Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Α1.1. Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη Φυσικών - Στρογγυλοποίηση Α1.3. Δυνάμεις φυσικών αριθμών Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Α' - Κεφάλαιο 1ο - Οι φυσικοί αριθμοί
 
Α.1.2. Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών
Παρακάτω θα ασχοληθούμε με τις "πράξεις" των φυσικών αριθμών. Το ουσιαστικό "πράξη" προκύπτει από το ρήμα "πράττω" και δηλώνει μια δράση ή ενέργεια. Οι αριθμοί που έχουμε γνωρίσει μέχρι τώρα υλοποιούν ανάγκες μέτρησης. Σύνθετες μετρήσεις προκύπτουν από απλές μετρήσεις με τη διαδικασία των πράξεων, όπως για παράδειγμα της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα
Εικόνα

Ο διπλανός πίνακας δίνει τα αθροίσματα, δηλαδή τα αποτελέσματα της πρόσθεσης των μονοψήφιωνφυσικών αριθμών.

  • Τι παρατηρείς για την πρόσθεση με το 0;
  • Πόσοι αριθμοί μπορούν να προστεθούν κάθε φορά;
  • Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 12 και διαφορά 2.
    Μπορείς να βρεις τους αριθμούς αυτούς;
  • Σύγκρινε τα αθροίσματα 3 + 6 και 6 + 3 και μετά τα αθροίσματα
    (5+4) + 2 και 5 + (4+2)
  • Διατύπωσε τα συμπεράσματά σου.
  • Φτιάξε ένα παρόμοιο πίνακα για τον πολλαπλασιασμό, διατύπωσε τα αντίστοιχα ερωτήματα και προσπάθησε να δώσεις τις κατάλληλες απαντήσεις.
 
Σκεφτόμαστε

Παρατηρούμε ότι κάθε φορά μπορούμε να προσθέσουμε δύο μόνο αριθμούς, συνεπώς από τα ζευγάρια των αριθμών που έχουν άθροισμα 12, δηλαδή 9+3, 8+4, 7+5, 6+6, εκείνο που έχει διαφορά 2 είναι το ζευγάρι των αριθμών 7 και 5.

Επίσης, παρατηρούμε ότι: 0+1=1+0=1, 0+2=2+0=2, 0+3=3+0=3, κ.ο.κ.

Η σύγκριση των αθροισμάτων 3+6=9 και 6+3=9, όπως και άλλων τέτοιων αθροισμάτων π.χ. 7+1=8 και 1+7=8 κ.λπ., μας οδηγούν στη διατύπωση της αντιμεταθετικής ιδιότητας.

Επίσης, η σύγκριση των αθροισμάτων: (5+4)+2=11 και 5+(4+2)=11, αλλά και άλλων αθροισμάτων, όπως π.χ. (9+1)+3=13 και 9+(1+3)=13 κ.λπ., μας οδηγούν στη διατύπωση της προσεταιριστικής ιδιότητας. Επομένως, μπορούμε να διατυπώσουμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και αντίστοιχα του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η

Σε όλο το μήκος του εθνικού δρόμου Αθήνας - Αλεξανδρούπολης υπάρχουν χιλιομετρικές ενδείξεις. Οι ενδείξεις αυτές γράφουν: στη Λαμία 214, στη Λάρισα 362, στην Κατερίνη 445, στη Θεσσαλονίκη 514, στην Καβάλα 677, στην Ξάνθη 732, στην Κομοτηνή 788 και στην Αλεξανδρούπολη 854.

  • Μπορείς να βρεις τις μεταξύ των πόλεων αποστάσεις;
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η

Ο Σπύρος υπολόγισε με το μυαλό του το εμβαδόν του διπλανού σχήματος και το βρήκε 1600 τετραγωνικά χιλιοστά.

  • Υπολόγισε και συ το εμβαδόν και δώσε μια εξήγηση για το τι ακριβώς έκανες για να το βρεις.
Εικόνα
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
Πρόσθεση Εικόνα
Ιδιότητες της πρόσθεσης:
  • Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο τον αριθμό
Εικόνα
  • Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των δύο προσθετέων ενός αθροίσματος)
Εικόνα
  • Προσεταιριστική ιδιότητα
Εικόνα
  • Αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία, όταν δίνονται δύο αριθμοί, Μ (μειωτέος) και Α (αφαιρετέος) βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στο Α δίνει το Μ.
  • Στους φυσικούς αριθμούς ο αφαιρετέος Α πρέπει να είναι πάντα μικρότερος ή ίσος του μειωτέου Μ. Σε αντίθετη περίπτωση η πράξη της αφαίρεσης δεν είναι δυνατόν να εκτελεστεί.

