και ο Μιχάλης, κάθονται σε μία σειρά θέσεων που σχηματίζει με την έδρα ημικύκλιο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
Στο διάλειμμα ο Αντώνης μέτρησε την απόστασή του από τα δύο άκρα Β, Γ της έδρας και βρήκε ότι ΑΒ = 3 m, ΑΓ = 4 m, ενώ έχουμε ότι ΒΓ = 5 m. Ο Μιχάλης, αντίστοιχα, βρήκε ότι ΒΜ = 4,47 m και ΜΓ = 2,24 m.

α) Να εξετάσετε αν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΜΓ.

β) Τι γωνίες είναι οι ;

γ) Τι γωνίες νομίζετε ότι θα είναι η , αν οι μαθητές καθίσουν σε άλλες θέσεις της ίδιας σειράς;

Λύση

α) Έχουμε ότι:

ΑΒ² + ΑΓ² = 3² + 4² = 25 = 5² = ΒΓ²

$BM^2 + ΜΓ^2 = (4,47)^2 + (2,24)^2 = 25 = ΒΓ^2$

Επομένως, ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα και στα δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΜΓ.

β) Αφού ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα έχουμε ότι:

δηλαδή τα τρίγωνα είναι ορθογώνια.

γ) Συμπεραίνουμε ότι η προηγούμενη διαπίστωση ισχύει γενικά, δηλαδή:

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Επομένως, κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιοείναι ίση με το μισό της αντίστοιχης επίκεντρης που είναι ευθείαγωνία. Το συμπέρασμα αυτό ισχύει για κάθε εγγεγραμμένη καιτην αντίστοιχη επίκεντρη γωνία της.

Συγκεκριμένα

	Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το μισό της επίκεντρης που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο.
	Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενός κύκλου που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους ίσες.
	Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του αντίστοιχου τόξου της.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

1

Λύση:

Μικροπείραμα Μικροπείραμα

2

Λύση:

3

Λύση:

1.	Στα παρακάτω σχήματα ποιες από τις γωνίες είναι εγγεγραμμένες και ποιες επίκεντρες;
2.	Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.
3.	Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.
4.	Αν σε κύκλο φέρουμε δύο κάθετες διαμέτρους, τότε τα τέσσερα ίσα τόξα είναι: Α: 80° Β: 180° Γ: 90° Δ: 45°. Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση.
5.	Στον παρακάτω πίνακα να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση.

		Α	Β	Γ
α)	To μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει σε ημικύκλιο είναι:	180°	60°	90°
β)	Αν σ' έναν κύκλο μια επίκεντρη γωνία είναι ίση με μια εγγεγραμμένη, τότε για τα αντίστοιχα τόξα ισχύει:	είναι ίσα	Το τόξο της επίκεντρης είναι διπλάσιο από το τόξο της εγγεγραμμένης	Το τόξο της επίκεντρης είναι ίσο με το μισό του τόξου της εγγεγραμμένης
γ)	Η άκρη του ωροδείκτη ενός ρολογιού σε 3 ώρες διαγράφει τόξο:	60°	90°	30°
δ)	Η άκρη του λεπτοδείκτη ενός ρολογιού σε 45 λεπτά διαγράφει τόξο:	45°	90°	270°

1.	Να υπολογίσετε τις γωνίες φ και ω που υπάρχουν στα παρακάτω σχήματα.
2.
3.
4.	Να υπολογίσετε τη γωνία φ στο παρακάτω σχήμα.
5.

6.
7.	Να υπολογίσετε τις γωνίες x, y στο παρακάτω σχήμα.
8.
9.