Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Β' - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
 
Β.3.3. Παραλληλόγραμμο - Ορθογώνιο - Ρόμβος - Τετράγωνο - Τραπέζιο - Ισοσκελές τραπέζιο
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
H υπηρεσία οδικής ασφάλειας αποφάσισε να βάψει το οδόστρωμα σε όλες τις διασταυρώσεις με έντονο κίτρινο χρώμα. Γα να κάνει τους υπολογισμούς της, πρέπει να βρεθεί το ακριβές σχήμα του οδοστρώματος στο κοινό μέρος δύο δρόμων, σε κάθε διασταύρωση.

Εικόνα

Εικόνα

Με την προϋπόθεση ότι οι δρόμοι που διασταυρώ­νονται είναι ευθείς, προσπάθησε να βρεις όλες τις περιπτώσεις των τετραπλεύρων που σχηματίζουν οι δρόμοι:
(α)      όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται καθέτως.
(β)      όταν έχουν διαφορετικό πλάτος και τέμνονται καθέτως.
(γ)      όταν έχουν το ίδιο πλάτος και τέμνονται πλαγίως.
(δ)      όταν έχουν διαφορετικό πλάτος και τέμνονται πλαγίως.

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Παραλληλόγραμμο λέγεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, δηλαδή ΑΒ//ΓΔ και ΑΔ//ΒΓ.
  • Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να ονομαστεί βάση του
    παραλληλογράμμου.
  • Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου.

Εικόνα

Για τις βάσεις ΑΒ και ΓΔ ύψος είναι το ΕΖ, ενώ για τις βάσεις ΑΔ και ΒΓ ύψος είναι το ΗΘ.

Ειδικές περιπτώσεις παραλληλογράμμων
 
  • Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο.

Εικόνα
 
  • Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται ρόμβος.
Εικόνα
 
  • Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται τετράγωνο.
Εικόνα

Τραπέζιο

 
  • Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του οποίου μόνο δύο πλευρές είναι παράλληλες λέγεται τραπέζιο.

  • Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ, ΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) του τραπεζίου λέγονται βάσεις του τραπεζίου.

  • Η απόσταση των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου

Εικόνα

 

  • Αν ένα τραπέζιο έχει τις μη παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές τραπέζιο.

Εικόνα

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα Να εξηγήσετε γιατί οι πλευρές του ορθογωνίου είναι και ύψη. Εικόνα
Εικόνα

 

 

Επειδή όλες οι γωνίες του ορθογωνίου είναι ορθές, οι διαδοχικές πλευρές του θα είναι κάθετες μεταξύ τους. Επομένως οι πλευρές του ορθογωνίου είναι και ύψη.

Εικόνα
Εικόνα Να συγκριθούν τα ύψη του ρόμβου που άγονται από μία κορυφή.  
Εικόνα    
 

Συγκρίνουμε με το διαβήτη ή με διαφανές χαρτί τα ύψη ΑΕ και ΑΖ του ρόμβου και διαπιστώνουμε ότι είναι ίσα, δηλαδή: ΑΕ = ΑΖ.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
 
Εικόνα Να σχεδιαστούν τα ύψη του παραλληλογράμμου που άγονται από μία κορυφή.  
Εικόνα    
 

Τα ύψη του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ που φέρνουμε από την κορυφή Α στις πλευρές ΔΓ και ΒΓ είναι τα ΑΕ και ΑΖ αντίστοιχα

 

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
 
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Εικόνα

Εικόνα

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α)

Ένα τετράγωνο είναι και ρόμβος.

   
(β) Ένας ρόμβος είναι τετράγωνο.    
(γ)  Κάθε διαγώνιος ορθογωνίου παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ορθογώνια τρίγωνα.    
(δ)  Κάθε διαγώνιος ρόμβου τον χωρίζει σε δύο ισόπλευρα τρίγωνα.    
(ε) Κάθε διαγώνιος ισοσκελούς τραπεζίου το χωρίζει σε δύο ισοσκελή τρίγωνα.    
Εικόνα Πόσα ισοσκελή τρίγωνα σχηματίζονται σ' ένα ισοσκελές τραπέζιο, που έχει τρεις πλευρές ίσες, όταν φέρουμε τις δύο διαγώνιες του; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.
Εικόνα Με τέσσερα σπίρτα (ολόκληρα και ίσα) ποια τετράπλευρα μπορείς να κατασκευάσεις; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.
Εικόνα Με δύο ολόκληρα και δύο μισά σπίρτα μπορείς να κατασκευάσεις παραλληλόγραμμα και ποια; Δικαιολόγησε την απάντησή σου.
 
ΔΡΑΣΤΗΙΡΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ
  • Προσπάθησε να χωρίσεις τα πιο κάτω τετράπλευρα σε ομάδες.
  • Δώσε από ένα όνομα στο καθένα.
  • Προσπάθησε να δικαιολογήσεις το χωρισμό σε ομάδες που έκανες.

Εικόνα

 
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
Εικόνα Ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του προτείνει μια ταξινόμηση (Διάγραμμα 1), που δεν χρησιμοποιεί ως κριτήριο την παραλληλία, την οποία εισάγει αργότερα. Τραπέζιο ονομάζει, όχι εκείνο που λέμε εμείς  σήμερα, δηλαδή το τετράπλευρο με δύο μόνο πλευρές παράλληλες, αλλά οποιο­δήποτε τετράπλευρο. Τον όρο τραπέζιο, με τη σύγχρονη έννοια, τον συναντάμε αργότερα στον Αρχιμήδη.Επίσης το τετράπλευρο που ονομάζει ρομβοειδές εκφράζει το σημερινό παραλληλόγραμμο Εικόνα
Εικόνα

Μια προσπάθεια διόρθωσης της Ευκλείδειας ταξινόμησης απαντάται τον 16ο αιώνα στη "Γεωμετρία" (1569) του Petrus Ramus ή Pierre de la Ramée.

Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα      Μικροπείραμα μικροπείραμα     Μικροπείραμα μικροπείραμα      Μικροπείραμα μικροπείραμα


Μικροπείραμα μικροπείραμα      Μικροπείραμα μικροπείραμα     Μικροπείραμα μικροπείραμα