Στατιστική - Βιβλίο Μαθητή
5.7 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Κ.Ο.Θ) 5.9 Η δειγματική κατανομή του μέσου X για δείγματα από κανονικό πληθυσμό με άγνωστη διακύμανση σ2 Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο

5.8 Η κατανομή Student- t

Γνωρίζουμε ήδη ότι αν η τ.μ Χ ~Ν(μ,σ2) τότε η τ.μ Εικόνα

Το συμπέρασμα αυτό ισχύει στην περίπτωση που ο μέσος μ και η τυπική απόκλιση σ είναι γνωστά. Στην πράξη το μ και το σ είναι συνήθως άγνωστα.
Τι συμβαίνει τότε στο πηλίκο Εικόνα ;

Το ερώτημα απασχόλησε τον Ιρλανδό Στατιστικό (W. Gosset 1908), ο οποίος ύστερα από μελέτες κατέληξε σε ορισμένα συμπεράσματα τα οποία δημοσίευσε το 1908 με το ψευδώνυμο "Student".

Σύμφωνα με αυτά, υποθέτοντας ότι η τ.μ Χ έχει κανονική κατανομή με γνωστό μέσο μ αλλά άγνωστη διακύμανση σ2, παρατήρησε ότι:

 



  • Εικόνα όπου S η δειγματική απόκλιση που εκτιμά την άγνωστη σ μοιάζει με την Ζ, και οι καμπύλες των κατανομών των τιμών της τ.μ Τ είναι πλατύκυρτες δηλαδή 'πλατύτερες'

  • Τις κατανομές αυτές ονόμασε t-κατανομές.

Παρατήρησε ακόμη ότι η μορφή των καμπυλών της κατανομής της τ.μ Τ, εξαρτάται από το πλήθος ν των παρατηρήσεων-δεδομένων.
Λαμβάνοντας υπόψη την τελευταία αυτή εξάρτηση της κατανομής από το ν όρισε την κατανομή κατά τρόπο ώστε το σχήμα της να μεταβάλλεται ανάλογα με την τιμή του ν. Εισήγαγε έτσι με τη βοήθεια του ν τη μοναδική παράμετρο της κατανομής την οποία συμβόλισε με d και ονόμασε 'βαθμούς ελευθερίας της κατανομής'.

Αποδεικνύεται ότι η κατανομή της τ.μ Εικόνα έχει d = ν-1 βαθμούς  ελευθερίας.