Στατιστική - Βιβλίο Μαθητή
1.9 Μετρα διασποράς 2.1 Απαρίθμιση Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

1.10 Συμμετρικά και ασύμμετρα δεδομένα

Αν ένας πληθυσμός είναι κατά προσέγγιση συμμετρικός, τότε σε δείγμα μεγέθους (ν ≥  30) οι τιμές του μέσου και της διαμέσου δε διαφέρουν πολύ μεταξύ τους.
Αν τα δεδομένα έχουν και κορυφή, τότε η τιμή της είναι κοντά στην τιμή του μέσου και της διαμέσου.

Πληθυσμός που δεν είναι συμμετρικός λέγεται ασύμμετρος.

Αν η κατανομή εμφανίζει μακριά ουρά στην περιοχή των μεγάλων τιμών, ονομάζεται θετικά ασύμμετρη. Βλέπε σχήμα (1.8).

Σχ.(1.8) Ιστόγραμμα θετικά ασύμμετρης κατανομής

Σχ.(1.8) Ιστόγραμμα θετικά ασύμμετρης κατανομής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Στην περίπτωση αυτή, η τιμή της κορυφής είναι μικρότερη της τιμής της διαμέσου, που είναι μικρότερη της τιμής του μέσου.
Πράγματι, για τα δεδομένα του παραδείγματος η κορυφή έχει τιμή 18,670, η διάμεσος 42,967 και ο μέσος 46,951.

Σχ.(1.9) Ιστόγραμμα αρνητικά ασύμμετρης κατανομής

Σχ.(1.9) Ιστόγραμμα αρνητικά ασύμμετρης κατανομής

1. Συντελεστής ασυμμετρίας του Pearson

(Μέσος - Κορυφή)/Τυπική Απόκλιση

Στην περίπτωση που η κορυφή είναι άγνωστη ή υπάρχουν περισσότερες των δύο κορυφών χρησιμοποιείται εναλλακτική έκφραση για τη μέτρηση του βαθμού ασυμμετρίας της κατανομής στην οποία αντί της κορυφής χρησιμοποιείται η διάμεσος.

2. Εναλλακτική έκφραση του συντελεστή ασυμμετρίας του Pearson

3(Μέσος - Διάμεσος)/Τυπική Απόκλιση
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Παράδειγμα 2ο
Ένας αγρότης σημείωσε τον αριθμό των αυγών που συγκέντρωσε σε μια περίοδο 150 ημερών. Η κατανομή συχνοτήτων των αυγών που μάζεψε παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί:

Πίνακας (1.10)
Αριθμός Αυγών 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Συχνότητα 1 2 4 6 9 13 18 22 35 30 10

Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή του αριθμού των αυγών που συγκεντρώθηκαν σε μια μέρα.
Να υπολογιστούν:
α) η διάμεσος του αριθμού των αυγών που συγκεντρώθηκαν ανά ημέρα,
β) η μέση τιμή και η απόκλιση του αριθμού των αυγών που συγκεντρώθηκαν ανά ημέρα.
γ) Να σχεδιαστεί διάγραμμα συχνοτήτων που να απεικονίζει τα δεδομένα και να σχολιαστεί η μορφή του.

Απάντηση
Η επικρατούσα τιμή είναι 23. Παρατηρούμε ότι η παρατήρηση αυτή εμφανίζει τη μεγαλύτερη συχνότητα.
α) ν=150 άρα η διάμεσος αντιστοιχεί στην (150 + 1) /2 = 75.5η τιμή.
Ο πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων είναι ο ακόλουθος:

Πίνακας (1.11)
Αριθμός αυγών x Συχνότητα (ν) Αθροιστική συχνότητα (Ν)
15 1 1
16 2 3
17 4 7
18 6 13
19 9 22
20 13 3
21 18 53
22 22 75
23 35 110
24 30 14
25 10 150
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Παρατηρούμε ότι η 75η τιμή είναι 22 και η 76η τιμή είναι 23, επομένως η 75,5η τιμή είναι 22,5. Άρα η διάμεσος είναι 22,5 αυγά.
β) Για να υπολογίσουμε το μέσο και την τυπική απόκλιση, χρησιμοποιούμε τους
τύπους:

Εικόνα

Εικόνα

Άρα, η μέση τιμή του αριθμού των αυγών είναι 21,94 και η τυπική απόκλιση είναι 2,179.

