Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου Α7.3. Πρόσθεση ρητών αριθμών Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί
 
Α.7.2. Απόλυτη τιμή ρητού - Αντίθετοι ρητοί - Σύγκριση ρητών
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Βρες πόσες μονάδες απέχουν από την αρχή Ο του άξονα τα σημεία Α, Β, Γ και Δ.

Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα   

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
 

Στην παρακάτω ευθεία βρες τις τετμημένες των σημείων Μ' και Μ.

Εικόνα

  • Τι παρατηρείς για τις τετμημένες των σημείων Μ' και Μ;
  • Προσπάθησε να τοποθετήσεις στην παραπάνω ευθεία των ρητών τα σημεία Α' και Α που απέχουν από την αρχή Ο του άξονα 3,5 μονάδες.
  • Κάνε το ίδιο για τα σημεία Β' και Β που απέχουν από την αρχή Ο του άξονα 6 μονάδες.

Μικροπείραμα μικροπείραμα   

Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
 
  • Η απόλυτη τιμή ενός ρητού αριθμού α εκφράζει την απόσταση
    του σημείου μετετμημένη α
    από την αρχή Ο του άξονα και συμβολίζεται με |α|.
 
  • Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που
    είναι ετερόσημοι και έχουν την ίδια απόλυτη τιμή
Εικόνα
 
  • Ο αντίθετος του x είναι ο -x.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
Εικόνα
  • H απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.
Εικόνα
  • H απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του.
Εικόνα
  • H απόλυτη τιμή του μηδενός είναι το μηδέν.
Εικόνα
  • Δύο σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση, δεξιά και αριστερά από την αρχή των αξόνων, έχουν τετμημένες, αντίθετους αριθμούς.
Εικόνα
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
 

Μια κρύα μέρα του χειμώνα ο Κώστας κοιτούσε τη θερμοκρασία κάθε δύο ώρες. Οι ενδείξεις του θερμομέτρου, που έβλεπε, φαίνονται παρακάτω:

Εικόνα

  • Μπορείς να καταγράψεις όλες τις ενδείξεις του θερμομέτρου με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά;
 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
  • Ο μεγαλύτερος από δύο ρητούς αριθμούς είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα.
Εικόνα
Κάθε θετικός ρητός είναι μεγαλύτερος από κάθε αρνητικό ρητό αριθμό.
Εικόνα  
  • Το μηδέν είναι μικρότερο από κάθε θετικό αριθμό και μεγαλύτερο από κάθε αρνητικό αριθμό.
Εικόνα
  • Ο μεγαλύτερος από δύο θετικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα.
Εικόνα
  • Ο μεγαλύτερος από δύο αρνητικούς ρητούς είναι εκείνος που έχει την μικρότερη απόλυτη τιμή, δηλαδή αυτός που βρίσκεται δεξιότερα από τον άλλο πάνω στον άξονα.
Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Στον άξονα των αριθμών να τοποθετηθούν οι αριθμοί:

Εικόνα

Εικόνα
Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα Το σημείο Κ έχει τετμημένη -7. Να βρεθεί το σημείο Λ με αντίθετη τετμημένη.  
Εικόνα    
 

Εικόνα

Πάνω σε άξονα x'Ox βρίσκουμε το σημείο K με τετμημένη -7. Τότε το Λ έχει τετμημένη τον αριθμό +7.

 
Εικόνα Εάν η απόλυτη τιμή του αριθμού α είναι 2, να βρεθεί ο αριθμός α.  
Εικόνα    
 

Εφόσον |α|=2 τότε ο αριθμός α θα είναι, είτε το +2 είτε το -2, διότι |+2| = 2 και |-2| = 2 .

Εικόνα

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί -2 και +2, έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά αντίθετο πρόσημο.

