Μαθηματικά (Α' Γυμνασίου)-Βιβλίο Μαθητή
3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων 3.3. Παραλληλόγραμμο - Ορθογώνιο - Ρόμβος - Τετράγωνο - Τραπέζιο - Ισοσκελές τραπέζιο Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Μέρος Β' - Τρίγωνα - Παραλληλόγραμμα - Τραπέζια
 
Β.3.2. Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η
Εικόνα

Σχεδίασε διάφορα τυχαία ορθογώνια, αμβλυγώνια και οξυγώνια τρίγωνα, όπως π.χ. αυτά που φαίνονται πιο κάτω. Μέτρησε τις γωνίες τους με το μοιρογνωμόνιο και υπολόγισε το άθροισμα τους. Μπορείς να διατυπώσεις κάποιο συμπέρασμα

Εικόνα

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η
 

Προσπάθησε να διαπιστώσεις ποια διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι άξονας συμμετρίας του και γιατί.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η
 

Προσπάθησε να διερευνήσεις πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και γιατί.

 
Θυμόμαστε - Μαθαίνουμε
Εικόνα
  • Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Εικόνα

Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει ότι:

  • Η ευθεία της διαμέσου, που αντιστοιχεί στη βάση είναι άξονας συμμετρίας του ισοσκελούς τριγώνου.
  • Η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση είναι ύψος και διχοτόμος.
  • Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση του ισοσκελούς είναι ίσες.
Εικόνα
 

Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει ότι:

  • Οι ευθείες των διαμέσων είναι άξονες συμμετρίας του ισοπλεύρου τριγώνου.
  • Κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος.
  • Όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του ισοπλεύρου τριγώνου είναι ίσες.
Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα

Να δικαιολογηθεί με λογικά επιχειρήματα ότι το άθροισμα των τριών γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°.

Εικόνα

 

 Εικόνα

Σχεδιάζουμε το τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία xAy, που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη προς την ευθεία ΒΓ.

Παρατηρούμε ότι:
Εικόνα γιατί είναι γωνίες εντός εναλλάξ, των παράλληλων ευθειών xAy και ΒΓ, που τέμνονται από την ΑΒ.
Εικόνα γιατί είναι γωνίες εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών xAy και ΒΓ, που τέμνονται από την ΑΓ.
Οι γωνίες Εικόνα και Εικόνα σχηματίζουν μια ευθεία γωνία.

Επομένως θα είναι: Εικόνα.
Επειδή όμως είναι: Εικόνα και Εικόνα, θα έχουμε: Εικόνα.

Εικόνα
Εικόνα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες είναι συμπληρωματικές.
Εικόνα  
 

Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Εικόνα.
Επειδή είναι: Εικόνα θα έχουμε: Εικόνα.

Γνωρίζουμε, ότι δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90° λέγονται συμπληρωματικές. Άρα, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές.
Εικόνα
Εικόνα To άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου ισούται με την εξωτερική της τρίτης γωνίας. (Στο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Εικόνα, που σχηματίζεται από την ΑΓ και την προέκταση της ΒΓ προς το μέρος του Γ, ονομάζεται εξωτερική γωνία της Εικόνα).
Εικόνα  
 

Η εξωτερική γωνία Εικόνα είναι παραπληρωματική της εσωτερικής γωνίας Εικόνα του τριγώνου, δηλαδή θα είναι Εικόνα:

Επειδή σε κάθε τρίγωνο είναι Εικόνα, άρα Εικόνα, δηλαδή Εικόνα. Άρα, η εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου.
Εικόνα
Εικόνα Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι όλες ίσες με 60°.
Εικόνα  
 

Γνωρίζουμε ότι στο ισόπλευρο τρίγωνο είναι: Εικόνα

Επειδή σε κάθε τρίγωνο είναι Εικόνα, θα είναι Εικόνα, δηλαδή Εικόνα, συνεπώς: Εικόνα. Άρα, όλες οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες με 60°.
Εικόνα
Εικόνα Να υπολογιστούν οι γωνίες ενός ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου.
Εικόνα  
 

Σε κάθε τρίγωνο ισχύει Εικόνα. Επειδή στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Εικόνα  είναι ορθή, δηλαδή Εικόνα, θα είναι: Εικόνα.

