Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α3. Δεκαδικοί αριθμοί Α3.2. Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς - Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 3ο - Δεκαδικοί αριθμοί
 
Α.3.1. Δεκαδικά κλάσματα - Δεκαδικοί αριθμοί - Διάταξη δεκαδικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση
Αν χωρίσουμε μια μονάδα σε 10 ίσα μέρη, τότε μπορούμε να πάρουμε κλάσματα της μονάδας όπως: Εικόνα κλπ. Τα κλάσματα αυτά είναι ομώνυμα, συγκρίνονται εύκολα και εξυπηρετούν στις πράξεις και στις μετρήσεις. Ας τα προσεγγίσουμε με μερικές δραστηριότητες.
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Αν βάλουμε στη ζυγαριά 2 σταθμά, θεωρώντας το ένα από αυτά ως μονάδα μέτρησης, διαπιστώ- νουμε ότι η μπάλα είναι βαρύτερη και αν βάλουμε 3 από τα ίδια, ότι είναι ελαφρότερη.

  • Τι είδους σταθμά χρειαζόμαστε, εκτός από αυτά που διαθέτουμε, για να έχουμε μεγαλύτερη ακρίβεια στη μέτρησή μας;
  • Τι μορφή θα έχει ο αριθμός, που εκφράζει το αποτέλεσμα της μέτρησης του βάρους της μπάλας;
Εικόνα
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
 

Προσπάθησε να μετρήσεις το μήκος του θρανίου σου με μονάδα μέτρησης: (α) το μολύβι σου, (β) ένα σχοινί μήκους ενός μέτρου και (γ) με ένα μέτρο.

  • Στην προσπάθειά σου, στις τρεις διαφορετικές μετρήσεις, για να δώσεις ένα αποτέλεσμα όσο γίνεται πιο ακριβές, τι είδους προβλήματα αντιμετωπίζεις;
Μικροπείραμα
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
 

Αν σου ζητηθεί να χωρίσεις το τμήμα ΑΒ που έχει μήκος 5 εκατοστά σε οκτώ ίσα μέρη, πόσο θα είναι το μήκος του κάθε μέρους από αυτά;

Εικόνα
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
Από τις προηγούμενες δραστηριότητες, γίνεται φανερό, ότι σε πολλές περιπτώσεις μετρήσεων οι φυσικοί αριθμοί δεν επαρκούν να εκφράσουν τα αποτελέσματα αυτών των μετρήσεων με ακρίβεια. Για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε τους δεκαδικούς αριθμούς.
  • Δεκαδικό κλάσμα λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή μια δύναμη του 10.
Τα κλάσματα Εικόνα και Εικόναέχουν παρονομαστές τους φυσικούς αριθμούς 10,100,1000 και 10000, που είναι δυνάμεις του 10: 101, 102, 103 και 104
  • Κάθε δεκαδικό κλάσμα γράφεται ως δεκαδικός αριθμός με τόσα δεκαδικά ψηφία όσα μηδενικά έχει ο παρονομαστής του.
Εικόνα
Εικόνα
 
Γραφή, ανάγνωση και στρογγυλοποίηση δεκαδικών αριθμών
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η
Εικόνα

Στον πίνακα της επόμενης σελίδας υπάρχουν διάφοροι δεκαδικοί αριθμοί.

  • Προσπάθησε να τους διαβάσεις και να τους γράψεις ολογράφως.
  • Ποιος από αυτούς είναι ο μεγαλύτερος και ποιος ο μικρότερος;
  • Προσπάθησε να τους τοποθετήσεις σε αύξουσα σειρά.
  • Στρογγυλοποίησε τους αριθμούς (α) στη μονάδα και (β) στο εκατοστό.
Εικόνα
Μικροπείραμα
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η

Στον δεκαδικό αριθμό Εικόνα0, Εικόνα9 λείπουν δύο ψηφία του.

  • Συμπλήρωσε τα κενά έτσι, ώστε κανένα ψηφίο του αριθμού να μην είναι ίδιο με άλλο.
  • Βρες ποιος είναι ο μεγαλύτερος ή ο μικρότερος δεκαδικός που μπορείς να γράψεις;
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Σε κάθε δεκαδικό αριθμό διακρίνουμε το ακέραιο μέρος και το δεκαδικό μέρος του. Αυτά διαχωρίζονται από την υποδιαστολή.
  • Στο δεκαδικό μέρος οι τάξεις είναι τα δέκατα, τα εκατοστά, τα χιλιοστά, τα δεκάκις χιλιοστά, τα εκατοντάκις χιλιοστά, τα εκατομμυριοστά κ.λπ.
  • Στο ακέραιο μέρος οι τάξεις είναι σε μονάδες, δεκάδες κ.λπ.
  • Δέκα μονάδες μίας τάξης είναι μια μονάδα μεγαλύτερης τάξης.
  • Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί έχουν διαφορετικό ακέραιο μέρος, με- γαλύτερος είναι εκείνος που έχει το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος.
8,97453 < 9,432
  • Αν δύο δεκαδικοί αριθμοί έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος, συγκρίνουμε τα δεκαδικά τους μέρη, ένα προς ένα από αριστερά προς τα δεξιά και βρίσκουμε το πρώτο ψηφίο στο οποίο διαφέρουν. Τότε ο αριθμός με το μεγαλύτερο ψηφίο είναι ο μεγαλύτερος.
105,3842 > 105,37896
  • Για να στρογγυλοποιήσουμε ένα δεκαδικό αριθμό:
    – Προσδιορίζουμε τη δεκαδική τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση.
    – Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως μικρότερης τάξης.
    – Αν αυτό είναι μικρότερο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων αντικαθίστανται από το μηδέν.
    – Αν είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, το ψηφίο αυτό και όλα τα ψηφία των μικρότερων τάξεων αντικαθίστανται από το μηδέν και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1..
957,3842 Εικόνα957,384
957,3842 Εικόνα957,38
957,3842 Εικόνα957,4
957,3842 Εικόνα957
957,3842 Εικόνα960
957,3842 Εικόνα1000
Μικροπείραμα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Εικόνα

