Λογική: Θεωρία και Πρακτική - Βιβλίο Μαθητή
Πολυμελή Κατηγορήματα Ποσόδειξη σε οποιουσδήποτε Τύπους Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
Κατηγορηματική Λογική ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο

4. Ποσοδείκτες

Συχνά χρησιμοποιούμε προτάσεις όπως οι ακόλουθες: «σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει κάτι ευωδιαστό», «στον κήπο υπάρχει κάτι ευωδιαστό», «στη σύσταση αυτού του μίγματος υπάρχει κάτι ευωδιαστό» Παρατηρούμε ότι όλες έχουν κοινό μέρος, δηλαδή την έκφραση

(1) «υπάρχει κάτι ευωδιαστό». Αυτή έχει την ίδια σημασία με την έκφραση

(2) «Υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα, το οποίο είναι ευωδιαστό».

Εδώ πρέπει να πούμε ότι η λέξη «πράγμα» (όπως και η λέξη «κάτι») χρησιμοποιείται για να δηλώσει το οποιοδήποτε στοιχείο του περιβάλλοντος μπορεί να απασχολήσει το νου μας. Έχει λοιπόν την ίδια εμβέλεια με τη λέξη «ατομικότητα» αλλά χρησιμοποιείται περισσότερο στην περίπτωση όπου αναφερόμαστε εντελώς αόριστα σε κάτι. Μπορούμε να πούμε ότι είναι το πλησιέστερο στοιχείο της φυσικής γλώσσας, που είναι δυνατό να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε επίπεδο συμβολικής γλώσσας, στην ατομική μεταβλητή. Και αυτό διότι το «πράγμα» είναι δυνατό να αναφέρεται σε οτιδήποτε.

Ας μελετήσουμε τώρα τον τρόπο με τον οποίο συγκροτείται η (2). Παρατηρούμε ότι σε αυτήν υπάρχει το κατηγόρημα «είναι ευωδιαστό», το οποίο αντιστοιχίζουμε στο κατηγορηματικό σύμβολο Α. Είναι φανερό πως η έκφραση «το οποίο», που προηγείται του κατηγορήματος, επέχει θέση υποκείμενου σε σχέση με το κατηγόρημα αυτό. Παρατηρούμε επίσης ότι η έκφραση «το οποίο» αναφέρεται σε ό,τι ακριβώς αναφέρεται και η λέξη «πράγμα».

Όπως είπαμε πιο πάνω μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αυτή η λέξη, και συνεπώς και η έκφραση «το οποίο», αντιστοιχεί, σε επίπεδο συμβολικής γλώσσας, σε ατομική μεταβλητή, ας πούμε στη χ. Συνεπώς αν θελήσουμε να δηλώσουμε συμβολικά το τμήμα «το οποίο είναι ευωδιαστό» της (2), ο καταλληλότερος τρόπος είναι να το κάνουμε με τον τύπο Α(χ). Για να δηλώνουμε την έκφραση «υπάρχει τουλάχιστον ένα» έχει επιλεγεί το σύμβολο εικόνα (κατοπτρικό κεφάλαιο Ε), το οποίο καλείται υπαρκτικός ποσοδείκτης. Επειδή η λέξη «πράγμα» όπως και η έκφραση «το οποίο», αντιστοιχεί στη χ, είναι φανερό ότι στη θέση της στην (2) θα έχουμε μια δεύτερη εμφάνιση της ίδιας μεταβλητής χ. Συνεπώς το τμήμα «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα» της (2), αντιστοιχεί συμβολικά στην έκφραση εικόναχ. Έτσι, ολόκληρη η (2) δηλώνεται συμβολικά εικόναχΑ(χ).

εικόνα

Υπάρχουν πολλές εκφράσεις της φυσικής γλώσσας, οι οποίες έχουν την ίδια σημασία με την έκφραση «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα» και συνεπώς μπορούμε να τις συμβολίζουμε με εικόναχ. Μερικές από αυτές είναι οι: «τουλάχιστον ένα πράγμα είναι τέτοιο ώστε», «υπάρχουν κάποια πράγματα τέτοια ώστε», υπάρχει κάποιο πράγμα τέτοιο ώστε», «κάτι είναι τέτοιο ώστε», «για τουλάχιστον ένα πράγμα ισχύει ότι», «για κάποιο πράγμα», «μερικοί (-ές,-ά)».

Εκτός από τον υπαρκτικό υπάρχει και άλλος ποσοδείκτης, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτατα. Ας πάρουμε την έκφραση:

(3) «κάθε πράγμα είναι φθαρτό».

Αυτή παράγεται από την πρόταξη της έκφρασης «κάθε πράγμα» στο κατηγόρημα «είναι φθαρτό». Για την έκφραση "κάθε" επιλέγουμε το σύμβολο εικόνα(ανεστραμμένο κεφαλαίο Α), το οποίο καλείται καθολικός ποσοδείκτης. Όπως έχουμε πει στα προηγούμενα, για τη λέξη "πράγμα" μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το χ, οπότε, αν για το κατηγόρημα "είναι φθαρτό" χρησιμοποιήσουμε το κατηγορηματικό σύμβολο β, η (3) συμβολίζεται με εικόναχΒ(χ). Υπάρχουν αρκετές εκφράσεις της φυσικής γλώσσας που έχουν την ίδια σημασία με την έκφραση «κάθε πράγμα» και συνεπώς συμβολίζονται και αυτές με εικόναχ. Μερικές τέτοιες εκφράσεις είναι οι: «όλοι (-ες, -α)», «κάθε τι», «για κάθε πράγμα είναι αλήθεια ότι».