Εικόνα

Πολλαπλασιασμός

Εικόνα

Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού:
  • Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού με τη μονάδα ισούται με τον ίδιο τον αριθμό
Εικόνα
  • Αντιμεταθετική ιδιότητα (Μπορούμε να αλλάζουμε τη σειρά των παραγόντων ενός γινομένου)
Εικόνα
  • Προσεταιριστική ιδιότητα
Εικόνα
  • Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση
Εικόνα
  • Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την αφαίρεση
Εικόνα
  • Το γινόμενο ενός φυσικού αριθμού επί το μηδέν ισούται με το μηδέν
Εικόνα
Εικόνα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Να υπολογιστούν τα γινόμενα: (α) 35 · 10, (β) 421 · 100, (γ) 5 · 1.000, (δ) 27 · 10.000

Εικόνα

Εικόνα

(α)  35  · 10         = 350

(β)  421 · 100       = 42.100

(γ)  5    · 1.000    = 5.000

(δ)  27  · 10.000 = 270.000

Από τα παραπάνω διαπιστώνουμε ότι για να πολλαπλασιάσουμε ένα αριθμό επί 10, 100, 1.000, ... γράφουμε στο τέλος του αριθμού τόσα μηδενικά όσα έχει κάθε φορά ο παράγοντας 10, 100, 1.000 ...

Εικόνα

Να εκτελεστούν οι ακόλουθες πράξεις:

(α) 89 ·7 + 89 ·3, (β) 23 · 49 + 77 · 49, (γ) 76 · 13 – 76 · 3, (δ) 284 · 99

Εικόνα

(α) 89 · 7 + 89 · 3 = 89 · (7 + 3) = 89 · 10 = 890

(β) 23 · 49 + 77 · 49 = (23 + 77) · 49 = 100 · 49 = 4.900

(γ) 76 · 13 - 76 · 3 = 76 · (13-3) = 76 · 10 = 760

(δ) 284 · 99 = 284 · (100 - 1) = 284 · 100 - 284 · 1 = 28.400 - 284 = 28.116

Εικόνα

Να ερμηνευτούν με γεωμετρικό τρόπο οι επιμεριστικές ιδιότητες:

(α + β)·γ = α·γ + β·γ και (α-β)·γ=α·γ-β·γ

Εικόνα

Δύο ορθογώνια παραλληλό­γραμμα (μπλέ και κίτρινο) έχουν μία διάσταση με το ίδιο μήκος γ. Για αυτό το λόγο μπορούμε, αν τα "κολλή­σουμε", όπως φαίνεται στο σχήμα, να φτιάξουμε ένα τρίτο, το ΑΖΗΔ, με εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών τους.

Εικόνα
Αν βάλουμε το μικρότερο πάνω στο μεγαλύτερο, όπως φαίνεται στο σχήμα, θα αποκτήσουμε ένα άλλο, το ΑΕΘΔ, που θα έχει εμβαδόν ίσο με τη διαφορά των εμβαδών των δύο αρχικών.
Εικόνα

Μικροπείραμα      Μικροπείραμα

 

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ
Εικόνα

Μερικές φορές ένας απλός συλλογισμός κάποιου ανθρώπου αξίζει πιο πολύ απ' όλο το χρυσάφι του κόσμου. Με κάποιες έξυπνες ιδέες κερδίζονται μάχες, γίνονται μνημειώδη έργα και δοξάζονται άνθρωποι, ενώ παράλληλα αναπτύσσεται η επιστήμη, εξελίσσεται η τεχνολογία, διαμορφώνεται η ιστορία και αλλάζει η ζωή.

Ένα μικρό παράδειγμα είναι η "έξυπνη πρόσθεση" που σκέφτηκε να κάνει ο Γκάους (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1850), όταν σε ένα χωριό της Γερμανίας γύρω στα 1789, στην πρώτη τάξη του σχολείου, άρχισε να μαθαίνει για τους αριθμούς και τις αριθμητικές πράξεις. Όταν ο δάσκαλος ζήτησε από τους μαθητές του να υπολογίσουν το άθροισμα:

1+2+3+....+98+99+100, πριν οι υπόλοιποι αρχίσουν τις πράξεις, ο μικρός Γκάους το είχε ήδη υπολογίσει. Ο δάσκαλος έκπληκτος τον ρώτησε πώς το βρήκε. Τότε εκείνος έγραψε στον πίνακα:

(1+ 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (48 + 53) + (49 + 52) + (50 + 51) =
= $\underbrace{101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101 }_{50\text{ φορές}}$= 101 $\cdot$ 50 = 5.050
Προσπάθησε να υπολογίσεις με τον τρόπο του Γκάους το άθροισμα 1+2+3 + ...+ 998 + 999 + 1000 και να μετρήσεις το χρόνο που χρειάστηκες. Πόσο χρόνο θα έκανες άραγε να το υπολογίσεις με κανονική πρόσθεση;

Μικροπείραμα     Karl Friedrich Gauss

 

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Εικόνα

Εικόνα

Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά
(α)

H ιδιότητα α + β = β + α λέγεται......................................................................................

