Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Επαναληπτικές Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης 2.2. Ισοδύναμα κλάσματα Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 2ο - Τα Κλάσματα
 
Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος
 

Η λέξη "κλάσμα" προέρχεται από την αρχαία ελληνική λέξη "κλαίω" ή "κλω" που σημαίνει κόβω, τεμαχίζω κάτι Το κλάσμα λοιπόν δηλώνει ότι έχουμε ένα κομμάτι, δηλαδή ένα μέρος κάποιου πράγματος. Στα Μαθηματικά θεωρούμε ότι αυτό που μοιράζεται, μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Έτσι, στα Μαθηματικά το "κλάσμα" πρέπει να δηλώνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίσαμε το ολόκληρο (τον "όλον") και πόσα από αυτά πήραμε.

 

Εικόνα

 

Στη συνέχεια θα θυμηθούμε όσα ήδη έχουμε μάθει για τα κλάσματα και θα επεκτείνουμε τις γνώσεις μας στις πράξεις των κλασμάτων.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν μια πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια από αυτά που περίσσεψαν.

  • Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας;
  • Τι μέρος της πίτσας περίσσεψε;
Εικόνα
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
Εικόνα

Παρατηρώντας το παρακάτω σχήμα, μπορείς να βρεις ποιο μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ;

  • Nα βρεις ποιό μέρος του μήκους του τμήματος ΑΒ είναι το μήκος του τμήματος ΑΚ.
  • Να υπολογίσεις το μήκος του ΑΚ, αν γνωρίζουμε ότι το ΑΒ είναι 32 cm;
  • Να βρεις ζεύγη τμημάτων που το ένα να είναι: Εικόνα  του άλλου.
    Εικόνα
Μικροπείραμα 
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
  • Προσπάθησε να μοιράσεις τρεις σοκολάτες (όπως αυτή του σχήματος) σε οκτώ παιδιά.
Σκεφτόμαστε

Είναι προφανές ότι για να μοιραστούν οι τρεις σοκολάτες σε οκτώ παιδιά, πρέπει να γίνει διαίρεση 3:8. Πρακτικά, για να γίνει το μοίρασμα αυτό, χρειάζεται πρώτα να χωριστεί μια σοκολάτα σε οκτώ (8) ίσα μέρη, ώστε κάθε κομμάτι να είναι το $\dfrac{1}{8}$ της σοκολάτας. Επειδή έχουμε τρεις (3) σοκολάτες, τελικά, το κάθε παιδί θα πάρει τα $\dfrac{3}{8}$ από τις τρεις σοκολάτες. Επομένως το κλάσμα $\dfrac{3}{8}$ και το πηλίκο 3:8 εκφράζουν την ίδια ποσότητα. Άρα μπορούμε να πούμε ότι το κλάσμα $\dfrac{3}{8}$ παριστάνει το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή, δηλαδή: $\dfrac{3}{8}$ = 3:8.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η
Εικόνα

Στο διπλανό σχήμα ένα τετράγωνο έχει χωριστεί, ανάλογα με το χρώμα, σε τριών ειδών μέρη.

  • Μπορείς να βρεις τι κλάσμα του τετραγώνου είναι το καθένα μέρος του;
Εικόνα
Μικροπείραμα 
 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Το σύμβολο $\dfrac{1}{ν}$ (ν φυσικός, $\neq$0) που εκφράζει το ένα από τα ν ίσα μέρη, στα οποία χωρίζεται μία ποσότητα, ονομάζεται κλασματική μονάδα.
 
  • Κλάσμα ή κλασματικός αριθμός ονομάζεται κάθε αριθμός $\dfrac{κ}{ν}$ όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν $\neq$ 0. To κλάσμα $\dfrac{κ}{ν}$ εκφράζει τα κ μέρη από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχει χωριστεί μία ποσότητα. Γενικά: $\dfrac{κ}{ν}$ = κ $\cdot$ $\dfrac{1}{ν}$ , όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν $\neq$ 0.
Εικόνα
  • Κάθε κλάσμα παριστάνει και το πηλίκο της διαίρεσης του αριθμητή διά του παρονομαστή.
    Γενικά ισχύει $\dfrac{κ}{ν}$ = κ : ν όπου κ, ν φυσικοί αριθμοί και ν $\neq$ 0.
  • Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή κλάσματος με παρονομαστή το 1,
    γιατί κ = κ : 1 = $\dfrac{κ}{1}$.
Εικόνα
  • Η έννοια του κλάσματος επεκτείνεται και στην περίπτωση που ο αριθμητής είναι
    μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το 1.
 
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα Το καμπαναριό μιας εκκλησίας έχει ύψος 20 m, ενώ η εκκλησία έχει ύψος τα $\dfrac{3}{5}$ του ύψους του καμπαναριού. Ποιο είναι το ύψος της εκκλησίας; Εικόνα
Εικόνα

Όλο το ύψος του καμπαναριού, δηλαδή τα $\dfrac{5}{5}$, είναι 20m, επομένως το $\dfrac{1}{5}$ αυτού θα είναι $\dfrac{1}{5}$ $\cdot$ 20 cm = $\dfrac{20}{5}$m=4m.
Τότε τα $\dfrac{3}{5}$ θα είναι 3 $\cdot$ 4 m = 12 m. Άρα το ύψος της εκκλησίας θα είναι 12 m.