γ) Από το διάγραμμα συχνοτήτων παρατηρούμε ότι η κατανομή εμφανίζει αρνητική
ασυμμετρία. Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Pearson υπολογίζεται ως εξής:

Εικόνα

Το αποτέλεσμα αυτό δείχνει ότι πράγματι, η κατανομή είναι αρνητικά ασύμμετρη, όπως προκύπτει και από το ραβδόγραμμα της κατανομής συχνοτήτων Σχ. (1.10)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Σχ( 1.10) Ραβδόγραμμα της κατανομής συχνοτήτων του παραδείγματος 2.

Σχ( 1.10) Ραβδόγραμμα της κατανομής συχνοτήτων του παραδείγματος 2.

Παράδειγμα 30
Ηλεκτρικές ασφάλειες των 30Α ελέγχθηκαν και σημειώθηκε η τιμή της έντασης του ρεύματος για την οποία καταστρέφονται. Τα αποτελέσματα αυτού του ελέγχου σε δείγμα 125 ασφαλειών παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα :

Πίνακας (1.12)

Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος

(x σε Α)

Αριθμός ασφαλειών
[27,28) 6
[28,29) 12
[29,30) 27
[30,31) 30
[31,32) 18
[32,33) 14
[33,34) 9
[34,35) 4
[35,36) 5

Να κατασκευαστεί ιστόγραμμα συχνοτήτων που να περιγράφει τα δεδομένα.
Για το συγκεκριμένο δείγμα να υπολογιστούν:
α) η διάμεσος της έντασης του ρεύματος
β) η μέση τιμή της έντασης του ρεύματος
γ) η τυπική απόκλιση.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Να υπολογιστεί η τιμή του συντελεστή ασυμμετρίας των δεδομένων χρησιμοποιώντας τον εναλλακτικό τύπο του Pearson. Να εξηγηθεί συνοπτικά με ποιο τρόπο η ασυμμετρία της κατανομής γίνεται εμφανής από τη μορφή του ιστογράμματος.

Απάντηση

Σύμφωνα με τον πίνακα (1.12), κατασκευάζουμε τον πίνακα (1.13) κατανομής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων:

Πίνακας (1.13)

Ένταση ρεύματος
(x σε Α)

Κέντρο Κλάσης (xi) Συχνότητα
ν(1)
Αθροιστική συχνότητα (Νi)
[27,28) 27,5 6 6
[28,29) 28,5 12 18
[29,30) 29,5 27 45
[30,31) 30,5 30 75
[31,32) 31,5 18 93
[32,33) 32,5 14 107
[33,34) 33,5 9 116
[34,35) 34,5 4 120
[35,36) 35,5 5 125

α) Ως γνωστόν, για ομαδοποιημένα δεδομένα, η διάμεσος (δ) αντιστοιχεί στην τιμή x=δ της μεταβλητής, έτσι ώστε το πολύ το 50% των παρατηρήσεων να είναι μικρότερες ή ίσες του δ. Δηλαδή σε δείγμα μεγέθους ν=125, η διάμεσος θα
βρίσκεται στην Εικόνα
Από την αθροιστική συχνότητα παρατηρούμε ότι 45 ασφάλειες καίγονται, όταν η ένταση του ρεύματος είναι μικρότερη από 30Α και 75 ασφάλειες σε ένταση ρεύματος μικρότερη από 31Α. Χρησιμοποιούμε τον τύπο (3) υπολογισμού της διαμέσου και έχουμε ότι:

Εικόνα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Δηλαδή, η διάμεσος της έντασης του ρεύματος είναι περίπου ίση με 30,6Α
β) Η μέση τιμή της έντασης του ρεύματος υπολογίζεται από τον τύπο :

Εικόνα
από τον τύπο:
Εικόνα

Ο εναλλακτικός τύπος του συντελεστή ασυμμετρίας δίνεται από τον τύπο :

Εικόνα

Επειδή ο συντελεστής ασυμμετρίας είναι θετικός, η κατανομή εμφανίζει θετική ασυμμετρία όπως παρατηρούμε και από τη μορφή του ιστογράμματος, του Σχ. (1.11)

Σχ. (1.11) Ιστόγραμμα και συχνοπολύγωνο της μεταβλητής ένταση ρεύματος

Σχ. (1.11)  Ιστόγραμμα και συχνοπολύγωνο της μεταβλητής "ένταση ρεύματος "

