Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών Α7.9. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί
 
Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Εικόνα

Ένας υπολογιστής μολύνθηκε από κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητα να καταστρέφει τα ηλεκτρονικά αρχεία με τον εξής τρόπο:

Κάθε μολυσμένο αρχείο μόλυνε, με τη σειρά του, τρία άλλα αρχεία μέσα σε μία ώρα λειτουργίας του υπολογιστή.

  • Προσπάθησε να βρεις, πόσα αρχεία θα έχουν μολυνθεί σε πέντε ώρες.
Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα    Μικροπείραμα μικροπείραμα

 

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Συμβολισμοί
Εικόνα
  • Εικόνα
  • Για ν = 1, γράφουμε α1 = α
  • Η δύναμη αν διαβάζεται και νιοστή δύναμη του α.
  • Η δύναμη α2 λέγεται και τετράγωνο του α ή α στο τετράγωνο.
  • Η δύναμη α3 λέγεται κύβος του α ή α στον κύβο.

Πρόσημο δύναμης

Παρατηρούμε ότι: Γενικά ιοχύει ότι:
Εικόνα
  • Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός.
    Αν α > 0, τότε αν > 0
Εικόνα
  • Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη άρτιο είναι θετικός αριθμός.
    Αν α < 0 και ν άρτιος, τότε αν> 0
Εικόνα
  • Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός.
    Αν α < 0και ν περιττός, τότε αν< 0

Ιδιότητες δυνάμεων ρητών με εκθέτη φυσικό

Παρατηρούμε ότι: Γενικά ιοχύει ότι:
Εικόνα
  • Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το άθροισμα των εκθετών.
αμ · αν = αμ+ν
Εικόνα
  • Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου.
αμ : αν = αμ-ν
Εικόνα
  • Για να υψώσουμε ένα γινόμενο σε εκθέτη, υψώνουμε κάθε παράγοντα του γινομένου στον εκθέτη αυτό.
(α · β)ν = αν · βν
Εικόνα
  • Για να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε καθένα από τους όρους του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.
    Εικόνα
Εικόνα
  • Για να υψώσουμε μία δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο γινόμενο των εκθετών.
μ)ν = αμ ·ν
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων: (α) -33, (β) (-3)3, (γ) -34, (δ) (-3)4. Τι παρατηρείτε;

Εικόνα
Εικόνα
(α) Η παράσταση θα είναι: -33 - -3·3·3 = -27
(β)

Επειδή ο εκθέτης είναι περιττός, η δύναμη θα είναι αρνητικός αριθμός.

Άρα, θα είναι: (-3)3 = (-3)·(-3)·(-3) = -33 = -27
(γ) Η παράσταση θα είναι: -34 = -3·3·3·3 = -81
(δ)

Επειδή ο εκθέτης είναι άρτιος, η δύναμη θα είναι θετικός αριθμός.

Άρα, θα είναι: (-3)4 = (-3)·(-3)·(-3)·(-3) = +34 = +81
Εικόνα Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Π=(-2)3·3-34+(-2)4:16+[-1-(-1)7·8]  
Εικόνα    
 

Η σειρά των πράξεων είναι η εξής: 1ο Δυνάμεις, 2ο Πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις, 3ο Προσθέσεις και αφαιρέσεις.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις, προηγούνται οι πράξεις μέσα σ' αυτές με την ίδια σειρά. Άρα:

Π=(-2)3·3-34+(-2)4:16+[-1-(-1)7·8]  = (-8)·3-81+(+16):16+[-1+8] = - -24-81+1+7 = -97

 
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

 

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α) 

Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι........................................................ αριθμός.

(β) Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό και εκθέτη.............................................................. είναι θετικός αριθμός.
(γ) Δύναμη με βάση.................................... αριθμό και εκθέτη περιττό είναι αρνητικός αριθμός.
(δ) Για να πολλαπλασιάσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη το ..................................................... των εκθετών.
(ε) Για να διαιρέσουμε δυνάμεις με την ίδια βάση, αφήνουμε την ίδια βάση και βάζουμε εκθέτη ..............................................
(στ) Γα να υψώσουμε ένα γινόμενο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε ......................................................................................... του γινομένου στον εκθέτη αυτό.
(ζ) Γα να υψώσουμε ένα πηλίκο σε έναν εκθέτη, υψώνουμε ......................................................................................... του πηλίκου στον εκθέτη αυτό.
(η) Για να υψώσουμε μια δύναμη σε έναν εκθέτη, υψώνουμε τη βάση της δύναμης στο ....................................................... των εκθετών
Εικόνα Βρες με ποιο στοιχείο της 2ης και της 3ης γραμμής αντίστοιχα είναι ίσο κάθε στοιχείο της 1ης γραμμής του παρακάτω πίνακα.
  Εικόνα
Εικόνα

Υπολόγισε τις τιμές των παραστάσεων: Α = (-1)1 +(-1)2 +(-1)3 + (-1)4 + (-1)5, Β = 32·54 - 25-45 + 87,5·43,   Εικόνα