Λογική: Θεωρία και Πρακτική - Βιβλίο Μαθητή
Διάζευξη Συνεπαγωγή Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο H Προτασιακή Λογική

6. Άρνηση

Πολύ συχνά στη φυσική γλώσσα χρησιμοποιούμε λέξεις ή διατάξεις λέξεων, οι οποίες δε συνιστούν προτάσεις, αλλά καθώς συμπλέκονται με μια ή περισσότερες προτάσεις, το σύνολο συνιστά μια νέα πρόταση. Είναι φανερό πως οι σύνδεσμοι δημιουργούν πιο σύνθετες προτάσεις. Συνήθως ονομάζονται προτασιακοί γεννήτορες. Ως προτασιακοί γεννήτορες χρησιμοποιούνται σύνδεσμοι, αντωνυμίες, επιρρήματα, καθώς και εκφράσεις όπως: «ελπίζω ότι...», «ισχύει ότι...», «πιστεύω ότι...», «είναι πιθανόν ότι...» κτλ. Οι προτασιακοί γεννήτορες συντακτικά εμφανίζονται ως διαδοχή λέξεων και κενών. Όταν τα κενά συμπληρωθούν με προτάσεις, το σύνολο συνιστά μια νέα πρόταση. Είναι φανερό πως οι σύνδεσμοι που εξετάσαμε στα προηγούμενα είναι προτασιακοί γεννήτορες.

Ας θεωρήσουμε την πρόταση:

(1) «ο Γιώργος χτες το βράδυ δεν πήγε στον κινηματογράφο»

Παρατηρούμε ότι αυτή προκύπτει από την πρόταση:

(2) «ο Γιώργος χτες το βράδυ πήγε στον κινηματογράφο», αν μπροστά από το ρήμα της τοποθετήσουμε τη λέξη δεν. Η λέξη αυτή λειτουργεί ως προτασιακός γεννήτορας, ο οποίος δρα σε μια μόνον πρόταση.

Στη συνήθη χρήση της γλώσσας εισάγουμε τη λέξη αυτή σε μια πρόταση για να δηλώσουμε ότι η κατάσταση που περιγράφεται από αυτήν δεν υφίσταται. Ας δούμε τι συμβαίνει σχετικά με τις αληθοτιμές των προτάσεων που παράγονται με την εισαγωγή της λέξης δεν.

  • Υποθέτουμε ότι η (2) είναι αληθής. Τότε ο Γιώργος πήγε στον κινηματογράφο και συνεπώς η (1) περιγράφει μια κατάσταση που δεν υφίσταται, δηλαδή είναι ψευδής.
  • Υποθέτουμε ότι η (2) είναι ψευδής. Τότε ο Γιώργος δεν πήγε στον κινηματογράφο και συνεπώς η (1) περιγράφει μια υφισταμένη κατάσταση, δηλαδή είναι αληθής.

Παρατηρούμε ότι ο προτασιακός γεννήτορας «δεν...» αλλάζει την αληθοτιμή της πρότασης (2). Το ίδιο συμβαίνει και με οποιανδήποτε άλλη πρόταση. Η πρόταση που παράγεται με τη δράση του δεν επί μιας προτάσεως λέγεται άρνηση αυτής. Η (1) για παράδειγμα είναι η άρνηση της (2).

Παρατηρούμε ότι ο προτασιακός γεννήτορας «δεν...» έχει μια σημαντική ιδιότητα που συναντήσαμε στους συνδέσμους που μελετήσαμε στα προηγούμενα. Δηλαδή, έχει την ιδιότητα πως η αληθοτιμή της άρνησης μιας πρότασης εξαρτάται μόνον από την αληθοτιμή αυτής και όχι από τη σημασία της. Έτσι παρ' ότι εφαρμόζεται μόνο σε μια πρόταση και δεν συνδέει δυο ή περισσότερες προτάσεις όπως οι προαναφερθέντες σύνδεσμοι, για λόγους ομοιογένειας και ενότητας ως προς την ορολογία θεωρούμε το γεννήτορα αυτόν σύνδεσμο και τον καλούμε μονοθέσιο ή μονομελή σύνδεσμο. Τον καλούμε άρνηση και χρησιμοποιούμε για αυτόν το σύμβολο Εικόνα. Αν είναι Π μια προτασιακή μεταβλητή το Εικόνα διαβάζεται «όχι Π» και για λόγους ευκολίας την ονομάζουμε και αυτήν άρνηση του Π. Αν στη θέση του Π τοποθετηθεί μια λογική πρόταση, τότε το Εικόνα καθίσταται η άρνηση της πρότασης αυτής. Αν, για παράδειγμα, στη θέση του Π τοποθετήσουμε την πρόταση:

«ο Όλυμπος είναι ψηλότερος από τον Κίσαβο»,

τότε το Εικόνα γίνεται η πρόταση:

«ο Όλυμπος δεν είναι ψηλότερος από τον Κίσαβο»

Από τα προηγούμενα είναι φανερό πως ισχύει ο ακόλουθος κανόνας.

 

 

Η άρνηση μιας πρότασης είναι αληθής όταν και μόνον όταν η πρόταση αυτή είναι ψευδής.

 

Ο πίνακας αληθείας της άρνησης είναι ο ακόλουθος:

 

Π ΕικόναΠ
Α Ψ
Ψ Α

 

Στη φυσική γλώσσα εκτός από τη λέξη δεν υπάρχουν και άλλοι τρόποι για να εκφράσει κανείς την άρνηση, όπως για παράδειγμα η διαδοχή λέξεων δεν είναι αλήθεια ότι...

Ερωτήσεις

1. Τι ονομάζουμε άρνηση μιας πρότασης; Πότε τη χρησιμοποιούμε;

2. Ποιος είναι ο πίνακας αληθείας της άρνησης;

3. Διατυπώστε έναν κανόνα που περιγράφει τη λογική συμπεριφορά της άρνησης.

Ασκήσεις

1. Να γίνει ο πίνακας αλήθειας των ακολούθων προτασιακών γεννητόρων

i. «... δεν ισχύει ότι...»

ii. «δεν ισχύει ότι δεν...».