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Φυλλογράφημα

1) Από τα αρχεία Πανεπιστημίου επιλέξαμε δείγμα 30 πτυχιούχων του έτους 1998
των οποίων ο βαθμός πτυχίου κυμαίνεται από [5.9-7,9). Με ακρίβεια προσέγγισης
δεκάτου οι βαθμοί ήταν οι εξής:

Εικόνα

Προτείνεται λοιπόν ένας άλλος τρόπος ομαδοποίησης των δεδομένων που διατηρεί τις ακριβείς τιμές της μεταβλητής «βαθμός πτυχίου», γνωστός ως φυλλογράφημα (stem and leaf) σύμφωνα με τον οποίο ο μίσχος (stem) παριστάνει το σημαντικότερο ψηφίο του αριθμού (π.χ. μονάδες) και τα φύλλα (leaf) παριστάνουν τα λιγότερο σημαντικά ψηφία (π.χ. δέκατα)
Στην προκειμένη περίπτωση η μεταβλητή «βαθμός πτυχίου» έχει εύρος R= 7,9-5,9 =2 και το φυλλογράφημα που ακολουθεί αντιστοιχεί στην κατανομή συχνοτήτων των βαθμών πτυχίου, 30 πτυχιούχων.

Συχνότητα Κορμός Φύλλα
1 5 9
14 6 00111111223444
10 6 5666688889
1 7 0
4 7 5669

Θηκόγραμμα

Το θηκόγραμμα αποτελεί γραφικό τρόπο παρουσίασης πέντε περιληπτικών μέτρων μιας κατανομής ομαδοποιημένων δεδομένων, με συνδυασμό των οποίων είναι δυνατή η άντληση περισσότερων πληροφοριών από αυτήν που περιέχεται στα πέντε αυτά μέτρα.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

Σχ.(1.12) Τυπική μορφή Θηκογράμματος

Σχ.(1.12) Τυπική μορφή Θηκογράμματος

Όπου min{xj}, max{xj} η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή συνόλου ομαδοποιημένων δεδομένων και Q1, Q2, Q3 το πρώτο, δεύτερο και τρίτο τεταρτημόριο αντιστοίχως.
Από το θηκόγραμμα προκύπτουν τα ακόλουθα :

  1. Μεταξύ min{xj} και πρώτου τεταρτημορίου Q1, περιέχεται το πρώτο τέταρτο (25%) του συνολικού αριθμού των δεδομένων.
  2. Μεταξύ Q3 και max{xj} περιέχεται το τελευταίο τέταρτο (25%) του συνολικού αριθμού των δεδομένων.
  3. Μεταξύ Q1, και Q3 περιέχεται το 50% των δεδομένων, που στην στατιστική ορολογία καλείται ενδοτεταρτημοριακό εύρος.
  4. Στο ορθογώνιο που ορίζεται από το ενδοτεταρτημοριακό εύρος σημειώνεται έντονα η θέση του δεύτερου τεταρτημορίου που ταυτίζεται με τη θέση της διαμέσου.
  5. Τα θηκογράμματα αποτελούν βοηθητικά μέσα σύγκρισης κατανομών συχνοτήτων.

Παραδείγματα
1) Στην παράγραφο 1.7 έχουμε δείγμα των βαθμών που πέτυχαν σε τεστ των Μαθηματικών 11 μαθητές ενός Λυκείου.
0, 2, 6, 12, 12, 60, 62, 63, 100, 100, 100
Η κατασκευή του θηκογράμματος απαιτεί τον υπολογισμό των:
min {xj} =0, Q1 =6 Q2 = 60, Q3=100, max {xj} = 100 μετά την εύρεση των οποίων είναι δυνατός ο σχεδιασμός του.

Σχ. (1. 13) θηκόγραμμα για την περιγραφή δείγματος ν = 11 βαθμών στα Μαθηματικά

Σχ. (1. 13) θηκόγραμμα για την περιγραφή δείγματος ν = 11 βαθμών στα Μαθηματικά

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
  1. Σύγκριση με τη βοήθεια θηκογραμμάτων των κατανομών βαθμολογιών εισαγωγής στο Πανεπιστήμιο στα τμήματα Διοίκησης Επιχειρήσεων, Οικονομικής Επιστήμης και Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης αντιστοίχως.

