Λογική: Θεωρία και Πρακτική - Βιβλίο Μαθητή
Σύζευξη Άρνηση Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο H Προτασιακή Λογική

5. Διάζευξη

Ας συνεχίσουμε εδώ την ιστορία που είχαμε ξεκινήσει στα προηγούμενα. Ο Γιώργος ρωτάει τον Γιάννη: «Το τμήμα παραγγελιών έχει αναλάβει το φάκελο με τις παραγγελίες;» Ο Γιάννης απαντάει καταφατικά λέγοντας:

(1) «Το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Κώστας ή ο Νίκος».

Η πρόταση αυτή έχει την ίδια σημασία με τη λιγότερο κομψά διατυπωμένη πρόταση:

(2) «Το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Κώστας ή το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Νίκος».

Παρατηρούμε ότι η τελευταία δημιουργείται από τη σύνδεση των προτάσεων:

(3) «Το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Κώστας» και

(4) «Το φάκελο τον έχει αναλάβει ο Νίκος» με τη λέξη ή. Μια τέτοια πρόταση καλείται διαζευκτική. Χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια κατάσταση, η οποία υφίσταται μόνον στην περίπτωση που υφίσταται μια τουλάχιστον από τις καταστάσεις που περιγράφονται από τις δύο προτάσεις που συνδέονται και μόνο σε αυτήν. (Με άλλα λόγια, χρησιμοποιείται για να δηλώσει δύο ανεξάρτητους εναλλακτικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να υφίσταται η κατάσταση που περιγράφει. Λέμε ανεξάρτητους διότι είναι ανοιχτή η πιθανότητα να υπάρχει και τρίτος τρόπος, ο οποίος εξαρτάται από τους άλλους δυο: να υφίσταται και οι δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι προτάσεις που συνδέουμε με τη λέξη ή).

εικόνα
Bolzano

Αν και οι δύο καταστάσεις παύσουν να υφίστανται, τότε δεν υφίσταται και η κατάσταση που περιγράφει η διαζευκτική πρόταση. Στο παράδειγμα που έχουμε θεωρήσει εδώ, η πρόταση (2) χρησιμοποιείται για να περιγραφεί εκείνη η κατάσταση κατά την οποία το τμήμα παραγγελιών έχει αναλάβει το φάκελο. Τούτο έχει γίνει τουλάχιστον από έναν από τους υπαλλήλους που απαρτίζουν το τμήμα των παραγγελιών: τον Κώστα και τον Νίκο. Οι δύο προτάσεις (3) και (4) περιγράφουν δύο ανεξάρτητους εναλλακτικούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να υφίσταται η κατάσταση που περιγράφει η (2), δηλαδή το να έχει αναλάβει το τμήμα παραγγελιών το φάκελο. Αν οι δύο υπάλληλοι δεν έχουν αναλάβει τον φάκελο, τότε δεν υφίσταται η κατάσταση που περιγράφει η (2).

Ας εξετάσουμε στη συνέχεια αναλυτικά πότε η πρόταση (2) περιγράφει μια υφισταμένη κατάσταση του τμήματος παραγγελιών και πότε όχι. Δηλαδή, ας δούμε πότε η (2) είναι αληθής και πότε ψευδής. Οι συνδυασμοί των αληθοτιμών των προτάσεων (3) και (4) είναι οι ακόλουθοι:

  • Η (3) είναι αληθής και η (4) είναι αληθής. Σε αυτήν την περίπτωση και οι δύο υπάλληλοι έχουν αναλάβει το φάκελο και συνεπώς η κατάσταση του τμήματος παραγγελιών περιγράφεται από την πρόταση (2). Επομένως, αυτή είναι αληθής.
  • Η (3) είναι αληθής και η (4) είναι ψευδής. Σε αυτήν την περίπτωση μόνον ο Κώστας έχει αναλάβει το φάκελο. Συνεπώς, η κατάσταση που υφίσταται στο τμήμα παραγγελιών ως προς το φάκελο, περιγράφεται από την (2), η οποία επομένως είναι αληθής.
  • Η (3) είναι ψευδής, και η (4) είναι αληθής. Σε αυτήν την περίπτωση ο Νίκος έχει αναλάβει μόνος του το φάκελο. Επομένως, και σε αυτήν την περίπτωση η (2) περιγράφει μια υφισταμένη κατάσταση, δηλαδή είναι αληθής.
  • Η (3) είναι ψευδής και η (4) είναι ψευδής. Σε αυτήν την περίπτωση ουδείς στο τμήμα παραγγελιών έχει αναλάβει το φάκελο. Επομένως η (2) περιγράφει μια κατάσταση του τμήματος παραγγελιών που δεν υφίσταται. Άρα αυτή είναι ψευδής.

