Μαθηματικά (A' Γυμνασίου) - Βιβλίο Μαθητή (Εμπλουτισμένο)
Μέρος Β' - Κεφάλαιο 2ο - Συμμετρία
 
Β.2.4. Συμμετρία ως προς σημείο
 
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
Εικόνα

Αν περιστραφεί το σχήμα ΑΒΓ, γύρω από το σημείο Ο κατά 180°, παίρνει μια νέα θέση την Α'Β'Γ'

  • Τι συμπεραίνεις για τα σχήματα ΑΒΓ και Α'Β'Γ’;

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Σκεφτόμαστε

Παρατηρούμε ότι όταν ολοκληρωθεί η στροφή αυτή, κάθε σημείο του ΑΒΓ συμπίπτει με ένα σημείο του Α'Β'Γ'. Για παράδειγμα, θα συμπέσουν τα σημεία Α και Α'.

Εικόνα
 
  • Τα σημεία αυτά λέγονται συμμετρικά, ως προς κέντρο Ο. Δηλαδή:
 
  • Συμμετρικό σημείου Α ως προς κέντρο Ο, είναι το σημείο Α', με το οποίο συμπίπτει το Α, αν περιστραφεί περί το Ο κατά 180°.
Εικόνα

Ισχύει ότι:

  • Δύο σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν το Ο είναι μέσο του τμήματος ΜΜ'
  • Δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς σημείο Ο, όταν κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου ως προς το Ο.
  • Τα συμμετρικά ως προς σημείο σχήματα είναι ίσα.
Εικόνα
 
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
Εικόνα Να βρεθεί το συμμετρικό Α' του σημείου Α, ως προς σημείο Ο.
Εικόνα

 

 Εικόνα

Για να κατασκευάσουμε το συμμετρικό Α' ενός σημείου Α ως προς σημείο Ο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΟ και στην προέκτασή του (με το υποδεκάμετρο ή με το διαβήτη) παίρνουμε ίσο τμήμα ΟΑ', όπως δείχνουν οι παραπάνω εικόνες.

Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α'Β' ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ως προς σημείο Ο.
Εικόνα

 

 

Το συμμετρικό ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ως προς σημείο Ο, είναι ευθύγραμμο τμήμα Α'Β'. Για να το κατασκευάσουμε αρκεί να βρούμε τα σημεία Α' και Β', που είναι τα συμμετρικά των Α και Β ως προς Ο

Παρατηρούμε ότι είναι: Α'Β' = ΑΒ και Α'Β' // ΑΒ


Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
Εικόνα Να κατασκευαστεί το συμμετρικό ως προς σημείο Ο: (α) μιας ευθείας ε και (β) μιας ημιευθείας Αx.
Εικόνα

 

 

Παίρνουμε δύο σημεία Α και Β πάνω στην ευθεία ε ή την ημιευθεία Αx και βρίσκουμε, όπως παραπάνω, τα συμμετρικά ως προς το Ο. Η προέκταση του ευθύγραμμου τμήματος Α'Β' είναι η ε' ή η Α'x', που είναι συμμετρική της ευθείας ε ή της ημιευθείας Ax αντίστοιχα.

(α) Εικόνα (β) Εικόνα

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα μιας γωνίας xÂy ως προς σημείο Ο.
Εικόνα

 

 

Βρίσκουμε το συμμετρικό Α' της κορυφής Α και τις συμμετρικές ημιευθείες Α'x' και Α'y' των δύο πλευρών της Ax και Ay αντίστοιχα ως προς το Ο, όπως μάθαμε προηγουμένως. Τότε, η γωνία x'Â’y' είναι συμμετρική της xÂy και είναι ίση μ' αυτή.

Εικόνα
Εικόνα Να κατασκευαστεί το συμμετρικό Α'Β'Γ' ενός τριγώνου ΑΒΓ ως προς σημείο Ο, το οποίο (α) είναι εκτός τριγώνου, (β) βρίσκεται εντός του τριγώνου και (γ) είναι μία κορυφή του.
Εικόνα

 

 

Και στις τρεις περιπτώσεις, βρίσκουμε τα συμμετρικά Α', Β', Γ', ως προς το Ο, των κορυφών Α, Β, Γ του τριγώνου. Τότε το τρίγωνο ΑΒΓ έχει συμμετρικό το τρίγωνο Α'Β'Γ', που είναι ίσο με το ΑΒΓ.


Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
Εικόνα Να κατασκευαστεί το συμμετρικό σχήμα ενός κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημείο Ο.
Εικόνα

 

 

Βρίσκουμε το συμμετρικό ως προς το Ο του κέντρου Κ και ενός σημείου του κύκλου Α, που είναι τα σημεία Κ' και Α' αντίστοιχα. Γράφουμε τον κύκλο (Κ', ρ=Κ'Α') που είναι ο ζητούμενος. Οι δύο κύκλοι είναι ίσοι διότι έχουν ίσες ακτίνες.

Μικροπείραμα μικροπείραμα

Εικόνα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
Εικόνα


Να κατασκευάσεις τα συμμετρικά Β', Μ' και Γ' των Β, Μ και Γ αντίστοιχα ως προς το Α και να δικαιολογήσεις ότι το Μ' είναι μέσο του Β'Γ'. (Το Μ είναι το μέσο της ΒΓ).

Εικόνα

Εικόνα

Εικόνα Να σχεδιάσεις τρίγωνο ΑΒΔ και το συμμετρικό Γ της κορυφής του Α ως προς το μέσον Ο της πλευράς ΒΔ. Πώς μπορείς να χαρακτηρίσεις το τετράπλευρο ΑΒΓΔ;

Μικροπείραμα - Άσκηση νέα μικροπείραμα