Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης 2.2. Ισοδύναμα κλάσματα Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο - Τα Κλάσματα
 
Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια από αυτά που περίσσεψαν.

  • Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας;
  • Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε;
Εικόνα
Σκεφτόμαστε

Αφού γνωρίζουμε ότι π.χ. ο πρώτος έφαγε το ένα κομμάτι από τα οκτώ της πίτσας, λέμε ότι έφαγε το Εικόνα της πίτσας. Τότε ο δεύτερος έφαγε τα Εικόνα και ο τρίτος τα Εικόνα αυτής, Επομένως, και οι τρεις μαζί έφαγαν 1+3+2=6 από τα οκτώ κομμάτια, δηλαδή τα Εικόνα της πίτσας. Άρα, περίσσεψαν τα υπόλοιπα δύο κομμάτια από τα οκτώ, δηλαδή τα Εικόνα της πίτσας.

Εικόνα
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
Εικόνα

Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα, μπορείς να βρεις ποιο μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ;

  • Να υπολογίσεις το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32 cm;
  • Να βρεις ζεύγη τμημάτων που το ένα να είναι: Εικόνα  του άλλου.
Σκεφτόμαστε
(α) Το τμήμα ΑΒ είναι χωρισμένο σε 8 ίσα μέρη, συνεπώς ένα από αυτά είναι το Εικόνα του ΑΒ και το ΑΚ θα είναι ίσο με τα Εικόνα του ΑΒ.
(β)

Επειδή το ΑΒ είναι 32 cm, το Εικόνα αυτού θα είναι: Εικόνα

Άρα το ΑΚ θα έχει μήκος: 3 · 4 cm = 12 cm.

(γ) Το μήκος του ΑΓ είναι το Εικόνα του ΑΚ και το Εικόνα του ΑΔ. Το ΑΔ είναι τα Εικόνα του ΑΚ και το ΑΚ τα Εικόνα του ΑΔ. Το ΑΕ είναι τα  Εικόνα του ΑΚ και το ΑΚ τα Εικόνα του ΑΕ.
Μικροπείραμα 
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
Εικόνα

Στο διπλανό σχήμα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί, ανάλογα με το χρώμα, σε τριών ειδών μέρη.

  • Μπορείς να βρεις τι κλάσμα του τετραγώνου είναι το καθένα μέρος του;
Εικόνα
Μικροπείραμα 

Η λέξη "κλάσμα" προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη "κλαίω" ή "κλω" που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι, δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το "κλάσμα" πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (τον "όλον") και πόσα από αυτά πήραμε.

 

Εικόνα

 

Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα ήδη έχουμε μάθει για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων.

 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Όταν ένα μέγεθος ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα από αυτά ονομάζεται νιοστό και συμβολίζεται με το Εικόνα.
Εικόνα
  • Κάθε τμήμα του μεγέθους ή του συνόλου αντικειμένων, που αποτελείται από κ τέτοια ίσα μέρη, συμβολίζεται με το κλάσμα Εικόνα και διαβάζεται «κάπα νιοστά».
Εικόνα
  • Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
  • Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 1.
Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Μια σοκολάτα ζυγίζει 120 gr και έχει 6 ίσα κομμάτια.

(α)   Ποιο μέρος της σοκολάτας είναι το κάθε κομμάτι;
(β)   Πόσα κομμάτια πρέπει να κόψουμε για να πάρουμε 40 gr;

Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα

(α) Το κάθε κομμάτι είναι το Εικόνα της σοκολάτας.
(β)

Το βάρος κάθε κομματιού θα είναι το Εικόνα του βάρους της σοκολάτας, δηλαδή Εικόνα

Άρα τα Εικόνα είναι τα Εικόνα της σοκολάτας. Δηλαδή, πρέπει να κόψουμε 2 κομμάτια για να πάρουμε Εικόνα.

Εικόνα Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20 m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα Εικόνα του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Εικόνα
Εικόνα

Το Εικόνα του ύψους του καμπαναριού είναι Εικόνα, επομένως το Εικόνα αυτού θα είναι  Εικόνα. Τότε τα Εικόνα θα είναι Εικόνα. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι Εικόνα.

