Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο - Τα Κλάσματα
 
Α.2.4. Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Το συνεργείο του Δήμου φύτεψε σε μια μέρα τα Εικόνα μιας πλατείας πλατείας με λουλούδια. Την επόμενη ήμερα που ο καιρός δεν ήταν καλός φύτεψε μόνο τα Εικόνα της πλατείας.

  • Ποιο τμήμα της πλατείας είχε φυτέψει, συνολικά, στο τέλος της δεύτερης ημέρας;
Εικόνα
Σκεφτόμαστε

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι στο τέλος της δεύτερης ημέρας έχουν φυτευτεί, συνολικά, τα Εικόνα της πλατείας. Πράγμα που σημαίνει ότι το άθροισμα Εικόνα κάνει Εικόνα

Εικόνα
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
 

Ένα φορτηγό κάλυψε σε μία ώρα τα 2/5 της διαδρομής Πάτρα - Τρίπολη.

  • Ποιο μέρος της διαδρομής του μένει να καλύψει ακόμη;
Σκεφτόμαστε Εικόνα

 

Όπως φαίνεται στο σχήμα δεν έχουν καλυφθεί τα Εικόνα της διαδρομής.
Επομένως, η διαφορά  Εικόνα κάνει τα  Εικόνα του συνόλου της διαδρομής.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
  Μια βρύση γεμίζει, σε 1 ώρα, τα Εικόνα της δεξαμενής. Μια άλλη βρύση γεμίζει το Εικόνα της ίδιας δεξαμενής, επίσης σε 1 ώρα.
  • Αν και οι δύο βρύσες τρέχουν ταυτόχρονα μέσα στη δεξαμενή, τι μέρος της δεξαμενής θα γεμίσουν σε 1 ώρα;
Εικόνα
Σκεφτόμαστε

 

Αν οι βρύσες "τρέχουν" ταυτόχρονα στη δεξαμενή για 1 ώρα θα έχουν γεμίσει ένα τμήμα της που αντιστοιχεί στο άθροισμα των τμημάτων αυτής που η κάθε μία γεμίζει ξεχωριστά. Δηλαδή το ...

Μικροπείραμα μικροπείραμα
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
Γενικά, για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων ισχύουν τα εξής:
  • Προσθέτουμε δύο ή περισσότερα ομώνυμα κλάσματα προσθέτοντας τους αριθμητές τους, αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή.

Εικόνα

 

  • Προσθέτουμε ετερώνυμα κλάσματα αφού πρώτα τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα.
Εικόνα
  • Αφαιρούμε δύο ομώνυμα κλάσματα αφαιρώντας τους αριθμητές τους.
Εικόνα
  • Αφαιρούμε δύο ετερώνυμα κλάσματα αφού τα μετατρέψουμε πρώτα σε ομώνυμα.
Εικόνα
  • Ισχύουν όλες οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών στα κλάσματα.
 
  • Μερικές φορές αντί να γράφουμε Εικόνα, γράφουμε πιο απλά Εικόνα
  • Ο συμβολισμός αυτός, που παριστάνει το άθροισμα ενός φυσικού με ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας, ονομάζεται μεικτός αριθμός.
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Να υπολογισθεί το άθροισμα  Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

 

Μετατρέπουμε το φυσικό αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή 4.

Είναι: Εικόνα

Εικόνα Να αποδειχθεί ότι: Εικόνα
Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα Να υπολογισθεί η διαφορά και το άθροισμα των κλασμάτων Εικόνα
Εικόνα

Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα και πρέπει πρώτα να μετατραπούν σε ισοδύναμα ομώνυμα.

Έχουμε: ΕΚΠ(12, 20) = 60 οπότε: 60 : 12 = 5 και 60 : 20 = 3
Άρα: Εικόνα και Εικόνα. Επειδή Εικόνα μπορεί να υπολογιστεί

η διαφορά: Εικόνα

και Εικόνα

Εικόνα

Να βρεθεί η διαφορά: Εικόνα και το αποτέλεσμα να γίνει μεικτός.

Εικόνα

Εικόνα. Για να τρέψουμε το αποτέλεσμα σε μεικτό αριθμό  εκτελούμε την ευκλείδεια διαίρεση: 11 = 4 · 2 + 3 και έχουμε:
Εικόνα

Εικόνα

Να βρεθεί το άθροισμα: Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

ΕικόναΤην πρώτη ημέρα ένας κηπουρός κούρεψε το γκαζόν στο Εικόνα μιας στρογγυλής πλατείας. Την δεύτερη ημέρα, εξαιτίας μιας δυνατής βροχής, κατάφερε να κουρέψει μόνο το Εικόνα του αρχικού γκαζόν. Ποιό μέρος από το γκαζόν της πλατείας κουρεύτηκε μέχρι και το τέλος της δεύτερης ημέρας;

Εικόνα

Για να βρούμε το μέρος της πλατείας που κουρεύτηκε, στο τέλος της δεύτερης ημέρας, δεν έχουμε παρά να προσθέσουμε τα δύο κλάσματα, δηλαδή το Εικόνα και το Εικόνα. Αλλά, για να εκτελέσουμε αυτή την πρόσθεση πρέπει να μετατρέψουμε τα δύο κλάσματα σε ομώνυμα. Άρα, θα έχουμε: Εικόνα. Για να βρούμε ποιο κλάσμα της πλατείας έχει απομείνει για κούρεμα, πρέπει να αφαιρέσουμε από το όλο μέρος, δηλαδή: Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Εικόνα

Υπολόγισε τα αθροίσματα: Εικόνα

Εικόνα και απλοποίησε το τελικό αποτέλεσμα, αν δεν είναι ανάγωγο κλάσμα.

