Λογική: Θεωρία και Πρακτική - Βιβλίο Μαθητή
Συμβολική Γλώσσα, Προτασιακές Μεταβλητές Διάζευξη Επιστροφή στην αρχική σελίδα του μαθήματος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο H Προτασιακή Λογική

4. Σύζευξη

Στη συνέχεια εξετάζουμε ορισμένους διμελείς συνδέσμους που είναι απαραίτητοι για την ευχερή και καρποφόρα μελέτη των ζητημάτων με τα οποία ασχολείται η λογική. Ας προχωρήσουμε λοιπόν συνεχίζοντας την ιστορία που είχαμε ξεκινήσει στα προηγούμενα. Ο Γιώργος αφού έχουν περάσει είκοσι λεπτά αφότου θέλησε να μάθει τι γίνεται στο τμήμα των παραγγελιών, φωνάζει τον Γιάννη και του λέει: «πήγαινε σε παρακαλώ στο δεύτερο όροφο και έλα να μου πεις με μια πρόταση τι γίνεται εκεί». Ο Γιάννης κατεβαίνει και επιστρέφοντας λέει:

(1) «ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του και ο Νίκος βρίσκεται στο δικό του γραφείο» θέλοντας να περιγράψει με αυτήν την πρόταση την κατάσταση του τμήματος παραγγελιών.

Η πρόταση αυτή προκύπτει από δύο άλλες απλούστερες:

(2) «ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του» και

(3) «Ο Νίκος βρίσκεται στο δικό του γραφείο»,

οι οποίες συνδέονται με τη λέξη και.

Μια τέτοια πρόταση καλείται συζευκτική και χρησιμοποιείται για να περιγράψει μια κατάσταση των πραγμάτων του κόσμου μας, η οποία συντίθεται από τις δύο καταστάσεις που περιγράφουν οι δύο προτάσεις που συμπλέκονται. Μπορούμε να πούμε, με άλλα λόγια, ότι μια τέτοια πρόταση χρησιμοποιείται με σκοπό να περιγράψει τη συνύπαρξη σε ένα ενιαίο όλο και των δύο καταστάσεων τις οποίες περιγράφουν οι δύο προτάσεις που συμπλέκονται. Η ανατροπή ή παύση ισχύος έστω και της μιας από τις δύο καταστάσεις ανατρέπει τη μια κατάσταση που περιγράφει η σύζευξη. Στο προηγούμενο παράδειγμα η πρόταση (1) χρησιμοποιείται για να περιγραφεί εκείνη η κατάσταση του τμήματος παραγγελιών, η οποία εννοείται ως συντιθέμενη από δύο συνυπάρχουσες υπό-καταστάσεις:

- ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του,

- ο Νίκος βρίσκεται στο δικό του γραφείο.

Αν παύσει να υφίσταται η μια ή και οι δύο καταστάσεις παύει να υφίσταται και η κατάσταση που περιγράφει η (1).

Ας εξετάσουμε στη συνέχεια αναλυτικά πότε η πρόταση (1) περιγράφει μια υφισταμένη κατάσταση του τμήματος παραγγελιών και πότε όχι. Δηλαδή ας δούμε πότε η (1) είναι αληθής και πότε ψευδής. Οι συνδυασμοί των αληθοτιμών των προτάσεων (2) και (3) είναι οι ακόλουθοι:

  • Η (2) είναι αληθής και η (3) είναι αληθής. Σε αυτήν την περίπτωση ο Κώστας και ο Νίκος βρίσκονται στα γραφεία τους και επομένως η πρόταση (1) περιγράφει την υφισταμένη κατάσταση του τμήματος παραγγελιών. Συνεπώς είναι αληθής.
  • Η (2) είναι αληθής και η (3) είναι ψευδής. Σε αυτήν την περίπτωση ο Κώστας βρίσκεται στο γραφείο του αλλά ο Νίκος δε βρίσκεται στο δικό του. Συνεπώς, αυτό που περιγράφει η (1) δεν είναι υφισταμένη κατάσταση στο τμήμα παραγγελιών. Δηλαδή, περιγράφει κάτι που δεν υφίσταται, επομένως είναι ψευδής.
  • Η (2) είναι ψευδής και η (3) είναι αληθής. Σε αυτήν την περίπτωση ο Νίκος βρίσκεται στο γραφείο του, αλλά ο Κώστας όχι. Συνεπώς, αυτό που περιγράφει η (1) δεν είναι η υφισταμένη κατάσταση στο τμήμα παραγγελιών. Δηλαδή, περιγράφει κάτι που δεν υφίσταται, επομένως είναι ψευδής.
  • Η (2) είναι ψευδής και η (3) είναι ψευδής. Σε αυτήν την περίπτωση ο Κώστας δε βρίσκεται στο γραφείο του και ο Νίκος επίσης δε βρίσκεται στο δικό του. Επομένως η (1) περιγράφει μια κατάσταση που δεν υφίσταται, δηλαδή είναι ψευδής.

