Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες
 
Β.1.9. Θέσεις ευθειών στο επίπεδο
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Οι διαγραμμίσεις του αυτοκινητόδρομου στη διπλανή εικόνα συναντώνται (τέμνονται) κάπου;

  • Μπορείς να δικαιολογήσεις την απάντησή σου;
 Εικόνα
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
  Εικόνα

Στη διπλανή εικόνα προσπάθησε να βρεις τη σχετική θέση των ευθειών:

(α) ΑΒ και ΗΕ, (β) ΑΒ και ΒΓ, (γ) ΗΕ και ΚΛ, (δ) ΗΖ και ΖΕ, (ε) ΑΘ και ΒΓ.

(Δικαιολόγησε την απάντησή σου).

 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου λέγονται παράλληλες, αν δεν έχουν κοινό σημείο όσο κι αν προεκταθούν.
  • Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο τομής των δύο ευθειών.

Επομένως:

  • Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή θα τέμνονται.
Πως συμβολίζουμε την παραλληλία δύο ευθειών
  • Για να δηλώσουμε ότι δύο ευθείες ε1, και ε2 είναι παράλληλες, χρησιμοποιούμε το σύμβολο "//" και γράφουμε ε1//ε2.
 Εικόνα
Για τα τμήματα των ευθειών μπορούμε να πούμε ότι:

  • Δύο ευθύγραμμα τμήματα που βρίσκονται πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες, θα λέγονται παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα και γράφουμε ΑΒ//ΓΔ.

 Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα Να βρεθούν ποιες από τις ευθείες του σχήματος είναι παράλληλες και ποιες τεμνόμενες.

 

Εικόνα

 Εικόνα
Εικόνα

 
 

Παράλληλες είναι οι ευθείες δ1, και δ2 (δ1//δ2).

Τεμνόμενες είναι οι ευθείες: (α) ε1 και ε2 στο σημείο Α, (β) ε1 και δ1 στο σημείο Δ, (γ) ε1 και δ2 στο σημείο Ε, (δ) ε2 και δ1 στο σημείο Β και (ε) ε2 και δ2 στο σημείο Γ.

Εικόνα Να σχεδιαστεί ευθεία ε1 που να είναι παράλληλη προς μια ευθεία ε και να διέρχεται από σημείο Α, το οποίο δεν ανήκει στην ευθεία ε
Εικόνα      
 

1ος τρόπος: Στα παρακάτω σχήματα βλέπουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να σχεδιάσουμε με τον κανόνα και τον γνώμονα την ευθεία ε1 που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη προς την ε.

Εικόνα

2ος τρόπος: Χρησιμοποιούμε τον γνώμονα για να φέρουμε κάθετο ΑΒ από το σημείο Α στην ευθεία ε. Στη συνέχεια φέρνουμε την ε1 κάθετη από το Α στην ΑΒ η οποία είναι η ζητούμενη παράλληλη της ε.

Εικόνα
 
  • Δύο ευθείες του επιπέδου κάθετες σε μια ευθεία είναι μεταξύ τους παράλληλες.

Μπορούμε άραγε να φέρουμε κι άλλη (διαφορετική) παράλληλη ευθεία από το Α προς την ε;

 
 

Δεχόμαστε ότι ισχύει η πρόταση:

  • Από ένα σημείο Α, εκτός ευθείας ε, διέρχεται μία και μοναδική ευθεία ε1 παράλληλη στην ε.
Εικόνα
 
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ Εικόνα
Εικόνα

Ο Πλάτωνας έγραψε στην είσοδο της Ακαδημίας το ρητό: «ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΙΤΩ», δίνοντας ιδιαίτερο βάρος στη σπουδή και τη γνώση της Γεωμετρίας. Το σημαντικότερο έργο Γεωμετρίας στην αρχαιότητα ήταν τα "Στοιχεία" (13 βιβλία) του Ευκλείδη (άκμασε περίπου το 300 π.Χ.), που απετέλεσε σταθμό στη Γεωμετρία και αναδείχτηκε σε πρότυπο μαθηματικής σκέψης. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη αναγνωρίζονται διεθνώς ως ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του ανθρωπίνου πνεύματος. Δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι μαζί με τη Βίβλο είναι από τα συγγράμματα που είχαν τις περισσότερες εκδόσεις. Ο διάσημος Γάλλος μαθηματικός Jean Dieudonne, έγραψε για τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, ότι: "Η Γεωμετρία των Αρχαίων Ελλήνων είναι ίσως το πιο εκπληκτικό πνευματικό δημιούργημα του ανθρώπου. Χάρη στους Έλληνες μπορέσαμε να οικοδομήσουμε τη σύγχρονη επιστήμη".

   
Εικόνα

Ο Ευκλείδης στα "Στοιχεία" του ορίζει ως παράλληλες: "ΤΙΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΚΕΙΝΕΣ ΠΟΥ ΕΥΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΑΙ ΠΡΟΕΚΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΕΠ' ΑΠΕΙΡΟΝ ΚΙ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΡΗ ΔΕ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΕ ΚΑΝΕΝΑ ΑΠ' ΑΥΤΑ" (Ορισμός 23) και αμέσως μετά διατυπώνει το διάσημο «5ο Αίτημα», δηλαδή την πρόταση ότι: "ΕΑΝ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΤΕΜΝΕΙ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΙΣ ΕΝΤΟΣ ΚΑΙ ΕΠΙ ΤΑ ΑΥΤΑ ΜΕΡΗ ΓΩΝΙΕΣ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΟΡΘΕΣ, ΤΟΤΕ ΟΙ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΡΟΕΚΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΕΠ' ΑΠΕΙΡΟΝ ΣΥΝΑΝΤΩΝΤΑΙ ΣΤΟ ΜΕΡΟΣ ΠΟΥ ΟΙ ΣΧΗΜΑΤΙΖΟΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΕΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΟΡΘΕΣ"

 

Σήμερα το 5ο αίτημα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας διατυπώνεται με την εξής μορφή: "Από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται προς αυτήν μία μόνο παράλληλη". Στη διατύπωση αυτή συνέβαλε σημαντικά το 1899 ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert.