Εικόνα
Εικόνα

Να βρεις τις διαφορές και να απλοποιήσεις το αποτέλεσμα, όπου αυτό δεν είναι ανάγωγο κλάσμα:

Εικόνα

Εικόνα

Να μετατρέψεις τους μεικτούς αριθμούς σε κλάσματα: Εικόνα

Εικόνα

Κάνε τα ακόλουθα κλάσματα μεικτούς αριθμούς: Εικόνα

Εικόνα

Υπολόγισε τα αθροίσματα: Εικόνα

Εικόνα

Να βρεις τις διαφορές: Εικόνα

Εικόνα Ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο $\dfrac{3}{8}$ για να βρούμε άθροισμα $\dfrac{5}{9}$;
Εικόνα

Ένας αγρότης πούλησε σε τέσσερις εμπόρους τα Εικόνα, Εικόνα, Εικόνα και Εικόνα της παραγωγής του. Ποιο μέρος της παραγωγής του έμεινε απούλητο;

Εικόνα
Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση
(α) Εικόνα         (ε) Εικόνα      
(β) Εικόνα         (στ) Εικόνα      
(γ) Εικόνα         (ζ) Εικόνα      
(δ) Εικόνα                  
 

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Εικόνα

Αντιστοίχισε σε κάθε πρόσθεση το σωστό αποτέλεσμα:

Εικόνα Εικόνα Συμπλήρωσε τον πίνακα: Εικόνα
 

ΕικόναΝΟΤΕΣ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΑ

Ανάμεσα στα κοινά στοιχεία όλων των ανθρωπίνων πολιτισμών είναι η δυνατότητα αρίθμησης και μουσικής έκφρασης.

  • Ο άνθρωπος δημιουργεί μουσική, ήδη, από τους προϊστορικούς χρόνους, αφού το αρχαιότερο σχετικό εύρημα, που έχει ηλικία 35.000 χρόνων, είναι οστά από μαμούθ τα οποία χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ρυθμικών ήχων.
  • Οι μελέτες έχουν δείξει, ότι η έννοια του αριθμού εμφανίζεται στον άνθρωπο από τα πρώτα του βήματα. Διαπιστώθηκε ότι αυτή η πρώιμη ικανότητα αρίθμησης σχετίζεται με την ικανότητα της κατάτμησης του χρόνου, που δημιουργεί η αντιστοιχία γεγονότων και χρονικών στιγμών και μάλιστα χωρίς, τη χρήση της έννοιας του αριθμού. Εξάλλου η αρίθμηση είναι μια πολιτιστική αναγκαιότητα, ένα καθολικό στοιχείο πολιτισμού.

Η συνάντηση της Μουσικής με τα Μαθηματικά πραγματοποιείται μέσα από την αίσθηση, που έχουμε για τον χρόνο και εντοπίζεται σε δύο βασικούς άξονες κάθε μουσικής έκφρασης, το Ρυθμό και την Αρμονία. Ο άνθρωπος έχει την ικανότητα να εντοπίζει και να απομονώνει τις χρονικές στιγμές. Το διάστημα που μεσολαβεί μεταξύ δύο στιγμών, δημιουργεί την αίσθηση της διάρκειας. Ο χωρισμός του χρόνου από τα γεγονότα δημιουργεί ένα πυκνό σύνολο από στιγμές. Έτσι, ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, το χωρισμό του χρόνου σε στιγμές και την αντιστοίχιση των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Ο ρυθμός είναι από τις πρώτες μουσικές ανθρώπινες κατακτήσεις, όπως ακριβώς ο αριθμός είναι από τις πρώτες θεμελιώδεις Μαθηματικές ανθρώπινες επινοήσεις. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που δημιούργησε ο άνθρωπος. Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται με ένα κλάσμα που καθορίζει το ρυθμό. Σήμερα οι δύο αυτές έννοιες, του ρυθμού και του αριθμού - κλάσματος, συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική Μουσική. Ας δούμε ένα παράδειγμα: Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού. Η χρονική αξία του πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι Εικόνα και Εικόνα αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες), που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία Εικόνα Το κλάσμα Εικόνα στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή, το οποίο περιέχει μια μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας Εικόνα. Πράγματι εικόναΕικόνα. Με αυτόν τον τρόπο ο αριθμός - κλάσμα καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.

 
ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
  • Βρες παρτιτούρες από τραγούδια με διαφορετικούς ρυθμούς και γράψε τα κλάσματα, που αντιστοιχούν στους ρυθμούς των τραγουδιών αυτών.
  • Αναζήτησε και βρες ορισμένα χαρακτηριστικά τραγούδια με διαφορετικούς ρυθμούς και προσπάθησε να συσχετίσεις τα κλάσματα, που αντιστοιχούν στους ρυθμούς αυτούς, με την ονομασία του εκάστοτε συγκεκριμένου ρυθμού
Εικόνα