Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο

Μέρος Β' - Κεφάλαιο 1ο - Βασικές γεωμετικές έννοιες

Β.1.1. Σημείο – Ευθύγραμμο τμήμα – Ευθεία – Ημιευθεία – Επίπεδο – Ημιεπίπεδο άξονα

Στο Δημοτικό μάθαμε τις βασικές γεωμετρικές έννοιες όπως σημείο, ευθεία, επίπεδο και γνωρίσαμε τα απλά γεωμετρικά σχήματα όπως τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, τετράγωνο και κύκλο.

Τώρα αφού ξαναθυμηθούμε αυτές τις έννοιες και τα σχήματα, μπορούμε να αναζητήσουμε περισσότερα χαρακτηριστικά τους στοιχεία, να ανακαλύψουμε τις ιδιότητές τους και να προχωρήσουμε σε πιο σύνθετα σχήματα. Έτσι θα ασκήσουμε περισσότερο την παρατηρητικότητά μας, θα βελτιώσουμε την αντίληψη και θα οργανώσουμε καλύτερα τις σκέψεις. Ας αρχίσουμε λοιπόν.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η

Πώς μπορείς να ονομάσεις το σχήμα μιας τεντωμένης κλωστής;

Το σχήμα που φαίνεται πιο κάτω αποτελείται από μερικά σημεία το ένα δίπλα στο άλλο.

Μπορείς να το χαρακτηρίσεις με το ίδιο τρόπο; Κι αν όχι, γιατί;

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Δίνονται τρία διαφορετικά σημεία Α, Β και Γ. Ένωσέ τα με ευθύγραμμα τμήματα, ανά δύο, και δώσε ονομασία σε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που σχηματίζονται.

Τι παρατηρείς;

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Το σημείο

Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου.

Το ευθύγραμμο τμήμα

Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.
Τα σημεία Α και Β είναι τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος.
Λέμε ότι τα σημεία Α και Β ορίζουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ

Εικόνα

Κατασκευάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, συνδέοντας δύο σημεία Α και Β, με τη βοήθεια ενός χάρακα ("κανόνα").

Η ευθεία

Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, τότε το νέο σχήμα, που δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος, λέγεται ευθεία.
Συμβολίζουμε μια ευθεία με ένα μικρό γράμμα από τα αρχικά του αλφαβήτου, π.χ. (ε), ή με δύο μικρά γράμματα από τα τελευταία του αλφαβήτου π.χ. x΄x, y΄y.

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.
Από δύο σημεία διέρχεται μια μόνο ευθεία.

Μικροπείραμα

Η ημιευθεία
Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πέρα από το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το Β, τότε το νέο σχήμα, που έχει αρχή το Α αλλά δεν έχει τέλος, λέγεται ημιευθεία.
Η ημιευθεία συμβολίζεται με ένα κεφαλαίο γράμμα που δηλώνει την αρχή της και ένα μικρό από τα τελευταία γράμματα, π.χ. Αx, Βy κ.λπ.
	Εάν Ο είναι ένα σημείο της ευθείας x΄x, τότε με αρχή το Ο ορίζονται δύο ημιευθείες Οx και Οx΄, οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες.

Μικροπείραμα Μικροπείραμα Μικροπείραμα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Έχεις ακούσει εκφράσεις όπως: "Στο επίπεδο του ορίζοντα φαίνεται να χάνεται ο δρόμος". "Οι χώρες της Δύσης έχουν υψηλό επίπεδο ανάπτυξης". "Η επίπεδη οθόνη είναι καλύτερη από την κυρτή". "Οι σχέσεις τους βρίσκονται σε καλό επίπεδο". "Η επιφάνεια του εδάφους στην περιοχή αυτή είναι επίπεδη".

Αλλά και στον υλικό κόσμο, που βρίσκεται γύρω μας, μπορείς να δεις και να αναγνωρίσεις πολλές επίπεδες επιφάνειες. Τους τοίχους της τάξης, την οροφή του δωματίου, ένα κάδρο, την πίστα προσγείωσης, την επιφάνεια του ήρεμου νερού, τον ισημερινό της Γης.

Ποιο χαρακτηριστικό ή ονομασία μπορείς να δώσεις σε μια τέτοια επιφάνεια;

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Το επίπεδο
Επίπεδο είναι μια επιφάνεια, πάνω στην οποία εφαρμόζει παντού η ευθεία γραμμή.
	Ένα επίπεδο επεκτείνεται απεριόριστα. Από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένα μοναδικό επίπεδο, ενώ από ένα ή δύο σημεία διέρχονται άπειρα επίπεδα. Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο μέρη, ώστε, αν θέλουμε να περάσουμε από το ένα μέρος του χώρου στο άλλο, πρέπει να διαπεράσουμε το επίπεδο.
Η ονομασία του επιπέδου δίνεται με ένα κεφαλαίο γράμμα του αλφάβητου π.χ. Π, Ρ, Σ κ.λπ.
Το ημιεπίπεδο
Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα. Μικροπείραμα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ας πάρουμε από τα γνωστά μας σχήματα το τρίγωνο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ και το τετράπλευρο, με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και ας δούμε, ποια ονομασία έχουν τα ευθύγραμμα τμήματα που βλέπουμε στα σχήματα αυτά.