Αυτές τις τέσσερις δυνατές περιπτώσεις μπορούμε να τις συνοψίσουμε με τον ακόλουθο πίνακα

Πίνακας 6

(3) (4) (2)
αληθής αληθής αληθής
αληθής ψευδής αληθής
ψευδής αληθής αληθής
ψευδής ψευδής ψευδής

 

Παρατηρούμε ότι η πρόταση (2) είναι ψευδής όταν και μόνον όταν και οι δύο προτάσεις (3) και (4) είναι ψευδείς. Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα καταλήγουμε αν συμπληρώσουμε τα δύο κενά του συνδέσμου «...ή...» με οποιοδήποτε άλλο ζεύγος προτάσεων. Ο σύνδεσμος «... ή ...» ονομάζεται διάζευξη. Κάθε πρόταση που προκύπτει με την πλήρωση των κενών του με ζεύγη προτάσεων καλείται διάζευξη αυτών ή, όπως έχουμε ήδη πει, διαζευκτική πρόταση. Για αυτόν το σύνδεσμο επιλέγουμε το σύμβολο Έτσι, η συμβολική έκφραση, η οποία αντιστοιχεί στη διάζευξη δύο προτάσεων, είναι η Π Εικόνα Ρ και διαβάζεται «Π ή Ρ», όπου Π και Ρ είναι προτασιακές μεταβλητές. Για ευκολία ονομάζουμε διάζευξη και την έκφραση Π Εικόνα Ρ. Ο πίνακας αληθείας που αντιστοιχεί στη διάζευξη είναι ο ακόλουθος

Πίνακας 7

Π Ρ Π Εικόνα Ρ
Α Α Ψ
Α Ψ Α
Ψ Α Α
Ψ Ψ Ψ

 

και αντιστοιχεί στη στήλη 10 του πίνακα 3.

Από όσα προηγήθηκαν είναι φανερό ότι ισχύει ο ακόλουθος κανόνας.

 

Η διάζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής όταν και μόνον όταν τουλάχιστον η μια από τις δυο προτάσεις είναι αληθής.

(Ο κανόνας αυτός για την έκφραση Π Εικόνα Ρ γίνεται: Στην Π Εικόνα Ρ αντιστοιχεί αληθοτιμή Α, όταν και μόνον όταν αντιστοιχεί η αληθοτιμή Α σε μια τουλάχιστον από τις Π και Ρ).

Για τις ποικίλες χρήσεις του ή μέσα σε μια πρόταση ισχύουν παρατηρήσεις ανάλογες με εκείνες που κάναμε για το σύνδεσμο και.

Όπως είπαμε στα προηγούμενα, χρησιμοποιήσαμε την πρόταση (2), ή την (1), θέλοντας να δηλώσουμε με αυτήν ότι υφίσταται τουλάχιστον μια από τις δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι προτάσεις (3) και (4). Αυτό σημαίνει ότι η (2) είναι αληθής και στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις (3) και (4) είναι αληθείς. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι ο σύνδεσμος «...ή...» είναι εγκλειστικός. Πολύ συχνά όμως στη φυσική γλώσσα χρησιμοποιούμε αυτόν το σύνδεσμο με ένα διαφορετικό τρόπο. Ας υποθέσουμε ότι ο Γιώργος λέει στον Γιάννη:

«Το βράδυ θα πάω στον κινηματογράφο ή θα πάω στην ταβέρνα. Δεν έχω χρήματα για να πάω και στα δύο».