Εικόνα

Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα Εικόνα. Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή;

Εικόνα
Εικόνα

Η δεξαμενή ολόκληρη είναι τα Εικόνα και χωράει 2000 lt.
Το Εικόνα της δεξαμενής θα χωράει

 

Εικόνα

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι τα Εικόνα θα περιέχουν 3 · 500 lt = 1.500 lt.

Εικόνα
  • Για να βρούμε την τιμή του μέρους ξεκινάμε από την τιμή του όλου που είναι η τιμή της μονάδας.
Εικόνα

Τα Εικόνα του κιλού τυρί κοστίζουν 27 €. Πόσο κοστίζουν τα Εικόνα του κιλού;

Εικόνα

Τα Εικόνα κοστίζουν 27 €. Άρα το Εικόνα κοστίζει 27 €: 3 = 9 €.
Τα Εικόνα κοστίζουν 5 · 9€ = 45 €.

Εικόνα
  • Για να βρούμε την τιμή του όλου ξεκινάμε από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμε την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα).
 

Τα Εικόνα κοστίζουν 45€. Άρα τοΕικόνα  κοστίζειΕικόνα.

Έτσι τα Εικόνα  κοστίζουν 8 · 5€ = 40 €.

Διότι είναι: Εικόνα

Εικόνα
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α) Στο κλάσμα Εικόνα οι αριθμοί κ και λ ονομάζονται ...................................................
(β) Ισχύει ότι: (α) Εικόνα = .................. (β) Εικόνα = .................. (γ) Εικόνα = ..................
(γ)

Η φράση "το μέρος Εικόνα ενός μεγέθους Α" εκφράζει τον χωρισμό του μεγέθους Α σε ............................... ..............................................................................

Εικόνα
Εικόνα Τα κλάσματα Εικόνα είναι όλα μικρότερα της μονάδας;
Εικόνα Τι κλάσμα των μαθητών της τάξης 28 μαθητών είναι οι 4 απόντες;
Εικόνα Αν το Εικόνα ενός κιλού καρύδια είναι 14 καρύδια, το κιλό περιέχει 70 καρύδια;
Εικόνα

Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα μέρη. Γράψε για το καθένα από αυτά, το κλάσμα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος του.

Εικόνα

Εικόνα

Από μία τούρτα περίσσεψαν τα κομμάτια που βλέπεις στο σχήμα τα οποία αποτελούν
τα Εικόνα της τούρτας.

Εικόνα
Εικόνα Βρες ποιο μέρος του κιλού είναι τα: (α) 100, (β) 250, (γ) 500, (δ) 600 γραμμάρια.
Εικόνα

Ποιο μέρος: (α) του μήνα, (β) του εξαμήνου, (γ) του έτους είναι οι 15 ημέρες;

Εικόνα

Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα είδη του ίση με τα Εικόνα της αρχικής τιμής τους. Ένα φόρεμα κόστιζε 90 € πριν την έκπτωση. Υπολόγισε πόσα ευρώ έκπτωση έγινε στο φόρεμα και πόσο θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε.

Εικόνα Σε μία τάξη τα Εικόνα των μαθητών μαθαίνουν αγγλικά. Να βρεις πόσους μαθητές έχει η τάξη, αν γνωρίζεις ότι αυτοί που μαθαίνουν αγγλικά είναι 12 μαθητές.
Εικόνα Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο η μια πλευρά του είναι 33 εκατοστά και η άλλη τα Εικόνα της πρώτης. Να βρεις την περίμετρο του ορθογωνίου.
Εικόνα

Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 5 εκατοστά. Να σχεδιάσεις:

(α) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος τα Εικόνα του ΑΒ και (β) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ με μήκος τα Εικόνα του ΑΒ.

 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Εικόνα

Χρωμάτισε σε καθένα από τα σχήματα που ακολουθούν τα μέρη που αντιστοιχούν στα κλάσματα που είναι γραμμένα κάτω από κάθε σχήμα.

Εικόνα

Εικόνα Να βρεις ποιο μέρος του μεγάλου τετραγώνου είναι κάθε χρωματισμένο μέρος του διπλανού σχήματος. Εικόνα