Σχήμα (1.14) Σύγκριση βαθμολογιών εισαγωγής σε 3 πανεπιστημιακά τμήματα

Σχήμα (1.14) Σύγκριση βαθμολογιών εισαγωγής σε 3 πανεπιστημιακά τμήματα

Τα θηκογράμματα δίνουν ένα εύκολο τρόπο για τη σύγκριση κατανομών, όπως φαίνεται από τα σχήματα. (1.13) και (1.14).
Από το Σχ. (1.13) είναι φανερό ότι το δείγμα εμφανίζει αρνητική ασυμμετρία γεγονός που προκύπτει από τη θέση που κατέχει το Q2 μεταξύ των Q1 και Q3, η τιμή του οποίου ταυτίζεται με το max{xj}.
Το ενδοτεταρτημοριακό εύρος I = Q3 - Q1 = 100 - 6 = 94 είναι πολύ μεγάλο, ίσο σχεδόν με το εύρος R = max{xj} - min{xj} = 100 - 0 = 100 (Τι μπορεί να σημαίνει αυτό;)
Από το Σχ. (1.14) διαπιστώνουμε ότι:

α) Ο μικρότερος βαθμός εισαγωγής σημειώθηκε από επιτυχόντα στο Τμήμα Διοίκησης
Επιχειρήσεων,
β) Ο μεγαλύτερος βαθμός εισαγωγής σημειώθηκε από επιτυχόντα στο Τμήμα
Οικονομικής Επιστήμης,
γ) Το 50% των εισαχθέντων στο Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης είχε βαθμολογία ≤
5066,5 μορίων. Στα Τμήματα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Στατιστικής και
Ασφαλιστικής Επιστήμης το 50% των εισαχθέντων είχαν βαθμολογία (≤5413) και (≤
5426) μορίων αντιστοίχως.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

δ) Τη μεγαλύτερη βάση εισαγωγής είχε το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής
Επιστήμης.
ε) Η κατανομή των μορίων εισαγωγής είναι ασύμμετρη και στις τρεις περιπτώσεις.
Στο μεν Τμήμα Οικονομικής Επιστήμης η ασυμμετρία είναι θετική στα δε άλλα τμήματα
αρνητική.
Από την τελευταία αυτή παρατήρηση μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο απαιτούμενος αριθμός μορίων εισαγωγής στο Οικονομικό Τμήμα είναι μικρότερος από ότι στα άλλα δύο τμήματα (γιατί;)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1. Συνδέστε με μια γραμμή κάθε μεταβλητή της στήλης (Α) με τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό της στήλης (Β).

Στήλη Α

Στήλη Β
1)Αριθμός τροχαίων ατυχημάτων
(σε ένα Σαββατοκύριακο)
α)Κατηγορική μεταβλητή
2)Το μηνιαίο εισόδημα της οικογένειας β)Ποιοτική μεταβλητή
3)Το επάγγελμα γ)Συνεχής μεταβλητή
4)Η υγεία δ)Διακριτή μεταβλητή

 

2. Αν ο μέσος των αριθμών 12. 18, 21, x, 13 είναι 17, τότε η τιμή του x είναι:

Εικόνα

3. Σ' ένα εργοστάσιο κατασκευής τροφίμων πρόκειται να αγοραστεί μία καινούρια μηχανή
συσκευασίας (Β) για να αντικαταστήσει την μηχανή (Α), η οποία θεωρείται πλέον
παλαιού τύπου. Έγινε μία δοκιμή για να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητα της νέας
μηχανής.
Επελέγησαν 10 πακέτα τροφίμων από κάθε μηχανή και μετρήθηκαν τα αντίστοιχα βάρη

Μηχανή Α (βάρος σε p) 196 198 198 199 200 200 201 201 202 205
Μηχανή Β (βάρος σε p) 192 194 195 198 200 201 203 204 206 207

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις

Εικόνα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

β) Η τυπική απόκλιση για τη μηχανή είναι:

Εικόνα

Αν είσαστε εσείς ο ιδιοκτήτης του εργοστασίου θα αντικαθιστούσατε τη μηχανή Α με τη μηχανή Β ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΟΜΑΔΑ Α

  1. Υποθέτουμε ότι ο δήμαρχος της πόλης όπου ζείτε θέλει να μάθει τη γνώμη των δημοτών για την οικοδόμηση ενός νέου γυμναστηρίου. Αν ρωτήσει 100 άτομα που μένουν στη γειτονιά σας, θα μπορούσε να αποκτήσει μία καλή ιδέα για τη γνώμη των δημοτών; Εξηγείστε την απάντησή σας χρησιμοποιώντας τους όρους «πληθυσμός» και «δείγμα».