Όταν χρησιμοποιούμε το σύνδεσμο ή με αυτόν τον τρόπο λέμε ότι είναι αποκλειστικός. Στην περίπτωση αυτή ο σύνδεσμος «...ή...» έχει διαφορετική λογική συμπεριφορά από αυτήν που μελετήσαμε στα προηγούμενα. Διαφέρει από τη διάζευξη κατά το ότι, όταν και οι δύο συνδεόμενες προτάσεις είναι αληθείς, τότε η σύνθετη πρόταση που προκύπτει είναι ψευδής. Συνεπώς, η σύνθετη πρόταση που προκύπτει αν συμπληρώσουμε τα δύο κενά του με προτάσεις, είναι ψευδής όταν και μόνον όταν οι συνδεόμενες προτάσεις έχουν την ίδια αληθοτιμή. Αυτός ο σύνδεσμος καλείται αποκλειστική διάζευξη και χρησιμοποιούμε για αυτόν το σύμβολο Εικόνα Ο πίνακας αληθείας του είναι ο ακόλουθος:

Πίνακας 8

Π Ρ Π Εικόνα Ρ
Α Α Α
Α Ψ Α
Ψ Α Α
Ψ Ψ Ψ

 

και αντιστοιχεί στη στήλη 10 του πίνακα 3.

Αν το "ή", που χρησιμοποιούμε σε μια σύνθετη πρόταση, είναι εγκλειστικό ή αποκλειστικό γίνεται αντιληπτό από το πλαίσιο εντός του οποίου εκφέρεται η πρόταση αυτή.

Υπάρχουν και άλλες λέξεις ή διατάξεις λέξεων που έχουν την ίδια λογική συμπεριφορά με τη λέξη ή, που περιγράφεται από τον ίδιο πίνακα αληθείας, όπως για παράδειγμα η λέξη είτε. Αυτές μπορεί να έχουν λεπτές σημασιολογικές διαφοροποιήσεις από το σύνδεσμο «...ή...», αλλά έχουν ακριβώς την ίδια λογική συμπεριφορά με αυτόν, η οποία περιγράφεται από τον πίνακα 7. Για το λόγο αυτό θεωρούνται από άποψη λογικής συμπεριφοράς διαζεύξεις. Έτσι, όταν είναι απαραίτητη η χρήση συμβολικής γλώσσας, όπου τις συναντούμε τις συμβολίζουμε με το σύμβολο Εικόνα.

 

Όπως συναντούμε πολυθεσίες συζεύξεις, έτσι συναντούμε και πολυθέσιες διαζεύξεις. Μια ν-θέσια διάζευξη συμβολίζεται Π1Εικόνα Π2Εικόνα ... Εικόνα Πν και ισχύει γι' αυτήν ο ακόλουθος κανόνας:

Στην Π1Εικόνα Π2Εικόνα ... Εικόνα Πν αντιστοιχεί αληθοτιμή Α όταν και μόνον όταν σε μια τουλάχιστον από τις Π1, Π2 , ... , Πναντιστοιχεί αληθοτιμή Α.

Ερωτήσεις

1. Τι ονομάζουμε διαζευκτική πρόταση; Πότε τη χρησιμοποιούμε;

2. Ποιος είναι ο πίνακας αληθείας της διάζευξης;

3. Πότε είναι αληθής μια διάζευξη;

Ασκήσεις

  1. Ένας κάτοικος του Ψευτοχωρίου λέει σε έναν άλλον: «εγώ είμαι ψεύτης ή εσύ είσαι ειλικρινής». Τι είναι ο καθένας από αυτούς;
  2. Η πρόταση: «Ο Γαλαξίας μας περιλαμβάνει 109+153 άστρα ή η Γη έχει έναν δορυφόρο» είναι αληθής ή ψευδής;
  3. Δίνονται οι προτάσεις
i. «το τέσσερα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τρία»
iii. «το τέσσερα είναι μικρότερο ή ίσο του τέσσερα»
  ii. «το τέσσερα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τέσσερα»
iν. «το τέσσερα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του πέντε»

 

Ποιες από αυτές είναι ψευδείς και ποιες αληθείς;

4. Δυο κάτοικοι του Ψευτοχωρίου συζητούν. Ο ένας από αυτούς λέει στον άλλον;

«τουλάχιστον ο ένας από μας είναι ψεύτης». Τι είναι ο καθένας τους;