Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α7.6. Διαίρεση ρητών αριθμών Α7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί
 
Α.7.7. Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Τέσσερις μαθητές, ο Κώστας, η Μαρία, η Ελένη και ο Γιώργος, πήγαν στο γήπεδο του σχολείου τους για να τρέξουν γύρω από αυτό. Ένας γύρος του γηπέδου είναι 400 μέτρα. Ο Κώστας έτρεξε το $\frac{1}{10}$ του γύρου, η Μαρία έτρεξε το $\frac{1}{4}$ του γύρου, η Ελένη έτρεξε μισό γύρο και ο Γιώργος έτρεξε το $\frac{1}{9}$ του γύρου.

  • Ποιό είναι το ακριβές μήκος σε μέτρα που έτρεξε το καθένα από τα παιδιά;
Εικόνα
 
Σκεφτόμαστε

Για να βρούμε πόσα μέτρα έτρεξε ο Κώστας διαιρούμε το 400 με το 10 και βρίσκουμε: 400 : 10 = 40 μέτρα. Με τον ίδιο τρόπο, για τη Μαρία βρίσκουμε: 400 : 4 = 100 μέτρα και για την Ελένη 400 : 2 = 200 μέτρα.

 

Όταν φτάσουμε στον Γιώργο, κάνοντας τη διαίρεση του 400 με το 9 παρατηρούμε ότι η διαίρεση δεν είναι τέλεια, αλλά δίνει πηλίκο 44 και υπόλοιπο 4. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση, επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι πάντα το ίδιο, τα δεκαδικά ψηφία θα επαναλαμβάνονται και θα είναι όλα ίσα με 4. Έτσι, το πηλίκο θα είναι ο δεκαδικός αριθμός 44,44...

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
 

Προσπάθησε να βρεις, με όση ακρίβεια μπορείς, το πηλίκο της διαίρεσης 101 διά 44.

    Εικόνα
 
Σκεφτόμαστε

Βλέπουμε ότι η διαίρεση 101: 44 δεν είναι τέλεια. Δίνει ακέραιο πηλίκο 2 και υπόλοιπο 13. Αν συνεχίσουμε τη διαίρεση θα βρούμε τον δεκαδικό αριθμό 2,295454... με άπειρα δεκαδικά ψηφία, τέτοια ώστε, μετά το δεύτερο δεκαδικό (το 9) να επαναλαμβάνονται συνεχώς τα ίδια δύο ψηφία (5 και 4), δηλαδή 545454...

 
Μαθαίνουμε

Μετά από τα παραπάνω συμφωνούμε ότι:

Εικόνα
  • Τους αριθμούς που βρήκαμε παραπάνω τους ονομάζουμε περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς.
  • Το τμήμα των επαναλαμβανομένων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού ονομάζεται περίοδος.

Γενικότερα, λοιπόν, μπορούμε να πούμε ότι:

  • Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού αριθμού και συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα.
    Εικόνα

Προηγουμένως, είδαμε με ποιον τρόπο ένας ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί με τη μορφή περιοδικού δεκαδικού αριθμού.
Γεννιέται, όμως, το ερώτημα αν μπορούμε να κάνουμε και το αντίστροφο. Δηλαδή, αν μπορούμε ένα περιοδικό δεκαδικό αριθμό να τον γράψουμε με μορφή ρητού.

 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ
Να γραφούν με κλασματική μορφή οι δεκαδικοί περιοδικοί αριθμοί: Εικόνα  

Εικόνα

 

Εικόνα  
Εικόνα  

Συμπεραίνουμε ότι:

  • Κάθε περιοδικός δεκαδικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλασματικού ρητού.
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Βρες τη δεκαδική μορφή των ρητών: Εικόνα

Εικόνα
Εικόνα

Βρες την κλασματική μορφή των αριθμών: Εικόνα

Εικόνα

Βρες μία άλλη δεκαδική μορφή των αριθμών: Εικόνα

 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ
Εικόνα

'Ο αρχαίος φιλόσοφος Ζήνωνας, που έζησε στη Μεγάλη Ελλάδα το 490 - 430 π.Χ. διατύπωσε, μεταξύ άλλων, και το παρακάτω παράδοξο του Αχιλλέα με τη χελώνα: "Ο Αχιλλέας βαδίζει 10 φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα. Δε θα μπορέσει ποτέ να τη φτάσει, αν η χελώνα προηγείται ένα στάδιο (192 μέτρα περίπου) απ' αυτόν". Ερεύνησε και προσπάθησε να επιβεβαιώσεις ή να απορρίψεις το λόγο για τον οποίο ο Ζήνωνας ισχυρίζεται κάτι τέτοιο.