Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο - Τα Κλάσματα
 
Α.2.3. Σύγκριση κλασμάτων
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Ποιο μέρος του μεγάλου τετραγώνου καταλαμβάνει κάθε χρώμα, στο διπλανό σχήμα; Η Μαρία είπε πως το ροζ χρώμα καταλαμβάνει τα Εικόνα, το γαλάζιο τα Εικόνα και το πράσινο τα Εικόνα.

Ενώ ο Γιάννης είπε ότι το ροζ είναι τα Εικόνα, το γαλάζιο τα Εικόνα και το πράσινο το Εικόνα του τετραγώνου.

  • Ποιος έχει δίκιο και ποιος όχι;
  • Προσπάθησε να γράψεις σε αύξουσα σειρά τα κλάσματα που αντιστοιχούν σε καθένα από τα μέρη του τετραγώνου.
Εικόνα
Μικροπείραμα μικροπείραμα
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
Εικόνα

Στο κυκλικό διάγραμμα φαίνεται πώς κατανέμονται οι ώρες ενός 24ώρου από ένα μαθητή, της Α' Γυμνασίου.

  • Τι μέρος του χρόνου του είναι κάθε δραστηριότητα;
  • Πόσο χρόνο διαρκεί κάθε δραστηριότητα;
  • Σε ποια δραστηριότητα δαπανά τον περισσότερο χρόνο;
  • Γράψε σε μια σειρά τους χρόνους που αντιστοιχούν σε κάθε μία από τις δραστη­ριότητες, ξεκινώντας από τον μεγαλύτερο και καταλήγοντας στο μικρότερο χρόνο.
Εικόνα
Σκεφτόμαστε

Παρατηρούμε ότι το 24ωρο είναι χωρισμένο σε 12 κομμάτια, από τα οποία τα 4 αντιστοιχούν στον ύπνο, τα 3 στο σχολικό ωράριο, τα 2 στο διάβασμα, το 1 στον αθλητισμό και τα 2 στο παιχνίδι. Επομένως, το μέρος που αφιερώνεται για ύπνο είναι τα Εικόνα του συνολικού χρόνου, για το σχολείο τα Εικόνα, για το διάβασμα τα Εικόνα, για τον αθλητισμό το Εικόνα και για το παιχνίδι τα Εικόνα

Επειδή κάθε κομμάτι αντιστοιχεί σε δύο ώρες, συμπεραίνουμε ότι ό χρόνος που αφιερώνεται για κάθε δραστηριότητα είναι: 8 ώρες για ύπνο, 6 ώρες για το σχολείο, 4 ώρες για διάβασμα,

2 ώρες για αθλητισμό και 4 ώρες για παιχνίδι.

Άρα, η ζητούμενη χρονική σειρά των διαφόρων δραστηριοτήτων είναι:

8 ώρες (Ύπνος) > 6 ώρες (Σχολείο) > 4 ώρες (Διάβασμα) = 4 ώρες (Παιχνίδι) > 2 ώρες (Αθλητισμός).

 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε

Γενικά, για τη σύγκριση κλασμάτων ισχύουν τα εξής:

Εικόνα
  • Από δύο ομώνυμα κλάσματα, εκείνο που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή είναι μεγαλύτερο.
Εικόνα
  • Για να συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και συγκρίνουμε τους αριθμητές τους.
Εικόνα
  • Από δύο κλάσματα με τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή.
Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Να συγκριθούν τα κλάσματα Εικόνα και Εικόνα.

Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

Από το σχήμα παρατηρούμε ότι "σε όσα περισσότερα μέρη χωρίζεται ένα συγκεκριμένο μέγεθος, τόσο μικρότερα είναι τα μέρη αυτά".
Δηλαδή:Εικόνα.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα Να συγκριθούν τα κλάσματα: Εικόνακαι Εικόνα.
Εικόνα

Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα. ΕΚΠ(8, 9)=72, επομένως

72 : 8 = 9 και 72 : 9 = 8 οπότε Εικόνα και Εικόνα. Άρα Εικόνα.

Εικόνα Να τοποθετηθεί στην ευθεία των αριθμών το κλάσμα $\dfrac{8}{5}$.
Εικόνα
  Εικόνα

Για το κλάσμα Εικόνα έχουμε ότι: Εικόνα.

Καθένα, από τα τμήματα ΟΑ και ΑΒ του σχήματος είναι ίσο με τη μονάδα.
Τα χωρίζουμε σε 5 ίσα τμήματα, ώστε το καθένα να είναι ίσο με το Εικόνα της μονάδας.
Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΓ αποτελείται από 8 ίσα τμήματα ίσα με το Εικόνα της μονάδας το καθένα. Το μήκος ΟΓ είναι Εικόνα του ΟΑ. Άρα το κλάσμα Εικόνα τοποθετείται στο σημείο Γ.

Εικόνα Να  βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το Εικόνα και μικρότερο από τα Εικόνα
Εικόνα

Τα κλάσματα Εικόνα και Εικόνα είναι ομώνυμα και ανάμεσα στους αριθμητές του 2 και 3 δεν υπάρχει άλλος φυσικός αριθμός. Μπορούμε, όμως, να βρούμε ισοδύναμα κλάσματα με αυτά π.χ. τα Εικόνακαι  Εικόνα, για τα οποία μεταξύ των αριθμητών τους 4 και 6 υπάρχει ο αριθμός 5.

Επομένως, αφού το κλάσμα Εικόναείναι μεταξύ των Εικόνα και Εικόνα, θα είναι καιΕικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα Μικροπείραμα μικροπείραμα

 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α)

Ένα κλάσμα είναι:

(i) ίσο με 1, αν ο αριθμητής του είναι ...................................... τον παρονομαστή.

(ii) μικρότερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι  ...................................... τον παρονομαστή.

(iii) μεγαλύτερο του 1, αν ο αριθμητής του είναι  ...................................... τον παρονομαστή.

(β)

Αν Εικόνα τότε .......................................        

Εικόνα

Σύγκρινε τα κλάσματα: Εικόνα

Εικόνα

Γράψε τα κλάσματα   Εικόνα σε φθίνουσα σειρά.

Εικόνα

Σύγκρινε με το 1 τα κλάσματα: Εικόνα

Εικόνα

Βάλε σε σειρά τα κλάσματα: Εικόνα

Εικόνα

Bρες μεταξύ ποιων διαδοχικών φυσικών αριθμών βρίσκεται καθένα από τα παρακάτω κλάσματα

Εικόνα

Εικόνα Τοποθέτησε στην ευθεία των αριθμών τα κλάσματα: Εικόνα
Εικόνα

Ποιοι κλασματικοί αριθμοί πρέπει να τοποθετηθούν στα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε του σχήματος:

Εικόνα

Εικόνα

Συμπλήρωσε τις κενές θέσεις του πίνακα με το κλάσμα που αντιστοιχείστο χρωματισμένο τμήμα του τετραγώνου με το αντίστοιχο γράμμα και μετά βάλε τα κλάσματα που βρήκες σε φθίνουσα σειρά.

Εικόνα