Αυτές τις τέσσερις δυνατές περιπτώσεις μπορούμε να τις συνοψίσουμε με τον ακόλουθο πίνακα.

Πίνακας 4

Ο Κώστας βρίσκεται
στο γραφείο του
0 Νίκος βρίσκεται
στο δικό του γραφείο
Ούτε ο Κώστας βρίσκεται στο
γραφείο του ούτε ο Νίκος
βρίσκεται στο δικό του γραφείο
αληθής αληθής αληθής
αληθής ψευδής ψευδής
ψευδής αληθής ψευδής
ψευδής ψευδής ψευδής

 

Παρατηρούμε ότι η πρόταση (1) είναι αληθής μόνον στην περίπτωση όπου και οι δύο προτάσεις (2) και (3) είναι αληθείς και μόνον σε αυτήν. Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα καταλήγουμε, αν συνδέσουμε με τη λέξη και οποιοδήποτε ζεύγος προτάσεων. Η διαδοχή «...και...» είναι ένας σύνδεσμος τον οποίο ονομάζουμε σύζευξη. Κάθε πρόταση που προκύπτει με την πλήρωση των κενών του με ζεύγη προτάσεων καλείται σύζευξη αυτών, ή όπως είπαμε και στα προηγούμενα, συζευκτική πρόταση. Για αυτόν το σύνδεσμο επιλέγουμε το σύμβολο Εικόνα. Έτσι, η συμβολική έκφραση, η οποία αντιστοιχεί στη σύζευξη δύο προτάσεων είναι η Π Εικόνα Ρ και διαβάζεται «Π και Ρ», όπου Π και Ρ είναι προτασιακές μεταβλητές. Στη συνέχεια, για λόγους ευκολίας ονομάζουμε και την έκφραση Π Εικόνα Ρ σύζευξη, όπως επίσης, αντί να λέμε ο σύνδεσμος «... και...» χρησιμοποιούμε την έκφραση ο σύνδεσμος Εικόνα. Το ίδιο κάνουμε με τους υπόλοιπούς συνδέσμους που θα συναντήσουμε στη συνέχεια.

Από όσα προηγήθηκαν είναι φανερό ότι η λογική συμπεριφορά της σύζευξης περιγράφεται από τον ακόλουθο κανόνα.

Η σύζευξη δύο προτάσεων είναι αληθής πρόταση στην περίπτωση κατά την οποίαν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς και μόνον σε αυτήν.

(Ο ίδιος κανόνας όταν αναφέρεται στη συμβολική γλώσσα που χρησιμοποιούμε στη λογική, έχει την εξής μορφή: Στη σύζευξη Π Εικόνα Ρ αντιστοιχεί αληθοτιμή Α, όταν και μόνον όταν αντιστοιχεί αληθοτιμή Α και στις δύο μεταβλητές Π και Ρ).

Συνεπώς, ο πίνακας αληθείας της σύζευξης είναι ο ακόλουθος:

Πίνακας 5

Π Ρ Π Εικόνα Ρ
Α Α Α
Α Ψ Ψ
Ψ Α Ψ
Ψ Χ Ψ

 

και αντιστοιχεί στη στήλη 8 του πίνακα 3.

Αυτός ο τρόπος σύνδεσης δύο προτάσεων δεν εκφράζεται μόνον από το σύνδεσμο «... και...», αλλά και από άλλους, όπως είναι για παράδειγμα ο «...καθώς και...», ο «...αλλά...» κτλ. Αυτές οι εκφράσεις μπορεί να έχουν λεπτές σημασιολογικές διαφοροποιήσεις από τον «...και...», αλλά έχουν ακριβώς την ίδια λογική συμπεριφορά με αυτόν, η οποία περιγράφεται από τον πίνακα 5. Για το λόγο αυτό θεωρούνται από άποψη λογικής συμπεριφοράς συζεύξεις. Έτσι και γι' αυτούς τους συνδέσμους χρησιμοποιούμε το ίδιο σύμβολο Εικόνα . Επίσης, πρέπει να επισημάνουμε ότι συχνά η τελεία (και η άνω τελεία) που χωρίζει δύο προτάσεις, και σε ορισμένες περιπτώσεις το κόμμα, λειτουργούν ως σύνδεσμοι με συμπεριφορά που περιγράφεται από τον πίνακα αληθείας της σύζευξης.

Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι ο σύνδεσμος «...και...» στη φυσική γλώσσα χρησιμοποιείται με ποικιλία σημασιών. Μπορεί η χρήση του να υποδηλώνει χρονική διαδοχή, όπως όταν λέμε: «θα βάλω την κατσαρόλα στη φωτιά και θα ρίξω το γάλα». Μπορεί ακόμα να υποδηλώνει και σχέση αιτιότητας μεταξύ των καταστάσεων που περιγράφουν οι δύο προτάσεις που συνδέει, όπως όταν λέμε: «αυτό το βιβλίο είναι πολύ μεγάλο και γι' αυτό είναι πολύ ακριβό». Όμως στη λογική δε μας ενδιαφέρουν αυτές οι σημασιολογικές αποχρώσεις κατά τη χρήση του συνδέσμου «...και...», αλλά η συμπεριφορά του όσον αφορά στη σχέση μεταξύ των αληθοτιμών των συνδεομένων προτάσεων και της σύζευξής τους. Αυτή η σχέση, στις περιπτώσεις που προαναφέραμε, δίδεται από τον πίνακα 5.

Συχνά εκφραζόμαστε με προτάσεις όπως η ακόλουθη:

«το βιβλίο βρίσκεται στο τραπέζι και το τασάκι είναι στο ράφι και το μολύβι έπεσε κάτω», την οποία συνήθως εκφέρουμε με κομψότερο τρόπο, όπως:

«το βιβλίο βρίσκεται στο τραπέζι, το τασάκι είναι στο ράφι και το μολύβι έπεσε κάτω».

Παρατηρούμε ότι η πρόταση αυτή ουσιαστικά παράγεται από ένα σύνδεσμο, ο οποίος είναι τριθέσιος, τον «...και...και..» αν συμπληρώσουμε τα κενά του με τις προτάσεις;

«το βιβλίο βρίσκεται στο τραπέζι»

«το τασάκι είναι στο ράφι»

«το μολύβι έπεσε κάτω»

Αν τον μελετήσουμε θα δούμε ότι η λογική συμπεριφορά του είναι τέτοια, ώστε κάθε πρόταση που παράγεται από αυτόν είναι αληθής όταν και μόνον όταν κάθε μια από τις προτάσεις που συνδέονται με αυτόν είναι αληθής. Τον ονομάζουμε και αυτόν σύζευξη και η αντίστοιχη έκφραση στη συμβολική γλώσσα είναι Π Εικόνα Ρ Εικόνα Σ. Με τον ίδιο τρόπο συμπεριφέρονται και τετραθέσιες και πολυθέσεις συζεύξεις.

Τις συμβολίζουμε Π1Εικόνα Π2Εικόνα ... Εικόνα Πν και η λογική συμπεριφορά τους καθορίζεται από τον ακόλουθο κανόνα:

Στη σύζευξη Π1Εικόνα Π2Εικόνα ... Εικόνα Πν αντιστοιχεί αληθοτιμή Α όταν και μόνον όταν σε κάθε μια από τις Π1 , Π2 , ... Πν αντιστοιχεί αληθοτιμή Α.

Ερωτήσεις

1. Τι ονομάζουμε συζευκτική πρόταση; Πότε τη χρησιμοποιούμε;

2. Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας της σύζευξης;

3. Διατυπώστε τον κανόνα που περιγράφει τη λογική συμπεριφορά της σύζευξης.

Ασκήσεις

  1. 1. Να γίνει ο πίνακας αληθείας για κάθε έναν από τους ακόλουθους συνδέσμους.
    i. «...ωστόσο...»,         ii. »... αλλά...»,
    iii. «... αν και...»,       iν. «... μολονότι...»,
    ν. «... καθώς ...»,       vi. «... ενώ ...».
    Τι παρατηρείτε;
  2. H πρόταση: «Ο Γαλαξίας μας περιλαμβάνει 109+153 άστρα και το ηλιακό μας σύστημα περιλαμβάνει πέντε πλανήτες» είναι αληθής ή ψευδής;
  3. Tο Ψευτοχώρι κατοικείται μόνον από δύο κατηγορίες ανθρώπων. Η πρώτη περιλαμβάνει ανθρώπους που λένε πάντα την αλήθεια, τους οποίους ονομάζουμε ειλικρινείς. Η δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνει ανθρώπους που λένε πάντα ψέματα. Αυτούς τους λέμε ψεύτες. Ένας επισκέπτης του χωριού συνάντησε δύο κατοίκους και τους ρώτησε αν είναι ψεύτες ή ειλικρινείς. Τότε ο ένας του είπε:
    «εγώ είμαι ψεύτης αλλά αυτός εδώ δεν είναι». Τι ήταν ο καθένας τους;