 
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ


Άσκηση     Άσκηση

Εικόνα

 

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α) 

Η απόσταση του σημείου, με το οποίο αναπαριστάνεται ένας ρητός αριθμός, από την αρχή του άξονα λέγεται ......................................................... του αριθμού και είναι πάντα ......................................................... αριθμός.

(β)  Δύο ρητοί αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή και είναι ετερόσημοι λέγονται .........................................................
(γ)

Αν ένας αριθμός α είναι θετικός ο αντίθετος του είναι .........................................................

Αν η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ίση με 6 τότε ο αριθμός είναι ο .............................. ή ο ..............................

(δ) Από δύο θετικούς ρητούς μικρότερος είναι εκείνος που έχει την ......................................................... απόλυτη τιμή.
(ε) Από δύο αρνητικούς ρητούς μεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει την ......................................................... απόλυτη τιμή.
Εικόνα Να συμπληρώσεις τον πίνακα που ακολουθεί:
 
Αριθμός -2,73 +7,66 -1,05 0 +8,07 -8
Απόσταση του σημείου που αντιστοιχεί από την αρχή του άξονα            
Εικόνα
Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α) Iσχύει η ανισότητα: –5,7    
(β) Ισχύει η ανισότητα: -7,6 > -6,7.    
(γ)  Στην ανισότητα 2,3 < x < 4,7 ο x μπορεί να πάρει 2 ακέραιες τιμές.    
(δ)  Υπάρχουν 5 ακριβώς ακέραιοι που αληθεύουν τη σχέση: -2≤x ≤+2    
(ε) Δύο ακέραιοι με αντίθετο πρόσημο είναι αντίθετοι.    
Εικόνα Βρες την απόλυτη τιμή των ρητών: (α) +7,25, (β) -2,5, (γ) +16, (δ) -20,05, (ε) -58.
Εικόνα Βρες τους αριθμούς που έχουν ως απόλυτη τιμή: (α) 100, (β) 21,7, (γ) 0, (δ) 7,03, (ε) 5,2.
Εικόνα
Συμπλήρωσε τον πίνακα: Αριθμός 1     -19        
  Αντίθετος         -8 12    
  Απόλυτη τιμή   2       7
Εικόνα

Τοποθέτησε στον άξονα x'Οx τα σημεία με τετμημένες:

-9, -5,5, +8, -3, -7,25, +1, +12, +3, +9. Ποια από αυτά είναι συμμετρικά ως προς την αρχή του άξονα;

Εικόνα Σχεδίασε τον άξονα x'Ox, με κατάλληλη μονάδα για να παραστήσεις τα σημεία με τετμημένες τους αριθμούς: -20,5, +15, -39,75, -68,25, +70, +52,25,+43, -69.
Εικόνα Να συγκρίνεις τους αριθμούς: (α) +41 και +38, (β) 9 και 11, (γ) -3 και -2, (δ) -9 και -16, (ε) 7 και -8, (στ) 0 και -3, (ζ) 0 και +4.
Εικόνα Να συγκρίνεις τους αριθμούς: (α) 11, -11 και |11|, (β) -3, +3 και |3|. Τι συμπεραίνεις;
Εικόνα Να γράψεις τους αριθμούς: -2, +7, +15, -3, 0, -4, +5, -8 και -10 σε αύξουσα σειρά.
Εικόνα

Να συμπληρώσεις με το κατάλληλο σύμβολο: <, > ή = τα κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: (α) -3 ... -8,

(β) -4 ... 10, (γ) 0 ... -1, (δ) +3 ... 0, (ε) -5 ... -|-5|, (στ) -5 ... -(+5), (ζ) |+7| ...|-7|, (η) -(-8) ... -8, (θ) +3 ... -(+4), (ι) 0 ... -|-4|.
Εικόνα Το x παριστάνει έναν ακέραιο αριθμό. Για ποιες τιμές του x θα ισχύουν οι σχέσεις: (α) -13 < χ < -8,   (β) -4 > χ > -5,  
(γ) -2 < x < 5.