 Εικόνα
Η αλήθεια της πρότασης αυτής φαίνεται να προκύπτει αβίαστα από την καθημερινή μας εμπειρία. Όμως, από την αρχαιότητα μέχρι τις αρχές του περασμένου αιώνα, έγιναν πολλές αποτυχημένες προσπάθειες να αποδειχθεί με βάση τις άλλες ισχύουσες προτάσεις της Γεωμετρίας. Η πλήρης αποτυχία των προσπαθειών, όμως, δεν πήγε χαμένη. Αποδείχθηκε ότι εκείνο που έφταιγε ήταν το πλαίσιο μέσα στο οποίο γινόντουσαν οι προσπάθειες αυτές, δηλαδή η συγκεκριμένη "Ευκλείδεια" Γεωμετρία. Έτσι αναπτύχθηκαν και άλλες γεωμετρίες στις οποίες δεν ισχύει το αίτημα αυτό.

 

Εικόνα Συγκεκριμένα ο Ρώσος μαθηματικός Nikolai Lobatchevsky (1792-1856) προτείνει μία διαφορετικού τύπου Γεωμετρία, την "Υπερβολική", στην οποία το 5ο αίτημα αντικαθίσταται από την πρόταση ότι: "από σημείο εκτός ευθείας υπάρχουν περισσότερες από δύο παράλληλες προς αυτήν". Η Γεωμετρία αυτή περιγράφει χώρους που έχουν παράξενες ιδιότητες, όπως ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από δύο ορθές κ.α. Ένας τέτοιος χώρος είναι π.χ. το εσωτερικό του κύκλου στον παράπλευρο πίνακα του Ολλανδού ζωγράφου Escher. Εικόνα
Εικόνα

 

Επίσης, ο Bernhard Riemann (1826-1866) θεμελίωσε την λεγόμενη "Ελλειπτική" Γεωμετρία, στην οποία ισχύει ότι: "από ένα σημείο εκτός ευθείας δεν υπάρχει καμία παράλληλη προς αυτήν" και στην οποία στηρίχθηκε ο Albert Einstein για να διατυπώσει την περίφημη θεωρία του, της Σχετικότητας.

 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Εικόνα

 

Τοποθέτησε ένα "Χ" στη θέση που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

(α)

Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κανένα κοινό σημείο λέγονται:
ΕικόναΠαράλληλες

ΕικόναΤεμνόμενες

ΕικόναΚάθετες.

(β) Από ένα σημείο Α, εκτός ευθείας ε, διέρχεται:

ΕικόναΜία και μοναδική κάθετη ευθεία στην ε.

ΕικόναΔύο διαφορετικές κάθετες ευθείες στην ε.

ΕικόναΚαμία κάθετη ευθεία στην ε.

(γ) Αν δύο ευθείες του επιπέδου είναι κάθετες σε μια ευθεία, τότε είναι μεταξύ τους:

ΕικόναΚάθετες

ΕικόναΠαράλληλες

ΕικόναΤεμνόμενες
Εικόνα
Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:

(α)

Από ένα σημείο μπορούν να περάσουν ..................... ευθείες.

(β)

Δύο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή θα είναι παράλληλες ή ..............................

(γ)

Δύο ευθείες του επιπέδου κάθετες σε μια ευθεία είναι μεταξύ τους ............................

(δ)

Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου, που δεν έχουν κοινό σημείο είναι ..............................

(ε)

Δύο ευθείες του ιδίου επιπέδου που έχουν ένα κοινό σημείο λέγονται ……......................... και το κοινό τους σημείο λέγεται σημείο ........................... των δύο ευθειών.

Εικόνα Να χαράξεις τρεις ευθείες ε1, ε2 και ε3, ώστε: (α) οι ευθείες αυτές να μην τέμνονται, (β) η μία να τέμνει τις άλλες δύο, (γ) να τέμνονται ανά δύο και (δ) να έχουν κοινό σημείο.
Εικόνα

Να σχεδιάσεις δύο ευθείες που να διέρχονται από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος και να είναι κάθετες σ' αυτό.
Εικόνα

Να σχεδιάσεις δύο ημιευθείες Οχ και Ογ, οι οποίες να μην περιέχονται στην ίδια ευθεία Να σημειώσεις στην Οχ τρία σημεία Α, Β και Γ. Από κάθε σημείο από αυτά να σχεδιάσεις ευθεία παράλληλη προς την Ογ.
Εικόνα

Να σχεδιάσεις μια ευθεία ε και δύο σημεία Α και Β που δεν ανήκουν στην ευθεία αυτή. Να φέρεις από τα Α και Β ευθείες παράλληλες προς την ε και να εξετάσεις σε ποια περίπτωση οι δύο αυτές παράλληλες συμπίπτουν.