Επειδή το τρίγωνο είναι και ισοσκελές θα είναι Εικόνα , άρα θα είναι Εικόνα, από την οποία προκύπτει ότι:Εικόνα, δηλαδή θα έχουμε Εικόνα και επομένως και Εικόνα

Εικόνα
Εικόνα Να βρεθούν τα μέτρα των γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου, αν είναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του είναι 40°.
Εικόνα  
 

Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Τότε θα είναι Εικόνα

Επειδή είναι Εικόνα διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις:
 
(α)

Αν είναι Εικόνα.

Συνεπώς θα είναι Εικόνα, επομένως Εικόνα. Επομένως θα είναι Εικόνα,  από  την οποία προκύπτει ότι: Εικόνα, δηλαδή Εικόνα άρα και Εικόνα.

Εικόνα
(β)

Αν είναι  Εικόνα.

Θα είναι εικόνα Εικόνα, δηλαδή Εικόνα, συνεπώς θα έχουμε: Εικόνα.

Παρατηρούμε ότι με τα ίδια ακριβώς δεδομένα προκύπτουν δύο τελείως διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δεδομένα.

Εικόνα
 
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Εικόνα

Εικόνα

Τοποθέτησε ένα "x" στην αντίστοιχη θέση ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ
(α)

Οι προσκείμενες γωνίες στη βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.

   
(β) Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Εικόνα.    
(γ)  Κάθε ισόπλευρο τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες ίσες με 30°.    
(δ)  Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η ευθεία μιας διαμέσου είναι άξονας συμμετρίας.    
(ε) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος, που αντιστοιχεί στη βάση, είναι και διχοτόμος.    
(στ) Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι ευθείες των πλευρών είναι άξονες συμμετρίας.    
(ζ) Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο οι ευθείες των υψών είναι άξονες συμμετρίας.
   
(η)

Σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάμεσος είναι και ύψος.

   
(θ) Σε κάθε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο οι προσκείμενες γωνίες στη βάση είναι 60°.    
Εικόνα Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ώστε να είναι  Εικόνα και  Εικόνα και υπολόγισε τη γωνία Εικόνα.
Εικόνα Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, στο οποίο να είναι Εικόνα , Εικόνα και ΑΒ = 4,2 cm. (α) Υπολόγισε τη γωνία Εικόνα. (β) Μέτρησε την πλευρά ΒΓ και σύγκρινε το μήκος της με το μήκος της πλευράς ΑΒ.
Εικόνα
Στο διπλανό σχήμα είναι ε1//ε2. Να υπολογίσεις τις γωνίες Εικόνα Εικόνα
Εικόνα

Στα διπλανά σχήματα είναι ε1//ε2.

Να υπολογίσεις τη γωνία Εικόνα.

Εικόνα
Εικόνα
Στο διπλανό σχήμα είναι ΑΒ//ΓΔ. Υπολόγισε τη γωνία Εικόνα. Εικόνα
Εικόνα Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η γωνία που είναι απέναντι από τη βάση είναι 74°. Να υπολογίσεις τις υπόλοιπες γωνίες.
Εικόνα Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι Εικόνα=36° και η γωνία Εικόνα είναι διπλάσια από τη Εικόνα. Υπολόγισε τις γωνίες Εικόνα και Εικόνα.
Εικόνα Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Εικόνα είναι διπλάσια από τη Εικόνα και η Εικόνα τριπλάσια από τη Εικόνα. Να υπολογίσεις τις γωνίες του τριγώνου.
Εικόνα Να σχεδιάσεις ένα τετράπλευρο ΑΒΓΔ, να πάρεις ένα σημείο Ο στο εσωτερικό του και να φέρεις τις OA, OB, ΟΓ και ΟΔ. Να υπολογίσεις το άθροισμα των γωνιών ΕικόναΕικόνα και στη συνέχεια το άθροισμα των γωνιών του ΑΒΓΔ.