Στο τρίγωνο ΑΒΓ, τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλευρές του τριγώνου.

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ έχει πλευρές τα τμήματα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές.

Τα τμήματα ΑΓ και ΒΔ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνιες του τετραπλεύρου.

Εικόνα

Έστω τρία σημεία Α, Β και Γ που δεν ανήκουν και τα τρία σε μια ευθεία. Πόσες ευθείες περνούν από το Α; Πόσες από τις ευθείες αυτές περνούν από το Β; Το Γ είναι σημείο της ευθείας ΑΒ;

Από το Α διέρχονται άπειρες ευθείες. Μια από αυτές περνάει και από το Β.

Επειδή τα σημεία Α, Β και Γ δεν ανήκουν και τα τρία σε μια ευθεία, το σημείο Γ δεν μπορεί να είναι σημείο της ευθείας ΑΒ.

Στο σχήμα φαίνονται πέντε σημεία, τα Α, Β, Γ, Δ και Ε. Να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα, που έχουν άκρα τα σημεία αυτά. Πόσα διαφορετικά ευθύγραμμα τμήματα είναι;

Κάθε σημείο είναι άκρο ενός από τα τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα, που το συνδέουν με τα υπόλοιπα τέσσερα σημεία. Επομένως:

Το σημείο Α είναι άκρο των τμημάτων: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ,ΑΕ

Το σημείο Β είναι άκρο των τμημάτων: ΒΑ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ

Το σημείο Γ είναι άκρο των τμημάτων: ΓΑ, ΓΒ, ΓΔ, ΓΕ

Το σημείο Δ είναι άκρο των τμημάτων: ΔΑ, ΔΒ, ΔΓ, ΔΕ

Το σημείο Ε είναι άκρο των τμημάτων: ΕΑ, ΕΒ, ΕΓ, ΕΔ

Στα παραπάνω, κάθε τμήμα εμφανίζεται δύο φορές π.χ. το ΑΒ και ΒΑ, αφού το τμήμα έχει δύο άκρα. Έτσι, στο σχήμα, δεν είναι είκοσι (20) διαφορετικά τμήματα, αλλά δέκα (10) τα: ΑΒ, ΑΓ, ΑΔ, ΑΕ, ΒΓ, ΒΔ, ΒΕ, ΓΔ, ΓΕ, ΔΕ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:

(α)	Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει την εικόνα της έννοιας του .................................................................................................... .
(β)	Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πέρα από τα δύο άκρα του, Α και Β, παίρνουμε το σχήμα που λέγεται ......................
(γ)	Αν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ πέρα από το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το Β, παίρνουμε το σχήμα που λέγεται ......................................
(δ)	................................... λέγονται δύο ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και που οι δύο μαζί αποτελούν μία ευθεία.
(ε)	Η επιφάνεια, πάνω στην οποία η απεριόριστη ευθεία γραμμή εφαρμόζει παντού ολόκληρη είναι το ..................

Να δώσεις δική σου ονομασία σε όλα (α) τα σημεία και (β) τα ευθύγραμμα τμήματα των παρακάτω ευθυγράμμων σχημάτων.

Εικόνα

Πάρε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ πάνω σε μια ευθεία και ένα σημείο Κ που δεν βρίσκεται στην παραπάνω ευθεία. Ένωσε το Κ με τα Α, Β, Γ, Δ και ονόμασε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα του σχήματος.

Εικόνα

Πάνω σε μια ευθεία x΄x παίρνουμε δύο σημεία Α και Β. Ονόμασε τις αντικείμενες ημιευθείες που έχουν αρχή το Α και τις αντικείμενες ημιευθείες που έχουν αρχή το Β.

Εικόνα

Στο διπλανό σχήμα χάραξε τις αντικείμενες ημιευθείες των ημιευθειών ΑΒx, ΒΓy και ΓΑz.

Εικόνα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Σχεδίασε ένα πολύγωνο που να έχει: (α) Λιγότερες διαγώνιες από πλευρές, (β) ίδιο αριθμό διαγωνίων και πλευρών, (γ) περισσότερες διαγώνιες από πλευρές.

Μικροπείραμα

Στον διπλανό χάρτη φαίνονται έξι (6) πόλεις της Ελλάδας, που δε βρίσκονται ανά τρεις στην ίδια ευθεία:

Α (Αλεξανδρούπολη), Ρ (Ρόδος), Η (Ηράκλειο), Χ (Χανιά), Κ (Κέρκυρα) και Θ (Θεσσαλονίκη). Μπορείς να σχεδιάσεις τις απ' ευθείας αεροπορικές συνδέσεις μεταξύ των πόλεων αυτών; Ονόμασε τις συνδέσεις αυτές χρησιμοποιώντας τα γράμματα των πόλεων. Μπορείς να βρεις πόσες τέτοιες συνδέσεις υπάρχουν, δικαιολογώντας κατάλληλα την απάντησή σου;

Μικροπείραμα