(β) Η ιδιότητα α + β + γ = α + (β + γ) = (α + β) + γ λέγεται..................................................
(γ)  Ο αριθμός που προστίθεται σε αριθμό α και δίνει άθροισμα α είναι.......................................
(δ)  Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης λέγεται...............................................................................
(ε) Σε μια αφαίρεση οι αριθμοί Μ, Α και Δ συνδέονται με τη σχέση:..........................................
(στ) Η ιδιότητα α · β = β · α λέγεται.........................................................................................
(ζ) Η ιδιότητα α · (β · γ) = (α · β) · γ λέγεται..........................................................................
(η) Η ιδιότητα α · (β + γ) = α · β + α · γ λέγεται.....................................................................
 
Εικόνα Συμπλήρωσε τα γινόμενα: (α) 52· [...] = 5.200, (β) 37· [...] = 370, (γ) 490· [...] = 4.900.000
Εικόνα

Συμπλήρωσε τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς, ώστε να προκύψουν σωστά αθροίσματα:

Εικόνα

Εικόνα
Αντιστοίχισε κάθε γραμμή του πρώτου πίνακα με ένα από τα
αποτελέσματα που υπάρχουν στο δεύτερο πίνακα
1 + 2 + 3 + 4
1 + 2 + 3 $\cdot$ 4
1 $ \cdot$ 2 + 3 $ \cdot$ 4

1 $ \cdot$ 2 $ \cdot$ 3 $ \cdot$ 4
    14
24
10

15
Εικόνα
Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση
(α)

157 + 33 =

190   200   180  
(β) 122 + 25 + 78 = 200   250   225  
(γ)  785 - 323 = 462   458   562  
(δ)  7.321 - 4.595 = 2.724   2.627   2.726  
(ε) 60 - (18 - 2) = 60+18-2   (60-18)-2   60-18+2  
(στ) 52 - 11 -9 = 52-(11+9)   (52-11)-9   52-20  
(ζ) 23 · 10 = 230   240   2.300  
(η) 97 · 100 = 970   9.700   9.800  
(θ)  879 · 1000 = 87900   879000   880000  
Εικόνα

Υπολόγισε τα παρακάτω γινόμενα, χρησιμοποιώντας την επιμεριστική ιδιότητα:

(α) 3·13, (β)7·11, (γ) 45·12,   (δ) 12 ·101, (ε) 5 ·110, (στ) 4 ·111, (ζ) 34 ·99, (η) 58· 98.

Εικόνα
Υπολόγισε το εμβαδόν του σχήματος, χρησιμοποιώντας  κατάλληλα την επιμεριστική ιδιότητα. Εικόνα
Εικόνα

Αγοράσαμε διάφορα σχολικά είδη που κόστιζαν: 156 €, 30 €, 38 €, 369 € και 432 €.

(α) Υπολόγισε πρόχειρα αν αρκούν 1.000 € για να πληρώσουμε τα είδη που αγοράσαμε.

(β) Βρες πόσα ακριβώς χρήματα θα πληρώσουμε.

Εικόνα Ο Νίκος κατέβηκε για ψώνια με 160 €. Σε ένα μαγαζί βρήκε ένα πουκάμισο που κόστιζε 35 €, ένα πανταλόνι που κόστιζε 48 € και ένα σακάκι που κόστιζε 77 €. Του φτάνουν τα χρήματα νια να τα αγοράσει όλα;
Εικόνα
Σε ένα αρτοποιείο έφτιαξαν μία μέρα 120 κιλά άσπρο ψωμί, 135 κιλά χωριάτικο, 25 κιλά σικάλεως και 38 κιλά πολύσπορο. Πουλήθηκαν 107 κιλά άσπρο ψωμί, 112 κιλά χωριάτικο, 19 κιλά σικάλεως και 23 κιλά πολύσπορο. Πόσα κιλά ψωμί έμειναν απούλητα; Εικόνα
Εικόνα
Εικόνα

Ο Άρης γεννήθηκε το 1983 και είναι 25 χρόνια μικρότερος από τον πατέρα του.