Εικόνα

Μια δεξαμενή πετρελαίου σε μια πολυκατοικία, χωράει 2000 lt. Ο διαχειριστής σε μια μέτρηση βρήκε ότι ήταν γεμάτη κατά τα $\dfrac{3}{4}$. Πόσα λίτρα πετρέλαιο είχε η δεξαμενή;

Εικόνα
Εικόνα

Η δεξαμενή ολόκληρη είναι τα $\dfrac{4}{4}$ και χωράει 2000 lt.
Το $\dfrac{1}{4}$ της δεξαμενής θα χωράει

 

$\dfrac{1}{4} \cdot $ 2000lt = $\dfrac{2000}{4}lt$ = 500lt

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι τα $\dfrac{3}{4}$ θα περιέχουν 3 $\cdot$ 500 lt = 1.500 lt.

Εικόνα
  • O παραπάνω τρόπος λύσης ονομάζεται αναγωγή στη μονάδα και μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση που είναι γνωστή η τιμή του όλου και ζητείται του μέρους. Άλλος τρόπος λύσης είναι ο πολλαπλασιασμός του αριθμού που εκφράζει το μέρος επί τον αριθμό που εκφράζει το όλον (π.χ. $\dfrac{3}{4}$ $\cdot$ 2.000 lt = 1.500 lt).
Εικόνα

Τα $\dfrac{3}{5}$ του κιλού τυρί κοστίζουν 27 €. Πόσο κοστίζουν τα $\dfrac{8}{9}$ του κιλού;

Εικόνα

Τα $\dfrac{3}{5}$ κοστίζουν 27 €. Άρα το $\dfrac{1}{5}$  κοστίζει 27 €: 3 = 9 €.
Τα $\dfrac{5}{5}$ κοστίζουν 5 · 9€ = 45 €.

Εικόνα
  • Για να βρούμε την τιμή του όλου ξεκινάμε από την τιμή του μέρους και υπολογίζουμε την τιμή της μονάδας (αναγωγή στη μονάδα).
 

Τα $\dfrac{9}{9}$  κοστίζουν 45 €. Άρα το $\dfrac{1}{9}$   κοστίζει $\dfrac{45}{9}$ € = 5 € .

Έτσι τα  $\dfrac{8}{9}$  κοστίζουν 8 · 5 € = 40 €.

Διότι είναι: 1=$\dfrac{5}{5}$=$\dfrac{9}{9}$=_

Εικόνα
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά:
(α) Στο κλάσμα Εικόνα οι αριθμοί κ και λ ονομάζονται ...................................................
(β) Ισχύει ότι: (α) $\dfrac{α}{1}$ = .................. (β) $\dfrac{α}{α}$ = .................. (γ) $\dfrac{0}{α}$ = ..................
(γ)

Η φράση "το μέρος $\dfrac{κ}{λ}$ ενός μεγέθους Α" εκφράζει τον χωρισμό του μεγέθους Α σε ............................... ..............................................................................

Εικόνα
Εικόνα Τα κλάσματα $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{7}{9}$, $\dfrac{10}{9}$, $\dfrac{18}{20}$ είναι όλα μικρότερα της μονάδας;
Εικόνα Τι κλάσμα των μαθητών της τάξης 28 μαθητών είναι οι 4 απόντες;
Εικόνα Αν το $\dfrac{1}{5}$ ενός κιλού καρύδια είναι 14 καρύδια, το κιλό περιέχει 70 καρύδια;
Εικόνα

Τα παρακάτω σχήματα έχουν χωριστεί σε ίσα μέρη. Γράψε για το καθένα από αυτά, το κλάσμα που εκφράζει το χρωματισμένο μέρος του.

Εικόνα

Εικόνα

Από μία τούρτα περίσσεψαν τα κομμάτια που βλέπεις στο σχήμα τα οποία αποτελούν
τα $\dfrac{2}{7}$ της τούρτας.
Πόσα ήταν αρχικά όλα τα κομμάτια της τούρτας;

Εικόνα
Εικόνα Βρες ποιο μέρος του κιλού είναι τα: (α) 100, (β) 250, (γ) 500, (δ) 600 γραμμάρια.
Εικόνα

Ποιο μέρος: (α) του μήνα, (β) του εξαμήνου, (γ) του έτους είναι οι 15 ημέρες;

Εικόνα

Ένα κατάστημα κάνει έκπτωση στα είδη του ίση με τα $\dfrac{2}{5}$ της αρχικής τιμής τους. Ένα φόρεμα κόστιζε 90 € πριν την έκπτωση. Υπολόγισε πόσα ευρώ έκπτωση έγινε στο φόρεμα και πόσο θα πληρώσουμε για να το αγοράσουμε.

Εικόνα Σε μία τάξη τα $\dfrac{3}{8}$ των μαθητών μαθαίνουν αγγλικά. Να βρεις πόσους μαθητές έχει η τάξη, αν γνωρίζεις ότι αυτοί που μαθαίνουν αγγλικά είναι 12 μαθητές.
Εικόνα Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο η μια πλευρά του είναι 33 εκατοστά και η άλλη τα $\dfrac{3}{11}$ της πρώτης. Να βρεις την περίμετρο του ορθογωνίου.
Εικόνα

Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει μήκος 5 εκατοστά. Να σχεδιάσεις:

(α) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ με μήκος τα $\dfrac{8}{10}$ του ΑΒ και (β) ένα ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ με μήκος τα $\dfrac{6}{5}$ του ΑΒ.

 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΠΙΤΙ

Εικόνα

Εικόνα

Χρωμάτισε σε καθένα από τα σχήματα που ακολουθούν τα μέρη που αντιστοιχούν στα κλάσματα που είναι γραμμένα κάτω από κάθε σχήμα.

Εικόνα

Εικόνα Να βρεις ποιο μέρος του μεγάλου τετραγώνου είναι κάθε χρωματισμένο μέρος του διπλανού σχήματος. Εικόνα