  2. Ο μέσος ν αριθμών ισούται με 5. Αν προσθέσουμε τον αριθμό 13 στους ν αριθμούς, ο νέος μέσος ισούται με 6. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών.

  3. Τα βάρη των 30 μελών μιας ομάδας αθλητών είναι οι ακόλουθες :

74, 52, 67, 68, 71, 76, 86, 81, 73, 68, 64, 75, 71, 57, 67, 57, 59, 72, 79,
64, 70, 74, 77, 79, 65, 68, 76, 83, 61, 63

α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων των βαρών. Να
χρησιμοποιηθεί εύρος διαστήματος 5kg.
β) Να κατασκευαστεί το ιστόγραμμα και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων.
γ) Να υπολογιστεί ο μέσος και η διάμεσος των βαρών.
δ) Να κατασκευαστεί πίνακας αθροιστικών συχνοτήτων και να σχεδιαστεί το
αντίστοιχο διάγραμμα.
ε) Πόσοι αθλητές έχουν βάρος λιγότερο από 77 kg;

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
  1. Οι αριθμοί α, β, 8, 5, 7 έχουν μέσο 6 και διακύμανση 2. Να βρεθούν οι τιμές των α και β, αν το α > β.

  2. Από τις πληροφορίες που δίνονται για κάθε μία από τις ακόλουθες κατανομές συχνοτήτων, να συμπληρώσετε τα στοιχεία του πίνακα που λείπουν.

      Σνi Σνixi Σνixi2 Σνi(xi-x)2 x S
    Α 20 563 16143      
    Β   270   160 27  
    Γ 50       10 3
    Δ 30   1025 182,3    
    Ε   240 5100   20  

ΟΜΑΔΑ Β

1.   Ένα δοχείο περιέχει 5 σφαιρίδια που το καθένα φέρει τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5 αντίστοιχα. Κάθε φορά που επιλέγεται ένα σφαιρίδιο από το δοχείο, ο αριθμός του σημειώνεται και το σφαιρίδιο επανατοποθετείται στο δοχείο. Το πείραμα επαναλαμβάνεται 50 φορές και τα αποτελέσματα καταγράφηκαν στον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός 1 2 3 4 5
Συχνότητα x 11 y 8 9

Αν ο μέσος είναι 2,7 προσδιορίστε τις τιμές του x και του y.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
  1. Για κάθε μία από τις παρακάτω κατανομές, ποιο είναι το καταλληλότερο μέτρο
    κεντρικής τάσης : ο μέσος, η διάμεσος ή η επικρατούσα τιμή ; Εξηγείστε την
    επιλογή σας.
    α) Οι μισθοί όλων των καθηγητών του σχολείου σας.
    β) Οι χρόνοι μέσα στους οποίους 10 άλογα διανύουν μία δεδομένη απόσταση,
    γ) Την ώρα με ακρίβεια λεπτού, όπως την δείχνουν 10 ρολόγια,
    δ) Οι βαθμοί του τμήματος σας στο πρώτο διαγώνισμα στατιστικής.

  2. Η ομαδοποιημένη κατανομή συχνοτήτων των ηλικιών 358 υπαλλήλων ενός εργοστασίου παρουσιάζεται στον πίνακα που ακολουθεί:

ΗΛΙΚΙΑ

(με βάση τα τελευταία γενέθλια)

ΑΡΙΘΜΟΣ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ
16-20 36
21-25 56
26-30 58
31-35 42
36-40 46
41-45 38
46-50 36
51-55 18
56-60 18

Να εκτιμηθεί, στον πλησιέστερο μήνα, ο μέσος και η τυπική απόκλιση των ηλικιών των υπαλλήλων. Με γραφική ή άλλη μέθοδο να εκτιμήσετε :
α) τη διάμεσο των ηλικιών με προσέγγιση στον πλησιέστερο μήνα.
β) το ποσοστό, με ακρίβεια πρώτου δεκαδικού ψηφίου, των υπαλλήλων που έχουν ηλικία μεγαλύτερη των 26 ετών και μικρότερη των 56 ετών.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο
  1. Οι αριθμοί 4, 6, 12, 4, 10, 12, 3, x, y έχουν μέσο 7 και επικρατούσα τιμή 4.
    Να βρεθούν :
    α) οι τιμές των x και y
    β) η διάμεσος του συνόλου των 9 αριθμών.
    Όταν προστεθούν δύο επιπλέον αριθμοί 7+n και 7-n, η τυπική απόκλιση των 11 πλέον αριθμών είναι ίση με 4. Να γραφεί ο μέσος των 11 αριθμών και να υπολογιστεί ο αριθμός η.