Να γραφούν τα κλάσματα που ακολουθούν, ως δεκαδικοί αριθμοί με την εκτέλεση των αντίστοιχων διαιρέσεων: (α) , (β) Εικόνα, (γ) Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

(α) Εικόνα= 20 : 4 = 5
(β) Εικόνα= 50 : 8 = 6,25
(γ) Εικόνα= 520 : 67 = 7,76119…

 

Στην περίπτωση αυτή το πηλίκο δεν είναι ακριβές και συνήθως γράφεται με προσέγγιση δέκατου 7,8 ή εκατοστού 7,77 ή χιλιοστού 7,761 κλπ.

Εικόνα Να γραφούν, ως κλάσματα, οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 2,35 και (β) 0,348.
Εικόνα

 

 
 

(α) 2,35 = Εικόνα    (β) 0,348 = Εικόνα

Εικόνα

Να γραφούν, ως δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα: (α) Εικόνα και (β) Εικόνα

Εικόνα

 

 
  α) Εικόνα= 3,14   (β) Εικόνα= 0,769
Εικόνα

Να μετατραπεί το κλάσμα Εικόνασε δεκαδικό κλάσμα.

Εικόνα

 

 
 

Αρχικά, μετατρέπουμε το κλάσμα Εικόνα σε δεκαδικό αριθμό, εκτελώντας τη διαίρεση και έχουμε: Εικόνα= 1,25. Ο δεκαδικός 1,25 μετατρέπεται σε δεκαδικό κλάσμα 1,25 = Εικόνα. Άρα Εικόνα= Εικόνα.

Εικόνα Να τοποθετηθούν στην ευθεία των αριθμών οι δεκαδικοί αριθμοί: (α) 0,8 και (β) 1,35.
Εικόνα  
 
(α) Ισχύει, ότι: 0 < 0,8 < 1. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 0 και 1 πρέπει να χωριστεί σε 10 ίσα μέρη (δέκατα). Εικόνα
(β)

Επίσης, ισχύει: 1 < 1,35 < 2. Δηλαδή, το τμήμα της ευθείας μεταξύ των φυσικών αριθμών 1 και 2 πρέπει να χωριστεί σε 100 ίσα μέρη (εκατοστά).

Εικόνα

Μικροπείραμα
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Γράψε ως κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: (α) 4 : 5, (β) 9 : 16, (γ) 25 : 79. Εικόνα
Εικόνα Ποια διαίρεση παριστάνει καθένα από τα κλάσματα: Εικόνα.
Εικόνα Γράψε καθένα από τα παρακάτω κλάσματα, ως δεκαδικό αριθμό: (i) με προσέγγιση εκατοστού και (ii) με προσέγγιση χιλιοστού: Εικόνα
Εικόνα Γράψε ως δεκαδικό αριθμό, καθένα από τα παρακάτω δεκαδικά κλάσματα: Εικόνα.
Εικόνα

Γράψε ως δεκαδικό κλάσμα, καθέναν από τους δεκαδικούς αριθμούς που ακολουθούν: (α) 3,5, (β) 45,25, (γ) 3,004.

Εικόνα Να βρεις το ψηφίο των χιλιοστών και των δεκάκις χιλιοστών στους παρακάτω αριθμούς: (α) 5,8909, (β) 98,0005, (γ) 456,8756.
Εικόνα Τοποθέτησε το κατάλληλο σύμβολο <, = ή >, μεταξύ των αριθμών: (α) 45,345 … 45,413, (β) 980,19 … 899,01, (γ) 7,534 … 7,5340.
Εικόνα

Να στρογγυλοποιήσεις τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στο δέκατο, εκατοστό και χιλιοστό: (α) 9876,008, (β) 67,8956, (γ) 0,001, (δ) 8,239, (ε) 23,7048.

Εικόνα

Τοποθέτησε τους παρακάτω δεκαδικούς αριθμούς στην ευθεία των αριθμών: (α) 3,4, (β) 4,5, (γ) 2,3, (δ) 2,8, (ε) 4,7, (στ) 4,3, (ζ) 2,5, (η) 1,9, (θ) 5,1.

Εικόνα Στον αριθμό 34,ΕικόναΕικόναΕικόνα λείπουν τα τρία δεκαδικά ψηφία του. Να συμπληρώσεις τον αριθμό με τα ψηφία 9, 5 και 2, έτσι ώστε κάθε ψηφίο να γράφεται μία μόνο φορά. Να γράψεις όλους τους δεκαδικούς που μπορείς να βρεις και να τους διατάξεις σε φθίνουσα σειρά.
Εικόνα Να συμπληρώσεις το ψηφίο που λείπει στον αριθμό 25,Εικόνα7, αν γνωρίζεις ότι, όταν ο αριθμός στρογγυλοποιείται στο πλησιέστερο δέκατο, γίνεται ίσος με 25,5.
Εικόνα
Αντιστοίχισε κάθε δεκαδικό αριθμό από τον πρώτο πίνακα με το δεκαδικό κλάσμα, του οποίου είναι το πηλίκο, στο δεύτερο πίνακα. Εικόνα

 

Εικόνα
Αντιστοίχισε κάθε κλάσμα της πρώτης στήλης με το ισοδύναμο του της δεύτερης στήλης και αυτό με τον αντίστοιχο δεκαδικό της τρίτης στήλης. Εικόνα