Επειδή δεν έχει σημασία το ποια ατομική μεταβλητή χρησιμοποιούμε σε ένα τύπο, οι συμβολικές εκφράσεις εικόναχΑ(χ), εικόναψΑ(ψ), εικόναωΑ(ω) κτλ. είναι ισοδύναμες.

Είναι φανερό πως δεν μπορούμε να αντικαταστήσουμε την ατομική μεταβλητή χ στο τμήμα Α(χ) της συμβολικής έκφρασης εικόναχΑ(χ) ή εικόναχΑ(χ) με ένα όνομα διότι η έκφραση της φυσικής γλώσσας που προκύπτει δεν έχει κανένα νόημα. Συνεπώς αυτή η εμφάνιση του χ δεσμεύεται από τον ποσοδείκτη σε τρόπο ώστε η θέση που κατέχει στο Α(χ) δεν είναι ελεύθερη να δεχθεί κάποιο όνομα. Αντιθέτως, όταν ουδείς ποσοδείκτης προτάσσεται του τύπου Α(χ) μπορούμε στη θέση του γ να τοποθετήσουμε οποιοδήποτε όνομα. Για το λόγο αυτό, στις εκφράσεις της μορφής εικόναχΑ(χ) ή εικόναχΑ(χ) λέμε ότι η εμφάνιση της ατομικής μεταβλητής χ στο Α(χ)είναι δεσμευμένη, σε αντίθεση με την εμφάνιση της στο Α(χ), όταν αυτό θεωρείται μόνο του, όπου καλείται ελεύθερη. Στις εκφράσεις αυτές το Α(χ) καλείται εμβέλεια ή ακτίνα του ποσοδείκτη, αφού αποτελεί το χώρο (ή καλύτερο καταλαμβάνει το χώρο) στον οποίο εκτείνεται η δράση του. Συνεπώς η εμφάνιση μιας ατομικής μεταβλητής χ είναι δεσμευμένη εφόσον βρίσκεται μέσα στην εμβέλεια ενός από τους δύο ποσοδείκτες εικόνα και εικόνα.

Ας θεωρήσουμε τις ταυτόσημες προτάσεις

(4) «σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει κάτι ευωδιαστό» και

(5) «σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα, το οποίο είναι ευωδιαστό» και την πρόταση

(6) «κάθε πράγμα το οποίο βρίσκεται σε αυτό το αρωματοπωλείο είναι ευωδιαστό».

Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των πιο πάνω προτάσεων, όπως και των εκφράσεων (1), (2) και (3), είναι ότι έχουν συμβολική παράσταση, η οποία περιέχει έναν τουλάχιστον από τους δύο ποσοδείκτες. Τέτοιου είδους προτάσεις συνήθως περιέχουν τις λέξεις «πράγμα» ή «κάτι». Όπως είπαμε στα προηγούμενα και οι δύο αυτές λέξεις χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν το οποιαδήποτε στοιχείο του περιβάλλοντος μας, δηλαδή είναι δυνατόν να αναφέρονται σε οτιδήποτε.

Είναι φανερό ότι στις (4) και (5) το σύνολο των πραγμάτων στα οποία αναφέρεται η λέξη «πράγμα» ή η λέξη «κάτι» είναι όλα εκείνα που βρίσκονται στο συγκεκριμένο δωμάτιο για το οποίο μιλάμε. Αναλόγως στην (6) το σύνολο, σε στοιχεία του οποίου αναφέρεται η λέξη "πράγμα" είναι όλα όσα υπάρχουν στο συγκεκριμένο αρωματοπωλείο. Ονομάζουμε σύνολο αναφοράς την ολότητα των πραγμάτων στα οποία μπορεί να αναφέρονται αυτές οι λέξεις «πράγμα» ή «κάτι».

Στις εκφράσεις (1), (2) και (3) το σύνολο αναφοράς δεν είναι καθορισμένο και από αυτήν την άποψη έχουν και οι τρεις ένα χαρακτήρα γενικόλογης ασάφειας. Σε περιπτώσεις εκφράσεων όπως αυτές, όπου δεν είναι καθορισμένο το σύνολο αναφοράς, μπορεί να συμβεί ένα από τα ακόλουθα δύο πράγματα.

• Είτε αίρουμε την ασάφειά τους προβαίνοντας σε μια ερμηνεία τους που προσδιορίζει το σύνολο αναφοράς. Για παράδειγμα, μπορούμε να δηλώσουμε ότι όταν λέμε πως «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα, το οποίο ευωδιαστό» εννοούμε πως «υπάρχει τουλάχιστον ένα πράγμα στη σύσταση αυτού του μίγματος, το οποίο είναι ευωδιαστό». Ερμηνεύοντας με αυτόν τον τρόπο την έκφραση (2) προσδιορίζουμε το σύνολο αναφοράς, το οποίο στην προκειμένη περίπτωση είναι τα συστατικά του εν λόγω μίγματος.

• Είτε δεν προβαίνουμε σε καμιά ερμηνεία τέτοιου είδους εκφράσεων οπότε θεωρούμε ότι το σύνολο αναφοράς είναι το ευρύτερο που μπορεί να υπάρξει, δηλαδή η ολότητα των πραγμάτων του κόσμου μας.

εικόνα
Tarski

Ερωτήσεις

1. Τι είναι ο υπαρκτικός και τι ο καθολικός ποσοδείκτης;

2. Πότε η εμφάνιση μιας μεταβλητής καλείται δεσμευμένη;

Ασκήσεις

1. Να εκφρασθούν συμβολικά οι ακόλουθες προτάσεις της φυσικής γλώσσας,

i. Όλα έχουν βάρους.

ii. Κάτι έχει βάρος.

iii. Οτιδήποτε έχει βάρος.

iν. Υπάρχει κάτι που έχει βάρος.