(α) Πόσων χρονών είναι ο Άρης σήμερα;

(β) Πότε γεννήθηκε ο πατέρας του;

Εικόνα ‘Ενα γκαράζ έχει 12 πατώματα. Τα 7 πατώματα έχουν 20 διπλές θέσεις το καθένα και τα υπόλοιπα από 12 διπλές θέσεις. Στο γκαράζ μπήκαν 80 μοτοσυκλέτες, 58 επιβατικά και 61 ημιφορτηγά. Επαρκούν οι θέσεις για όλα αυτά;
 
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
Εικόνα

Αρχικά ο άνθρωπος έκανε μόνο το διαχωρισμό: ένα, δύο, πολλά. Με την πρόοδο του πολιτισμού, την ανάπτυξη των τεχνών και του εμπορίου διαμορφώνει τις έννοιες των αριθμών. Σ αυτό βοήθησαν και τα φυσικά πρότυπα αρίθμησης, όπως π.χ. τα δάκτυλα του ενός χεριού (αρίθμηση βάση το 5) ή των δύο χεριών (βάση το 10). Μετά, τα πρώτα αυτά αριθμητικά συστήματα, συμπληρώνονται με τις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.

Τα αποτελέσματα της αρίθμησης καταγράφονταν με τη βοήθεια χαραγών πάνω σε ξύλα ή κόκαλα ή με κόμπους σε σχοινιά. Το αρχαιότερο εύρημα ανάγεται στους προϊστορικούς χρόνους και είναι το κόκαλο ποδιού ενός μικρού λύκου μήκους 18 εκατοστών που βρέθηκε, το 1937, στην πόλη Βεστόνιτσε της Μοραβίας (εικόνα).

Η ανάγκη υπολογισμού μεγεθών απαιτεί σύγκριση με ένα σταθερό υπόδειγμα, τη μονάδα μέτρησης. Οι πρώτες μονάδες αντιστοιχούν πάλι σε μέλη του σώματος, όπως παλάμες, δάχτυλους, πόδια, οργιά, πήχη. Από τα φυσικά πρότυπα, τις χαραγές, τους κόμπους, τα βότσαλα περάσαμε μέσα σε περίοδο χιλιάδων ετών στα σύμβολα που παρίσταναν αριθμούς. Τα σύμβολα αυτά ήταν διαφορετικά στους διάφορους αρχαίους πολιτισμούς. Η ενοποίηση του συμβολισμού των αριθμών που υπάρχει σήμερα χρειάστηκε χιλιάδες χρόνια για να γίνει.

Η ιστορία του μηδενός και ο συμβολισμός του ακολουθεί διαφορετική πορεία. Κι αυτό γιατί η ανάγκη ύπαρξης ξεχωριστού συμβόλου για το "τίποτα" εμφανίστηκε πολύ αργότερα.

Οι Σουμέριοι και οι Βαβυλώνιοι άφηναν ένα κενό διάστημα για να δηλώσουν την απουσία αριθμητικού ψηφίου σε κάποια θέση. Οι παρανοήσεις και τα λάθη που προέκυπταν τους οδήγησαν στην υιοθέτηση του ειδικού συμβόλου Εικόνα ή Εικόνα  ή Εικόνα κατά την Περσική περίοδο.

Το σύμβολο αυτό το τοποθετούσαν μόνο μεταξύ δύο ψηφίων και όχι στο τέλος ενός αριθμού. Από τον 3ο - 12ο αιώνα μ.Χ. το μηδέν είναι μια κουκίδα. Ο μαθηματικός και αστρονόμος Βραχμαγκούπτα, το 628 μ.Χ. ονομάζει το μηδέν ως "το τίποτα". Τον 9ο αιώνα συναντάμε επιγραφή με σαφή συμβολισμό για το μηδέν.

Οι Ινδοί χρησιμοποιούν το σύμβολο του μηδενός και ως τελευταίο ψηφίο αριθμού. Έτσι είχαν 10 ισότιμα ψηφία τα: · ή 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9.

Ο Άραβας μαθηματικός Αλ-Χουαρίζμι (787 - 850 μ.Χ.), στο έργο του "Αλγόριθμοι των Ινδικών αριθμών" γράφει το 820 μ.Χ. για το μηδέν: "Όταν μια αφαίρεση δεν αφήνει τίποτα, τότε, για να μη μείνει άδεια η θέση πρέπει να μπαίνει ένας μικρός κύκλος, γιατί διαφορετικά οι θέσεις θα λιγοστέψουν και μπορεί π.χ. η δεύτερη να θεωρηθεί ως πρώτη".

Ο Έλληνας μαθηματικός Κλαύδιος Πτολεμαίος (100 - 178 μ.Χ.) χρησιμοποιεί το σύμβολο 0 για να παραστήσει το μηδέν, στο βιβλίο του "Μεγάλη Μαθηματική Σύνταξη" ή "Αλμαγέστη" (150 μ.Χ.). Το επινόησε από το αρχικό γράμμα της λέξης "ουδέν" που σημαίνει κανένα (ψηφίο).

Κλαύδιος Πτολεμαίος