  2. Ο μέσος των παρακάτω αριθμών : 3, 1, 7, 2, 11, 7, x, y όπου οι αριθμοί x, y είναι μονοψήφιοι, θετικοί ακέραιοι, είναι 4. Να δείξετε ότι x+y=14.
    Να βρείτε την επικρατούσα τιμή αυτού του συνόλου των αριθμών, όταν :
    α) x = y και β) x ≠ y

Αν η τυπική απόκλιση είναι Εικόνα, να βρεθεί το x,y δοθέντος ότι x<y.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

Η εκμάθηση των βασικών εννοιών της στατιστικής γίνεται πιο ενδιαφέρουσα, όταν μπορούμε να εργαστούμε με πληροφορίες που συλλέγονται από εμάς και αποθηκεύονται σε έναν υπολογιστή. Η απλούστερη συλλογή δεδομένων μπορεί να αφορά πληροφορίες για τους συμμαθητές σας. Η έρευνα που ακολουθεί μπορεί να σας δώσει αρκετά δεδομένα με τα οποία μπορείτε να απαντήσετε σε μερικές ενδιαφέρουσες ερωτήσεις. Αποθηκεύστε τα δεδομένα που θα συλλέξετε! Στο τέλος του κάθε κεφαλαίου θα υπάρχουν ερωτήσεις που θα αφορούν τα δεδομένα αυτά.

(Σημειώστε με το σύμβολο Χ αν δεν γνωρίζεται την απάντηση)

  1. Φύλο
  2. Ηλικία
  3. Ύψος (σε cm)
  4. Ύψος του πατέρα σας
  5. Ύψος της μητέρας σας
  6. Το πέμπτο ψηφίο του αριθμού της ταυτότητάς σας
  7. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού ενός αυτοκινήτου της οικογένειας σας
  8. Χρώμα μαλλιών
  9. Χρώμα ματιών
  10. Είστε δεξιόχειρας, αριστερόχειρας ή αμφίχειρας ;
  11. Τους βαθμούς σας στα μαθήματα κατεύθυνσης
  12. Προσθέστε μία ή περισσότερες ερωτήσεις που σας ενδιαφέρουν.

Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας εύκολος τρόπος συλλογής των δεδομένων, ώστε κάθε μαθητής να έχει από ένα αντίγραφο.

  • Κάθε μαθητής να απαντήσει τις ερωτήσεις σε μία σελίδα
  • Μοιράστε ένα έντυπο ερωτηματολόγιου, όπου κάθε μαθητής θα γράφει τις απαντήσεις του. Στο τέλος θα πρέπει να υπάρχει κάτι παρόμοιο με το υπόδειγμα που ακολουθεί
  • Να δοθεί ένα αντίγραφο σε κάθε μαθητή.
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο


ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ
α/α 1
Φύλο
2
Ηλικία
3
Ύψος
4
Ύψος πατέρα
5
Ύψος μητέρας
6
5o ψηφίο
7
τελευταίο ψηφίο
8
Μαλλιά
9
Μάτια
10
Χέρι
11
Μ Φ Χ
1 Θ 19 167 178 158 8 9 K Μ Α 77 86 69
2 Θ 17 160 175 163 4 2 K Κ Δ 54 76 80
3 A 18 170 184 168 0 2 M Μ Δ 32 56 90
4 Θ 17 173 175 170 4 2 K Μ Δ 95 73 48
5 Θ 19 158 182 168 6 6 Ξ Κ Α 66 48 54

Επεξεργαστείτε τα δεδομένα που συγκεντρώσατε με κατάλληλο στατιστικό πρόγραμμα και
α) προσδιορίστε το είδος κάθε μεταβλητής
β) κατασκευάστε τον πίνακα συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων.
γ) κατασκευάστε τα αντίστοιχα διαγράμματα ανάλογα με το είδος της μεταβλητής
δ) και υπολογίστε τα μέτρα θέσης και διασποράς όπου είναι δυνατόν.